Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 7
Текст из файла (страница 7)
гл. 11)). Подмеченная нами на конкретном примере закономерность имеет более общий смысл. А именно, если воспроизводить достаточное число раз один и тот же опыт со случайным исходом, в котором может появиться или не появиться событие А, частота Рз(А) атого события ьз. чАстотА или стАтистическАя ВеРОятнОсть 33 имеет тенденцию стабилизироваться, приближаясь сквозь ряд случайных отклонений к некоторому постоянному числу; естественно предположить, что это число и есть веролгяосгь события.
Проверить такое предположение мы, естественно, можем только для событий, вероятности которых могут быть вычислеяы непосредственно, по формуле (1.2Л), т. е. для опытов, относящихся к схеме случаев. Многочисленные массовые эксперименты, проводившиеся рааными лицами со времен возникновения теории вероятностей, подтверждают это предположение: частота события при увеличении числа опытов действительно приближается к его вероятности. Естественно допустить, что и для опытов, не сводящкхся к схеме случаев, тот же закон остается в силе и что постоянное значение, к которому при увеличении числа опытов приближается частота события, и есть не что иное, как вероятность события. Тогда частоту события при достаточно большом числе опытов можно принять за приближенное значение вероятности.
Знание ааконов теории вероятностей позволяет оценить ошибку этого приближенного равенства, а также найти число опытов л, при котором можно с достаточной степенью достоверности ожидать, что ошибка не превзойдет данной величины. Специально отметим, что характер приближения частоты к вероятности при увеличении числа опытов существенно отличается от астремления к пределу» в математическом смысле слова. Когда в математике мы говорим, что переменная хи с возрастанием п стремится к постоянному пределу а, это значит, что разность !х„— а! становится меньше любого положительного е для всех значений л, начиная с некоторого. Относительно частоты и вероятности такого категорического утверждения сделать нельзя.
Нет ничего физически невоаможпого в том, что частота события при большом числе опытов сильно отклонится от его вероятности, но такое отклонение оказывается и р а к т и ч е с к и н е в о ам о ж н ы и — настолько маловероятным, что можно не принимать его в расчет. Таким образом, при увеличении числа опытов и частота события приближается к его вероятности, но не с полной достоверностью, а с большой вероятностью, тем большей, чем большее число опытов произведено. Такой способ приближения одних величин к другим очень часто встречается в теории вероятностей, лежит 2 норис нсроненосеен и с нниенсрние просо:сени 3$ гл !. Основ!!ыв по!!ятпя тсо!'пп вкгоятпостги в основе большинства ее выводов и рекомендаций п носит специальное название: «сходяиость по вероятности».
Говорят, что величина Л'„с»ори тся по вероятности к величине а, если при сколь угодно малом е вероятность неравенства (Մ— а~ ( е с увеличением и неограниченно приближается к единице. Применяя этот термин, можно сказать, что при увеличении числа опытов я частота события пе «стремится» к его вероятности, а «сходится к пей по вероятности». Таким образом, вводя понятие частоты события п пользуясь свяаью между пею и вероятностью, мы получаем воаможность приписать определенные вероятности, заключенные между нулем и единицей, пе только событиям, для которых применима схема случаев, но н теи событинм, которые к этой схеме не сводятсн; достаточно, чтобы опыт обладал своиством устойчивости частот, иными словами, мог быть неограниченно воспроизводим в практически одинаковых условиях.
Тогда можпо, производя достаточно большое число опытов, приблшкепно положить искомую веровтпость события равной его частоте. В дальнейшем мы увидим, что для определения вероятности события в опыте, не сводящемся к схеме случаев, сравнительно редко надо пепосредствеяно находить из серпа опытов его частоту. Теория вероятностей располагает способами, позволяющими находить вероятности событий не прямо, а ко с ее н в о, через вероятности других событий, с ними связанных.
В сущности, такие косвенные способы и составляют главное содержание теории вероятностей. Но в при пользовании косвенными способами (еслп опыт не сводится к схеме случаев) в конечном итоге все же приходятся обращаться к экспериментальным данным. Выведем некоторые свойства частот, справедливые не только прп большом, по и прв любом числе опытов и. !. Правило сложения час» от.
Если два события А и В несовместны, то частота события С, состоящего в том, что появится А иле В (безразлично, каков имепно), равна сумме частот зтах событий: Р*(С) Р'(А или В) — Р'(А) + Р'(В). (1.3.2) Действительно, если число опытов, в которых появилось событие А, равно М», а число опытов, в которых ЬЗ. ЧАСТОТА ИЛИ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 3Л появилось событие В, равно Ш, и события А и В несовместны, то Млб Мв Р»(С) "А в л+ в Р»(4)+ Ри(В) 2. Правило умножения частот. Для любых двух событий А и В частота события Ю, состоящего в том, что появятся оба события: В (А и В) равна частоте одного из них, умноженной на «условную частоту» другого, вычисленную в предположении, что первое имело место: Р» (Р) - Р*(А и В) = Р» (А) Р» (В( А), (1.3.3) где Р»(В~А) — частота события В, вычисленная только для тех опытов, в которых произошло событие А (предполагается, что М ФО).
Действительно, пусть в М опытах произошло событие А; в М» опытах оно сопровождалось появлением события В, т. е. происходило событие В (А и В). Тогда частота события В Р*(Э) =— ИО ИЛ МО (1.3.4) П А М Но второй сомножнтель в формуле (1.3.4) есть не что иное, как частота события В, вычисленная только для тех опытов, в которых произошло событие А (иазовем «условной частотой события В прп наличии А» и обозначим Р»(В~А)). Заметим, что условную частоту события В пепи наличии А можно вычислить и исходя из Р (Р) по Формуле: 1 *(В~А) 1 (Щ (А), (1.3.5) т. е.
условная частота события В при наличии А может быть получена делением частоты события Р (А и В) на частоту события А. В дальнейшем мы увидим, что аналогичные правила сложения и умножения справедливы и для вероятностей событий. Понятие частоты события является кардинально важным в теории вероятностей.
Можно построить все ее здание, исходя из основного понятия частоты и постули- 36 ГЛ. Ь ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ руя свойства пе вероятностей, а частот (такое построение теории вероятпостей было еще в начале ХХ века предложено Р. Мизесом; да п в настоящее время пекоторые авторы предпочитают излагать теорию вероятпостей на частотной основе).
С нашей точки зрения Наиболее совремекяым (и, что немаловажпо, соответствующим традициям изложения теории вероятностей в уепверситетах1 является а коком атическн й те о ре та к омиожествеппый подход, связапвый с идеями А. Н. Колмогорова; етого подхода мы и будем придерживаться в дальпейшем. ГЛАВА 2 АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ СЛЕДСТВИЯ 2Л. Элементарные сведения из теории множеств Напомним тому, кто пх знает, и сообщим тому, кто впервые с нпмп встречается, основные понятия этой математической науки. Множеством называется любая совокупность объектов произвольной природы, каждый пз которых называется элементом множества.
Примеры множеств: 1) множество студентов, обучающихся в данном вузе; 2) множество натуральных чисел, не превосходящих 100; 3) множество точек на плоскости, лежащих внутри плп на границе круга радиуса т с центром в начало координат; 4) множество точек на числовой оси, расстояние от которых до точки с абсцпссой а на превышает д. Множества мы будем обозначать по-равному: или одной большой буквой, или перечислением его элементов, данным в фигурных скобках; нлн указанием (в тех же фигурных скобках) правила, по которому элемент относится к множеству. Например, мкожество М натуральных чисел от 1 до 100 может быть записано в виде: М=(1, 2, ..., 100) =0 — целое; 1<(<100) В 1, ..., 100). Множество точек на числовой оси, расстояние от которых до точки с абсциссой а не прцвосходит И, может быть записано в виде о (!х — а) ~й или о (х: (х-а! (с0, где х — абсцисса точки. Множество С точек на плоскости, лежащих внутри или на границе круга радиуса т с центром в начале координат, может быть записано в виде С=(х'+у'~т') или С ((х, у): х'+у'(т'), зв ГЛ.
2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ где х, у — декартовы координаты точки, пли же С=(р<т), где р — одна нз полярных координат точки. По числу элементов множества делятся на конечные и бесконечные. Множество М = И, 2, „100) конечно и состоит нз 100 элементов. В частности, конечное множество может состоять из одного элемента. Множество в с е х натуральных чисел № = И, 2, ... ..., п, ...) бесконечно; так же бесконечно и множество четных чисел: № = (2, 4, ..., 2п, ...). Бесконечное множество называется счетным, если все его члены можно расположить в какой-то последовательности, перенумеровать (оба множества'№ и № являются счетными).
Вышеупомянутые множества 3 и С оба бесконечны и несчетны (нх элементы нельзя перенумеровать). Два множества А и В совпадают (нли равны), если онп состоят из одних и тех же элементов. Например, множество корней уравнения х' — 5х+4 = 0 совпадает с множеством И, 4), а также с множеством (4, 1). Совпадение множеств обозначается знаком равенства: А = В. Запись а ж А означает: объект а является элементом множества А; другими словами, а принадлежит А. Запись а Ча А означает: а не принадлежит А. Пустым множеством называется множество, не содержащее нн одного элемента; оно обозначается символом И.
П р и м е р: множество точек плоскости, координаты которых х, у удовлетворяют неравенству х'+ у' ~ — 1: (х»+ у» < — 1) = 8. Все пустые множества равны между собой. Множество В называется подмножеством (частью) множества А, если все элементы В содержатся также и в А; обозначение В ж А нли А РЕВ. Примеры: И, 2, 3) н*'И, 2, 3, ..., 100); (х'+у'~ < 1) ж (х' + у' ~ 2). Подмножество может быть равно самому множеству: И,2,3,4) — И,2,3,4). Э» Отношения подмножества и множества можно наглядно изображать с помощью геометрической интерпретации (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
