Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 5
Текст из файла (страница 5)
10, и. Ю.2, ирам«р Г2. 22 Гл. ь Основнык понятия твогии Вегоятностей результат опыта не зависел от поддающихся контролю его условий (рулетка, ности, карточные игры). Прием непосредственного подсчета вероятностей, исторически возникший вместе с математической теорией случайных явлений, был положен в основу так называемой «классической» теории вероятностей и долгое время считался универсальным.
Опыты, не обладающие симметрией возможных исходов, искусственно сводилнсь к «классической» схеме. Несмотря на ограниченную сферу практического применения этой схемы, опа все же представляет известный интерес, так как именно на ней легче всего познакомиться со свойствами вероятностей. Перед тем как дать способы непосредственного подсчета вероятностей, введем некоторые вспомогательныо понятия.
1. Полная группа событий. Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полну«о группу, если в результате опыта неизбежно должно появиться хотя бы одно кз них. Примеры событий, образующих полную группу: 1) «выпадение герба» и «выпадение решки» при бросании монеты «); 2) появление «1», «2», «3», «4», «5», «6» очков при бросании игральной кости; 3) «два попадания», «два промаха» и «одно попадание, од1ш промахе при двух выстрелах по мишени; 4) «появление болото шара» и «появлеппе черного шара» прп вынимании одного шара пз урны, в которой 2 белых н 3 черных шара ««); 5) «появленпе хотя бы одного белого» и «появленпе хотя бы одного черного шара» при вынимании двух шаров из той же урны. Специально обратим внимание на последний пример.
В нем даны два события, которые не исключают друг друга: в самом дело, если вынуть 1 белый н 1 черный шар, появляется и то и другое. Но не зря я«е при определенцн полной группы событий мы сказали «непзбеж- ') Исход «монета встанет н» ребро» мы отбрасываем, в«к ничтожно м«лов«рентный (практически в«возможный).
«») Во всех з«дачах «па урпы»»л«сь и в дальнейшем мы будем предполагать, что шары тщательно перси«шалы, е 2. Непосгкдстснплып подсчгт вггойтпостги зз но должно появиться хотя бы одно пз ннх» («хотя бы одное значит «одно или большее). Если события образуют полную группу, то о п ы т н е м о ж е т к о нчиться ломи ма них. К полной группе событий можно прибавлять еще какие угодно события, любые исходы опыта; от етого полнота группы событий не утрачивается. 2. Несовместные события. Несколько сооытяй в данном опыте называются несовместнымн, если никакие два лз нлх не могут появиться вместе.
Примеры несовместных событий: 1) «выпаденле герба» п «выпадение реп»иле прп бросании монеты; 2) «два лопаданляе п «два промаха» прп двух выстрелах; 3) «выпадение двух», «в»впадение трех» п «выпадение пяти» очков при однократном бросании лгральной когти; 4) «появленпе туза», «появление десятки» и «появление карты с картпнкойе (короля, дамы плп валета) прп вынимании одной карты лз колоды; 5) «появление трехе и «появление более трехе очков прп бросании пгральяой когти; 6) искажение «ровно пяти», «ровно двух» п «не менее шести» символов прл передаче сообщения, состоящего из $0 символов, Вспомним, что к полной группе событлй можно было добавлять любые другие события, не нарушая полноты. Нто касается несовместных событий, то пз нпх можно выбрасывать лгобые (иола остаются хотя бы два), не нарушая свойства несовместностл.
3. Равновозмоекные события. Несколько событлй в ленном опыте назелваготся равновоэззожными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно пз нпх не является объективно более возможным, чем другое. Заметим, что равновозегояеные события не могут появляться иначе, чем в опытах, обладающих симметрией возможных исходов; паше незнание о том, какое лз них вероятнее, ие есть основание для того, чтобы считать события равновозмоя нымл. Примеры равновозможлых событий: $) «выпадение герба» и «выпадение решки» прл бросании симметричной, «правильной» монеты; 24 гл.
1. ОснОВные понятия теОРНН ВТРОятногтеп 2) выпадение «трех», «четырех», «пяти» и «шести» очков при бросании симметричной, «правильной» игральной кости; 3) появление шара с номером «(», «2», «4» и «5» при вынимании наугад шара из урны, в которой 10 перенумерованных шаров; 4) появление шаров с номерами «2 и 3», «3 и 4», «5 и 8» при вынимании двух шаров нз тон же урны; 5) появление карточки «с буквой а», «с буквой ф» п «с буквой щ» при вынимании одной из тщательно перемешанных карточек детской азбуки; 6) появление карты «червонной», «бубновой», «трефовой» плп «пиковой» масти прп вынимании карты пз колоды.
Заметим, что равнозозможность событий в каждоч пз зтих опытов обеспечивается спецпальнымп мерамп (симметричное изготовление кости; тасовка карт; тщательное перемешпванпе шаров в урне п т. и.), Из группы, содержащей более двух разновозчожпых событий можно исключать любые (кроме последних двух), не нарушая пх равновозможностп. С опытами, обладающими симметрией возможных исходов, связываются особые группы событий, облада1ощпе всеми тремя свойствами: онп образуют полную группу, несовместны и равновозможны. События, образующие такую группу, называются случаяма (иначе «шансамп»). Примеры случаев: $) появление «герба» и «решки» прн бросанцп монеты; 2) появление «1», «2», «3», «4», «5» и «6» очков прп бросании игральной кости; 3) появление шара с номером «1», «2», ...
прн вынимании одного шара пз урны, в которой п перенумерованных шаров; 4) появленне карты «червонной», «бубновой», «трефовой» н «пиковой» масти прп вынимании одной карты из колоды в 36 листов. Если опыт обладает спмметрпей возможных походов, то случаи представляют собой исчерпывающий набор его равновозможных и исключающих друг друга исходов. Про такой опыт говорят, что он сводится к схеме случаев (иначе — к «схеме урне, пбо любую вероятностную задачу для такого опыта можно заменить акви- ЬЗ, НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ ПОДСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 25 валентной ей задачей, где фигурируют урны, содержащие шары тех плн других цветов). Для таких опытов возможен непосредственный подсчет вероятностей, основанный на подсчете доли так называемых б л а г о п р и я т н ы х случаев в общем их числе.
Случай называется благоприягпыв (плп «благоприятствующим») событию А, если появление этого случая влечет за собой появление данного события. Например, при бросании игральной кости из шести случаев («1», «2», «3», «4», «5», «6» очков) событию А— «появленпе четного числа очков» благоприятны три случая: «2», «4», «6» и не благоприятны остальные трп. Событию  — «появление не менее 5 очков» благоприятны случаи «5», «6», и не благоприятны остальные четыре. Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события А в данном опыте можно вычислить как долю благоприятных случаев в общем пх числе: Р(1) л (1.2.1) где т„— число случаев, благоприятных событию А; и— общее число случаев.
Формула (1.2А), так называемая «классическая формула» для вычисления вероятностей, предложенная еще в Хт'П веке, когда главным полем приложения теории вероятностеп были азартные игры (в которых симметрия возможных исходов обеспечивается специальными мерами), долгое время (вплоть до Х)Х века) фигурировала в литературе как «определение вероятности»; те аадачп, в которых схема случаев отсутствует, искусственнымп приемами сводились к ней. В настоящее время формального определения вероятности не дается (это понятие считается «первичным» и не определяется), а при его пояснении исходят из других принципов, непосредственно связывая его с понятием частоты события (см. п.
1.3). Применяется также аксиоматпческое, теоретико-множественное построение теории вероятностей на основе общих положений теории множеств п небольшого числа аксиом (см. пп. 1.4, 1.5). Что касается формулы (1.2.1), то она сохраняется ныне лишь для подсчета вероятностей событий в опытах, обладающих симметрией возможных исходов, Приведем несколько примеров ее применения, 26 гл.
1. ОснОВные понятия теории ВЯРОятнОстей П р имер 1. В урне находится 5 шаров, пз которых 2 белых и 3 черных. Из урны наугад вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым. Р е ш е н и е. Обозначим А интересующее нас событие: А = (появление белого шара) в). Общее число случаев п 5; из нпх два благоприятны событию А: т„= 2. По формуле (1.2.1) Р(А) = 2,'5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
