Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Выведем из аксиомы сложения (2.2.2) «классическую» формулу (1.2.1) для непосредственного подсчета вероятностей. Пусть результаты опыта могут быть представлены в виде я случаев А„А„..., А„. Случай А~ благоприятен событию А, если он представляет собой подмножество А (А, »е А), иначе — вариант события А.
Так кае случаи А„А„..., А„образуют полную группу, то « ~', А,=Р. «=1 Так как случаи А„АМ ..., А„несовместны. то к иим применимо правило сложения вероятностей: п « Р ~Я Л~ ~ Р(Л) Р(а)=1. 1 Так как случаи А„А„..., А. равновозможны, то Р (А,) — Р (А,) — ... Р (А„) 1/н. Благоприятные событию А случаи образуют т« его вариантов; так как вероятность каждого из них равна Уп, то, по правилу сложения, Р(А) 1!я+ 1!я + ...
+ 1/я «~а Р"» а зто и есть уже внакомая нам «классическая формула» (1.2Л). 4В ГЛ. 3. АКСИОЫАТИКА ТВОРИИ ВБРОЯТНОСТВН Аксиомы теории вероятностей позволяют вычислять вероятности любых событий (подмножеств пространства ьз) через вероятности элементарных событий (если их конечное или счетное число). Вопрос о том, откуда берутся вероятности элементарных событий, при атом не рассматривается.
На практике они определяются либо непосредственно по условиям опыта (если он обладает симметрией возможных исходов), либо на основе экспериментальных статистических данных (если он такой симметрией не обладает, что бывает значительно чаще), Правило сложения вероятностей имеет ряд важных следствий. В качестве одного из них докажем, что сумма вероятностей полной еруппы несовместных событий равна единице, т. е. если и ,'у', Аг И; А1А,= 8 при 1чьу 1=1 то ,й,' Р(А1) = (. 1-1 (2.2.6) Действительно, так как события А„А„..., А„несовместны, то к ним применимо правило сложения: / п х и Р ~ ~ А1~ ~ Р (А1) = Р (О) = (. 1 1 1 1 В частпости, если два события А я А противоположны, то они образуют полную группу несовместных событий и Р(А) + Р(А) 1, т.
е. сумма вероятностей протиеополоясных событий раена единице. Это свойство противоположных событий очень широко применяется в теории вероятностей. Часто бывает проще вычислить вероятность противоположного события А, чем вероятность интересующего нас события А. Тогда вычисляют Р(А), вычитают ее иэ единицы и находят: Р (А) 1 — Р (А). (2.2.7)" Таким прнемом мы очень часто будем пользоваться в дальнейшем. 22. АКСНОЫ1Л ТЕОРНИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Выведем еще одно следствие правила слон(ения. Если события А и В совместны (Лв т' И), то Р(А+ В) Р(А) + Р(В) — Р(АВ). (2.2.8) Докажем его.
Представим событие А + В как сумму трех несовместных вариантов (см. рнс. 2.2.5) А+В (Л, но не В)+(В, но не Л)+ЛВ= АВ+ ВА+АВ. По правилу сложения Р (А + В) = Р(АВ) + Р (ВА) + Р (АВ). (2.2.9) Но А = АВ + АВ; Р (А) - Р (АВ) + Р (ЛВ); В= ВА+ АВ; Р(в) Р(ВА) +Р(АВ); откуда Р (АВ) Р (А) — Р (АВЦ Р(ВА) Р(В) — Р(АВ) ~ Подставляя выра1кспня (2.2.10) в (2.29), получим Р(А + В)— = Р (А) — Р(АВ) + Р(В) — Р(АВ) + + Р (АВ) Р(А) + Р(В) — Р(АВ), Рис. 2.2.5 что и требовалось доказать. Формулы типа (2.2.9) можно вывести и для более чем двух совместных событий, но мы на атом не будем останавливаться.
Предложим читателю самостоятельно вывестп формулу для вероятности суммы трех совместных событий Л, В н С (рнс. 2.2.6): Р(А+ В+ С) = Р(А) + + Р (В) + Р (С) — Р (АВ) — Р (АС) — Р (ВС) + Р (АВС). Заметим, что прием непосредственного подсчета вероятностей (1.2.1) допускает иногда распространение н на случай, когда множество элементарных событий несчетно, например, представляет собой совокупность точек на плоскости внутри некоторой области й (рис.
2.2.7). Опыт состоит в том, что в пределы области 12 «случайным образомэ бросается точка У. Выражение еслучай- «в ГЛ. З. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ ным образомэ в данном случае оаначает, что всв точки области И «равноправны» в отношении попадания туда случайной точки У вЂ” она бросается «наугзд», беа какого-либо предпочтения одному положению перед другим. Тогда естественно считать, что вероятность попадания с Р . 2.2В Рнс. 2.2.7 точки бг в какую-то область А (подмножество 1«) пропорциональна площади этой области: Р (А) Р (У ы А) БА~ВО, (2.2,11) где ЯА- площадь области А, Я« — площадь всей фигуры Й.
На этом основан подсчет вероятностей в некоторых задачах (иногда вго нааывают «гвомвтричвскимэ). Приведем некоторые примеры. Пример 1. Дза лица — А н  — условились встретиться в определенном месте, договорившись только о том, что каждый является туда в любой момент времени между 13 ч. и 13 ч. 30 мин. и ждет в течеппе 15 минут. Если партнер к этому времени еще не пришел или уже успел покинуть условленное место, встреча не состоится. Найти вероятпость того, что встреча состоится.
Решение. Элементарное событие «о характеризуется двумя параметрами: л — момент прихода А и у — момент прихода В. Будем изображать это событие точкой с координатами (л, у) на плоскости ЕОу. Выберем за начало отсчета 13 часов, а за единицу намерения — 1 час и построим на плоскости ЕОу пространство элементарных событий й. Это есть квадрат со стороной 0,5 (рис, 2.2.8), 2.2.
АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 49 Событие С (встреча) произойдет, если разность между х и у по абсол«отпой величине не превзойдет 0,25 часа (15 мин.). Область С, «благоприятная» етому событию, па рис. 2.2.8 заштрихована. Ке площадь равна площади всего квадрата З«=0,5' 0,25 без суммы площа- у дей двух угловых треугольников, не ааштрихованпых на рис.2.2.8: Ю«З« — 2 (1/2) 0,25' 0,1875, Отсюда Р(С) Зс/За — 0,75, й п,г5 п,5 П,5 'Ь и п25 ф, п,г5 Пример 2. Стерн«ень единичпой длины произвольным обра- П,25 П,5 х зом разламывается на три части х, у и з (рис. 2.2.9) .
Найти вероятность того, что из этих частей можно составить треугольник. Решение. Элементарное событие е» характеризуется двумя параметрами х и у, ибо з 1 — (х+у). На впх наложены ограничения: х > О, у > О, х+ у < <1. Пространство элементарных событий П есть внутреяпяя часть прямоугольного треугольника с катетамп, равными единице (рис. 2.2АО). Кто площадь 3» 1/2. Условие А, чтобы иа отрезков х, у, 1— -(х+ у) можно было составить треугольник, сводится к следую- х у г и 7 П П,5 Рве.
2.2.9 Рис. 2.2АО щим: 1) сумма любых двух сторон больше третьей; 2) разность любых двух сторон меньше третьей. Этим условиям соответствует треугольная область А, заштрихованная ва рис. 2.2ЛО с площадью ЗА =(1/2) (1/4); отсюда Р(А) ЗА/Зо 1/4. Пример 3. Задача Бюун/2она. Плоскость разграфле» на параллельными прямыми ва расстоянии Ь друг от друга (рис. 2.2.11). На плоскость произвольным образом бросается игла длины 1'с Ь.
Найти вероятность того, что игла пересечет одну из прямых. 50 ГЛ 2 ЛКСИОМЛТИКА ТВОРПИ ВВРОЯТНОСТВИ Решение. Исход опыта (поло>непис иглы на плоскости) будем описывать двумя координатами: х — абсцисса центра иглы относительно ближайшей прямой слева и >р — угол, который составляет игла с прямыми (рис. 2.2.12). Очевидно, что все значения х и гр равно- возможны (в этом и проявляется бросание иглы «наугаде). Очевидно, можно (не теряя общности) ограничить Р я/г Рвс. 2.232 Рис. 2.232 Рве. 2.23$ возможные значения х участком от О до Ы2, а р — от О до и/2, рассматривая возможность пересечения только с одной (ближайшей левой) прямой. Прямоугольник на плоскости хО>р со сторонами В/2 и я/2 (рис.
2.2.13) представляет пространство элементарпыв событий П; Ьс Ьп/4. Если абсцисса х центра иглы будет меньше, чем — гйп ~р,то игла пересечет прямую, интересующее нас событие А (х( —,з(п р~ (см. заштрихованную область 2 на рис. 2.2АЗ). Площадь этой области л/э 1' 21 ВА ) —.з(пфб р- —,; Р(А) ЮА/Яи = —. ~ .) 2 ! яЬ' 2.3, Условная вероятность события.
Правило умножения вероятностей Пусть производится опыт со случайным исходом, в результате которого могут произойтп (или не произойти) какие-то события А и В. Условной вероятностью события В лри наличии А называется величина Р(В~ А) Р(АВ)/Р(А) (2.3.1) (при этом предполагается, что Р(А) те О). 2 3 УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ 5« Вспомним, как мы определяли в п. 1.3 условную частоту события В при наличии А; один из способов ее определения состоял в том, что мы делили частоту события АВ на частоту события А. Условная частота имеет и другой смысл: это — частота события В, вычис- ленная при условии, что событие А произо- ш л о.
Точно так же и условную вероятность Р (В ~ А ) можно трактовать, как вероятность события В, вычис- ленную п р и у с л о в и и (в предположении), ч т о с о- бытие А произошло. На практике формулу (2.3А) обычно читают «в об- ратном порядков, для чего записывают ее в виде: Р(АВ) =Р(А) Р(В)А), (2.3.2) т. е. вероятность произведения (пересечения, совмеще- ния) двух событий равна вероятности одного ив них, умноженной на условную вероятность второго при нали- чии первого. Сформулированное правило мы будем называть пра- вилом умножения вероятностей е). Его статисвический аналог — правило умножения частот — мы уже рассмат- ривали в п. 1.3. Совершенно очевидно, что неважно, какое событие выбрать первым, а какое — вторым. Поэтому правило умножения вероятностей можно записать и в виде Р(АВ) = Р(В).Р(А~ В) (2.3.3) (при этом предполагается, что Р(В) Ф 0). Очевидно, что если событие А достоверно (А =П), то й В=В и Р(Я В)-Р(В).
Пр амер 1. Из урны, содержащей 4 белых и 3 чер- ных шара вынимаются (одновременно или последова- тельно) два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми. Р е ш е и и е. Представим событие С = (оба шара белые) как произведение двух событий: С-АВ, где А = (первый шар белый), В (второй шар белый!. ° ) Иногда это правило вегиееют теоремой уыяожевяя вероятвоетей. ГЛ 2 ХКСИОМХТИКЗ ТВОРИИ ВЕРОЯТНОСТВИ йй Найдем вероятность события С по формуле (2.3.2): Р(С) - Р(АВ) - Р(А) Р(В(А). Очевидно Р(А) = 4!7. Найдем Р(В ~ А). Для этого предположим, что событие А уже произошло, т.
е. первый шар был белым. После этого в урне осталось 6 шаров, из которых 3 — белые: Р(В(А) = 3/6- 1!2. Отсюда Р (С) (4(7) (1(2) — 2(7. Кстати, точно такую же вероятпость появления двух белых шаров мы получили другим способом в примере 2 п. 1.2. ~ Пример 2. В урне 5 белых шаров и 2 черных. Из нее вынимаются один за другим два шара. Найти вероятность того, что они будут разных цветов. Решение: Событие С (шары разных цветов) распадается на сумму двух несовместпых вариантов: С-С,+С„ где С, = (первый шар белый, второй черный), С, = (первый шар черный, второй белый).
Вероятность каждого из вариантов найдем по правилу умножения. Не вводя специальных буквенных обозначений для событий, произведением которых образован вариант С„вычислим его вероятность сразу по правилу умножения: умпожим вероятность того, что первый шар белый, на условную вероятность того, что второй шар черный, при условии, что первый — белый: Р (С,) (5/7) (2!6) 5(21. Так же вычислим и вероятность второго варианта: Р(С,) (2!7) (5/6) = 5~21. Отсюда, по правилу сложения вероятностей, Р(С) =Р(С,) + Р(С,) = 10721").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
