Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Совершенно очевидно, что опыты являются зависимыми. П р и м е р 7. Возвращаясь к и. 1 1, подсчитать вероятность того, что в результате описанных 25 опытов мы запишем первую строку «Евгения Онегина». Решен ив. 25 опытов в примере п. 1.1 независимы; применяя правило умножения для независимых событий, получим: Р(А) =( —,,2~ ж2,35 10»», т. е.
вероятность события А настолько мала, что его можно смело считать практически невозможным. ~ П р и и е р 8. Вычислить вероятность события В = (при )т' 600 бросаниях монеты все 600 раа появится герб), 58 ГЛ 2. АКСИ031АТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТПОСТЕЙ Решение. По правилу умножения для независимых событий Р(В) = (1~2)"' ж 2,40 10 "', что еще значительно меньше, чем вероятпость события А в предыдущем примере. 2.4. Примеры применения основных правил теории вероятностей Правило сложения и правило умножения вероятностей редко применяются порозпьд обычно они применяются вместе.
Наиболее типична слвдуюшая схема: событие А, вероятность которого требуется найти, представляется в виде суммы нескольких вариантов А =А, +А,+...+А,. Каждый из вариантов есть произведение двух событий: А,=В, В,; А, С, С„ где Ва (из В,-(из С, — (из Са (иа первой урны вынут белый шар), второй урны вынут белый шар), первой урны вынут черный шар), второй урны вынут черный шар). Каждый из вариантов представляется в виде произведения каких-то событий.
Вероятность каждого варианта вычисляется по правилу умножения, затем вероятности вариантов складываются. Бывают и более сложные схемы, где вероятность каждого из событий, произведением которых образован вариант, в свою очередь вычисляется по правилу сложения, и т. д. Ниже мы приводим ряд примеров на применение осповных правил теории вероятностей. П ример (. Имеется две урны, в первой 2 белых и 3 черных шара, во второй — 4 белых и 2 черных. Из каждой урны вынимается по одному шару. Найти вероятность того, что опи будут одного и того же цвета. Решение.
Событие А -(оба шара одного дзота) лаожно представить в виде суммы двух вариантов: А,=(оба шара белые); А,=(оба шара черные); А Аа+Аь 2е пРименения пРлвил тГОРНН ВЯРОятцостен 59 События В„В, между собой независимы; таки!е и события С„С,. Применяя правило умножения для незавнснмых событий (2.3.7), получим; Р(А,) = Р(В,)Р(В,) (2!5) (4!6) = 4,115; Р(А,) — Р(С,) Р(С,) = (3~5) (2/6) 1!5. Так как варианты А, и А, несовместны, то по правилу сложения Р(А) = Р (А!) + Р (А2) 4!15 + 1~5 = 7~'15. Пример 2.
В условиях предыдущего примера найти вероятность того, что шары будут разных цветов: Р = (шары разных цветов). Решение: Можно было бы, конечно, как в преды- дущем примере, представить В в виде суммы двух ва- риантов: В, = (пз первой урны вынут белый шар, из второй — черный>, Р2 = (нз первой урны вынут черный шар, из второй — белый), но гораздо проще будет решить задачу, воспользовавшись результатами предыдущего примера; действительно, событие В противоположно событп!о А предыдущего примера: В=А, откуда Р(Р) 1 — Р(А) = 8!15.
П р и м е р 3. Производятся трп независимых выстрела по мишени; вероятности попадания в мишень при первом, втором, третьем выстреле равны соответственно р„р„р,. Найти вероятность того, что в мишень произойдет ровно два попадания. Р е ш е н и е. Событие А = (ровно два попадания) представим в виде суммы трех несовместных вариантов: А (попадание прп первом, попадание при втором и промах прп третьем выстреле)+ + (попадание прп первом, промах при втором я попадание прп третьем выстреле) + + (промах при первом, попадание прп втором и попадание прп третьем выстреле).
Вероятности промаха при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно 1 — р„ 1 — рм 1 — р . 60 ГЛ. 3. ЛКСИОМЛТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТКОСТЕИ Применяя правило умножения для независимых событий и складывая вероятности вариантов, получим Р(А) - рзрз(! — рз) + рз(1 — рз) рз+ (1 р ) рзрз Пример 4. В условиях предыдущего примера найти вероятность хотя бы одного поеадання. Р е ш е н и е. Можно было бы событие С (хотя бы одно попадание) представить в виде суммы трех вариантов: С, =(ровно одно попадание); С,=(розно два попадания) и С,= (все три попадания) и найти вероятность каждого из них подобно тому, как это было сделано выше.
Но гораздо проще будет от события С перейтп к противоположному событию: С (ни одного попадания), Событие С есть произведенпе трех независимых событий: С (промах при первом выстреле) (промах при втором выстреле) . (промах при третьем выстреле). По правилу умножения для независимых событий имеем Р (С) — (1 — р,) (1 — р,) (1 — рз), откуда Р (С) = 1 — Р (С) 1 — (1 — р,)(1 — р,)(1 — р ). Почему в данном примере оказалось выгодным перейтп к противоположному событию Сг Потому что оно представляет собой только одни вариант (все три проазаха) вместо трех вариантов ффС,.
в» В связи с этим можно сформулировать одну практическую рекомендацию: если в данной задаче противоположное событие А распадается на меньшее число вариантов, чем интересующее нас А, то имеет смысл при вычислении вероятности переходить и противоположному событию. Пример 5. Из колоды карт, содержащей 32 листа, вынимается наугад 4 карты. Найти вероятность того, что среди нпх будет хотя бы один туз. Р е ш е н и е. При нахождении вероятности события А (хотя бы один туз) явно выгоднее перейти к противоположному событию А = (ни одного туза) Аз АзХ ХАз 'Аи зв.
ПРИМЕНЕНИЯ ПРАВИЛ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Зг где А, (первая карта не туз), А, = (зторая карта ее туз), А> (третья карта пе туз), А> = (четвертая карта не туз). События А„А„А,, А, зависимы. По правилу умножения вероятностей (2.3.7) имеем: Р(А,) Р(А. (А,) Р(А,) А,Аз) Р(А ) А,А А ). Тузов в колоде 4; не тузов 32 — 4-28. Учитывая это, змеем: Р(А) (28/32) (27/31) (26(30) (25,>29) ж 0,568> откуда Р(А) 1 — Р (А) ж 0,432. Пример 6. В шкафу находятся девять однотипных приборов. В начале опыта они все новые (ни разу не бывшие в эксплуатации).
Для временной эксплуатации берут наугад три прибора; после эксплуатации их возвращают в шкаф. На вид прибор, бывший в эксплуатации, ничем не отличается от нового. Такого рода операция проивводится три раза. Найти вероятность того, что в результате трехкратного выбора и эксплуатации в шкафу останется хотя бы один новый прибор. Р е ш е н и е. От события А — (хотя бы один новый прибор) выгоднее перейти к противополох."ному: А (ни одного нового прибора). Событие Л может произойти одним-едпнственным способом: н первый раз, и второй, и третий из шкафа будут взяты новые приборы. Первый раз это обеспечено; поэтому Р(А) — $ (6(9) (5/8) (4(7) (3,>9) (2>8).(1(7) ж 0„0028, Откуда Р(А),ж $0,0028 ж 0,997.
Итак, событие А имеет высокую вероятность 0,997 и может, пожалуй, считаться практически достоверным (предсказывая его, мы будем ошибаться примерно в 0,3с>з случаев). й П р и м е р 7. Завод изготовляет изделия, каждое иэ которых с вероятностью г (независимо от других) является дефектным. Для контроля из продукции завода выбирается наугад я изделий. При осмотре дефект, если он существует, обнаруживается с вероятностью р, Найти 62 Рл. 2. АксиомАтикА теогии ВеРОятнОстей вероятности следующих событий: А (нн в одном из иэделий не обнаруяэено дефекта); В (среди и изделий ровно в двух обнаружен деФект); С-(средп п изделпй не менее чем в двух обнаружен дефект).
Решение. Вероятность того, что в одном наугад ваятом изделии обнаружен дефект, равна гр (г — вероятность того, что дефект есть, р — условная вероятность того, что дефект будет обнаружен при условия, что он есть); вероятность того, что дефект не обнарумэеп, равна 1 — гр. По правилу умножения для независимых событий Р (А) = (1 — гр)". Найдем вероятность события В. Оно распадается на столько вариантов, сколькимй способамп можно пз л иэделий выбрать два, в которых обнаружен дефект, т. е. Я(А — П на С, = — вариантов. Вероятность каждого из нпх 2 равна (гр)'(1 — гр)" ', зти варианты несовместны; по правилу сложения Р(В) = "(" (гр)'(1 — гр)' 2. Чтобы найти вероятность события С, перейдем к противоположному событию: С-(менее чем в двух иэделиях обнаружен дефект), которое распадается на два варианта: С, (ни в одном изделии не обнаружено дефекта), С, = (ровно в одном изделии обнаружен дефект).
С-Сф+С,. По правилу умножения Р (Се) Р (А) = (1 — гр) ° По правилам умножения н сложения: Р(С2) С„'гр(1 — гр)" ' Ягр(1 — гр)" '. Отсюда Р (С) Р (С ) + Р (С,) (1 — гр)" 2(лгр + 1 — гр) Р (С) 1 — Р (С) = 1 — (1 — гр)" '((и — 1)гр + 1). й 21 ПР1М1ЕНЕННЯ ПРЗВПЛ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН 63 Пример 8. Прибор состоит из и блоков, каждый пз которых (пезазпсимо от других) аа время $ эксплуатации прибора мон«ет отказать (зый«и пз строя).
Наде«кность (вероятность безотказной работы за время г) каждого блока равна р. Безотказная работа всех без псключеипя блоков необходима для безотказной работы прибора в целом. Найтп вероятность того, что в течение времени 1 прибор будет работать безотказно. Р е ш е н и е. Событие А = (безотказная работа прибора) есть произведение п независимых событий А„А„... .. „А„, где А,— (безотказная работа 1-го блокаЕ По правилу умножения для независимых событий Р (А) р» )ь П р и и е р 9. Прибор, обладающий надежпостью (вероятностью безотказной работы за время 1), равной р, представляется недостаточно надежным. Для повышения надежности оп дублируется еще одним точно таким же работающим прибором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
