Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Т1тобы сравнивать между собой события по степени пх возможности, нужно связать с ка1кдым пз них какое-то число, которое тем больше, чем более возможно событие. Это чнсло мы и назовем вероятностью события. 1.1. СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ. ЕГО ВЕРОЯТНОСТЬ 17 Отметим, что сравнивая между собой по степени возможности различные события, мы склонны считать более вероятными те события, которые происходят чаще, менее вероятнымп — те, которые происходят реже; маловероятными — те, которые почти никогда не происходят.
Например, событие «выпаденпе дождя в Москве 1-го июня предстоящего года» более вероятно, чем «выпадение снега в Москве в тот же день», а событие «землетрясенке в Москве, превышающее по интенсивности 3 балла, в течение предстоящего года» крайне маловероятно (хотя такое аемлетрясенпе я наблюдалось в 1977 г., и статистика говорит, что подобные события происходят примерно раз в 100 лет).
Таким образом, понятие вероятности события с самого начала тесно увязывается с понятием его частоты (подробнее это основное понятие будет освещено ниже, см. п. 1.3). Характеризуя вероятности событий числами, нунно установить какую-то единицу намерения. В качестве такой единицы естественно взять вероятность достоверного события, т. е. такого, которое в результате опыта неизбежно должно произойти. Пример достоверного события — выпадение не более шестп очков при бросании игральной кости*). Другой пример достоверного события: «камень, брошенный вверх рукой, вернется на Землю, а не станет ее искусственным спутнпкоы».
Противоположностью достоверного события является невозможное событие — то, которое в данном опьпе вообще не может нроизойтн. Пркмер: «выпадение 12 очков при бросания одной пгральной кости», Невозможному собы тлю естественно прнппсать вероятность, равную нулю. Если приписать достоверному событпю вероятность, равную единице, а невозможному — равную нулю, то все другие события — воаможные, но не достоверные, будут характеризоваться вероятностямп, лежащими между нулем я единнцей, составляющими какую-то д о л 1о единпцы. Таким образом, установлены едпннца нзмереняя вероятности — вероятность достоверного события н диапазон изменения вероятностей — числа от нуля до единицы.
Какое бы событне А мы ня взяли, его вероятность Р(А) ") «Игральной костью» вазывается кубпк, яа шести гр»зях которого н»и»севы 1, 2, 3, 4, 5, 6 точек (очко»), |8 гл |. основнык понятия ткогпп еж пятно;тги удовлетворяет условию: О<Р(А)<1. (1.1.1) Очень большую роль в применении вероятностных методов играют практически достоверные и яра к тически невок м о ж н ы е события. Событие А называется практически неко»кожным, если его вероятность не в точности равна нулю, но очень близка к нулю: Р (А) яе О. Пример. Опыт: 32 буквы разрезной азбуки смешаны между собои; наугад вынимается одна карточка, стоящая на ней буква записывается, карточка возвращается обратно и смешивается с другимп. Такой опыт производится 25 раз. Событие А состоит в том.
что после 25 выниманий мы аапип|ем первую строчку «Евгения Онегина»: «Мой дядя самых честных правил». Событие А не является ф|гзически невозможньы|; в дальнейшем (см. и. 2.3) мы даже подсчитаем его вероятность, которая равна | —.,) . Оиа настолько мала, что событие с такой вероятностью смело можно считать практически невозможным. )Ь Аналогично, практически достоверным называется событие, вероятность которого не в точности равна единпце, но очень близка к единице: Р(А) яе 1.
Введем новое важное понятие: противоположное событие. Противоположным событп|о А называется событие 1, состоящее в яепоявлекии события А. Пример. Опыт: один выстрел по мишени. Событие А — попадание в десятку. Противополои|ное событие Л вЂ” непопадание в десятку.
~ Вернемся к практически невозможным и практически достоверным событиям. Если какое-то событие А практически невозможно, то противоположное ему А практически достоверно, п наоборот. Практически невозможные (и сопутствующие им практически достоверные) события играют большу|о роль в теории вероятностеи: на них основана вся ее познавательная ценность. Ни один прогноз в области случайных явлений не является и не может являться полностью !.!. СЛУЧЛИНОЕ СОБЫТИЕ ВГО ВЕРОЯТНОСТЬ г9 достоверным; он может быть только и р а ь т и ч е с к и достоверным, т. е.
осуществляться с очень большой вероятностью. В основе применения всех выводов и рекомендаций, добываемых с помощью теории вероятностей, лежит принцип практической уверенности, который может бьиь сформулирован следующим ооразом: Вели вероятность события А в данном опыте весьма мала, то (при однократном выполненщ! опыта) ложно вести себя ток, как будто событие А вообще невоалгожгсо, т.
е. не рассчитывать на его появление. В повседневной жизни мы постоянно (хотя и бессознательно) пользуемся зтим принципом. Например, выезжая куда-то на такси, мы не рассчитываем на возможность погибнуть в дорожной катастрофе, хотя некоторая (весьма малая) вероятность такого события все же имеется. Отправляясь летом на Кавказ или в Крым, мы пс захватываем с собой зимней верхней одежды, хотя какая-то (очень малая) вероятность того, что нас настпгнет мороз, все-таки не равна нулю.
Обратим внимание на слова «при однократном выполнении опыта» в формулировке принципа практической уверенности. Дело в том, что производя и н ого опытов, в каждом из которых вероятность события А ничтожно мала, мы повышаем вероятность того, что событие А произойдет х о т я б ы о д и н р а з в массе опытов. В самом деле, представьте себе ло~ерею, в которой на миллион билетов всего один выигрыш. Некто покупает одпп билет.
Вероятность выигрыша для него 0,000001, т. е. ничтожно мала, и можно считать выигрыш практпчески невозможным. А теперь представьте себе, что распроданы все 1000000 билетов. Кто-то из купивших получит выигрыш, т. е. для него произойдет практически невозмо»кное событие. За счет чегет За счет того, что опыт (покупка билета) произведен очень много раз. Аналогично обстоит дело с надежностью сложных агрегатов. Пусть агрегат состоит из большого числа )т' элементов. Каждый пз нпх отказывает (выходит нз строп) с ничтожно малой вероятностью. Но за счот того, что влементов очень много, вероятность того, что откажет хотя бы один из них, перестает быть блиакои к нулю (см.
пример 16 п. 2А). Переходим к самому тонкому н трудному вопросу: насколько мала должна быть вероятность 2О гл. 1, ОснОВные понятия теОРНН ВВРОятностей события, чтобы его можно было считать практически не воем о и< вы м7 Ответ на этот вопрос выходит за рамки математической теории и в каждом отдельном случае решается из практических соображений, в соответствии с той важностью, которую имеет для нас л<елаемый результат опыта. Ч е м о п а с н е е в о з м о ж н а я о ш и б к а и р е д с к аз ани я, тем ближе к нулю должна быть вероятность события, чтобы его с ч и тать п р а ктпчески невозможным.
Например, когда мы, на основе вероятностных расчетов, предсказываем, что средний результат )<' взвешиваний не отклонится от истинного веса тела больше, чем на заданную величину е, а вероятность того, что отклонение будет больше е, равна 0,01, мы еще моя<ем примириться с этим н считать событие А — «ошибка больше е» вЂ” практически невозможным. Чем мы в данном случае рискуем? Легкой неправильностью предсказания. Совершенно другое дело — если вероятность взрыва космической ракеты при ее запуске равна тем же 0,0!. Риск велик, велика ответственность; в таких условиях во что бы то ни стало надо добиваться «вероятности неудачи», на несколько порядков меньшей.
Размер допустимой «вероятности риска» всегда назначается исследователем, исходя из степени опасности риска. Выбирается он более или менее произвольно. Но- этому иа всех прогнозах, осуществляемых методами теории вероятностей, всегда лежит отпечаток «начального произвола», связанного с выбором достаточно малой «вероятностп риска», — вероятности того, что прогноз не оправдается. Это обстоятельство отнюдь не сннжает ценности вероятностных методов исследования. «Ориентировочный прогноз» все же лучше, чем «никакой прогноз», который вытекал бы из требования, чтобы «вероятность риска» была в точности равна нулю. Чтобы убедиться в полезности вероятностных методов предсказания, предлагаем читателю (если он не ленив н любопытен) проделать элементарный опыт: бросить монету любого достоинства У 1000 раз (для простоты можно бросать сразу по 10 штук, тщательно перетряхнув их в коробке) и подсчитать число появившихся гербов.
На основе вероятностных методов можно утверждать с практической достоверностью (в данном случае с вероятностью приблизительно 0,997), что число выпавших ьг. нвпосгвдстввнныя подсчкт ввгоятноствя 21 гербов не выйдет аа пределы (453 сь 547) «). Не слишком точное предсказание, не правда ли7 Но ведь не пользуясь вероятностными методамн, мы могли бы дать только одно, строго достоверное, но зато тривиальное предскааанне: число выпавших гербов будет закл«очеяо в пределах (Π—: 1000). 1.2.
Непосредственный подсчет вероятностей Существует класс опытов, для которых вероятности пх возможных исходов можно вычислить, исходя непосредственно из самих условий опыта. Для этого нужно, чтобы различные исходы опыта обладали симметрией и в силу этого были объективно одинаково возможными. Рассмотрим, например, опыт, состоящий в бросаянн игральной кости. Если кубик выполнен симметрично, «правнльноз (центр тяжести не смещен ни к одной нз граней), естественно предположить, что любая из шести граней будет выпадать так же часто, как каждая из остальных. Так как достоверное событие «выпадет какаято из гранейз имеет вероятность, равную единице, в распадается на шесть одинаково возможных вариантов (1, 2, 3, 4, 5 илн 6 очков), то естественно приписать каждому из них вероятность, равную 1/6.
Для всякого опыта, обладающего симметрией возможных исходов, можно применить аналогичный прием, который называется непосредстеенньы«подсчетом вероятностей. Симметрия возможных исходов чаще всего наблюдается в искусственно организованных опытах, где приняты специальные меры для ее обеспечения (например, тасовка карт или костей домино, которая для того и производится, чтобы каждая из нкх могла быть выбрана с одинаковой вероятностью; или я.е приемы случайного выбора группы изделий для контроля качества в заводской практике). В таких опытах подсчет вероятностей событий выполняется всего проще. Не случайно первоначальное свое развитпе (еще в ХЧ11 веке) теория вероятностей получила на материале азартных игр, которые поколениями вырабатывались именно так, чтобы ') О том, ьак делзютси «акис ирсдсказззиа, можно узпзть з гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
