Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пример 2. В урне 7 шаров: 4 белых и 3 черных. Из нее вынимаются (одновременно или последовательно) два шара. Найти вероятность того, что оба они будут белыми: В = (оба шара белые). При решении этой задачи н других ей подобных ыы будем пользоваться элементарными формулами комбинаторики, в частности, формулой для числа сочетаний. Число сочетаний нз 1с элементов по 1 — это число способов, какими можно выбрать 1 различных элементов из й; обозначается оио С» и вычисляется по формуле: С( ь(ь — () ...
((; — (-'- () 12...( Илп, пользуясь знаком факторпала (!) Ь(1 — ()... (Ь вЂ” !+1) Ь Число сочетаний обладает следующими свойстваьш: С" 1, С' С'„' ', С„'=(;; С' С'„' =С"=1. Пользуясь формулой (1.2.2), решим пример 2. Решение. Общее число случаев в примере 2 равно числу способов, какими можно выбрать 2 шара из 7: а число случаев, благоприятных событию В,— это число способов, какими можно выбрать 2 белых шара пз 4: ив=с,- — 'е-б, з 43 12 ") Здесь и в двльпейюем мы будем польвоватьсв подобным обозначением событий, стев~ в фвгурпые скобки кх словеспое оппсвапе, са пспосРГдстВГнныи подсчет ВеРОятнОстей 27 Отсюда Р(В) = —.
в 2 Х! 7' Пример 3. В партии из К изделий М дефектных. Пз партии выбирается для контроля )4 изделий ()4 с К). Найти вероятность того, что среди них будет ровно л« дефектных (т ~ )4). Р е ш е н и е. Общее чпсло случаев и С~к. Найдем па, — число случаев, благоприятных событию В = (ровно па дефектных изделий в контрольной партии). Найдем сперва число способов, какими из М дефектных изделий можно выбрать л» для контрольной партии; оио равно Саь Но это еще ке все: к кан4доп комбпнацпп дефектных изделий нужно прпсоедпнпть комбинацию пз )а — т доброкачественных; зто»южно сделать Ск »4 способамп. Каждая комбинация пз ла дефектных изделий может сочетаться с каждой комбинацией пз й — т доброкачественкьж; число тех и других комбинаций надо перемножить. !!оэтому число благоприятных событию Р случаев равно шп С»", Ск" '»4 и Р(В) С»4 Ск-м!Ск.
Ь (1.2.3) Пример 4. Некто выбирает наугад 6 клеток «Спорт- лото» (6 пз 49). Найти вероятность того, что он правиль- но угадает пз числа выигравших 6 номеров: А (ровно трп),  — (ровно четыре), С (ровио пять>, Р = (все шесть). Ре ш е н не. Нетрудно убедиться, что задача по струк- туре полностью совпадает с предыдущей, если считать «дефектными» выигравшие номера, а «доброкачествен- ными» вЂ” не выпгравшпе. Применяя формулу (1.2.3), по- лагая в ней К 49, М=6, а и — последовательно рав- иым 3, 4, 5, 6, получим: Р (А) †' „ " ж 1,765.10 ', Р (В) †"„ '" ж 9,686 10 ', 44 4» С«С' С" Р(С) — '," ж1,845 10 ', Р(Л) — ", еи 7,151 ° 10 а, ~ а» а» 23 ГЛ 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВСРОЛТНОСТГЙ Пример 5. Опыт состоит в одновременном (или последовательном) бросании двух монет.
Найтп вероятность события А (хотя бы на одной монете выпадет герб). Решение. С первого взгляда легкомысленному н торопливому читателю может показаться, что в данной задаче трп случая: А, (два герба); А, = (две решки); А, (герб и решка). Однако это неверно: этн события нераввовозмол1ны; последнее вдвое вероятнее каждого нз остальных. Составим схему случаев; для этого назовем монеты: первая и вторая (еслп онп бросаются последовательно, первой будет первая по временп; если одновременно, то, например, та, центр которой ляжет севернее). Случаями будут следующие события: В, =(на первой монете герб, на второй герб), В, = (на первой монете решка, на второй решка), В, (на первой монете герб, на второй решка), В, (на первой монете решка, на второй герб).
Найдем Р(А). Из четырех случаев событию А благоприятны все, кроме В,; значит, т — 3 п Р(А) — 3/4. Событию А, = (герб п решка) благоприятны два последних случая В, п В„откуда Р(А») = 2/4 — 1/2, т. е. СО- бытие А, вдвое вероятнее каждого из событпй А, и А,. 1.3. Частота пли статпстпческая вероятность события Как уя1е внаем, формула (1.2Л) для непосредственного подсчета вероятностей применима только тогда, когда опыт, в результате которого может появпться интересующее нас событие, обладает спмметрпей возмо1кных исходов. Очевидно, это далеко не всегда так, и существует огромный класс событий, вероятностп которых нельзя вычислять по «классической» б1ормуле. Возьмем, к примеру, неправильно сделаяпую игральную вость (со смещенным центром тяжести). Событне А (выпадение 5 очков) уя1е не будет обладать вероятностью 1/б.
Но какой жег И как ее найти? Ответ пнтуптнвно ясен.' надо »попробовать» побросать кость доста- ьз. частота или стьтнстпчкскэя Вкэоятность яэ точно много раэ и посмотреть, насколько ч а с т о будет появляться событие А. Очевидно, что вероятности таких событий, как В = (попадание в цель при выстреле), С = (выход иэ строя интегральной схемы в течение одного часа работы), В = (прп контроле изделий будет выявлено за день ровно т дефектных), также не могут быть найдены по формуле (1.2Л) — соответствующие опыты к схеме случаев не сводятся.
Тек не менее, естественно предположить, что каждое пэ нпх обладает какой-то степенью объективной возможности, которая при многократном повторении соответствующих опытов будет отражаться в относительной частоте событий. Ыы будем исходить из предположения, что каждое а случайных событий (сводится опыт к схеме случаев илл нет, лишь бы он был неограниченно воспроизводим) обладает какой-то вероятностью, заключенной между нулем и единицей. Для опытов, сводящихся к схеме случаев, подсчет вероятностей производится (прямо илп косвенно) по формуле (1.2.1).
С теми же опытами, которые к схеме случаев не сводятся, дело обстоит сложнее: прямое пли косвенное нахождение вероятностей событий корнями свопмп уходит в сбор данных, статистику, массовый эксперимент. Введем одно иа важнепших понятий теории вероятностей — понятие частоты случайного события. Если производится серия пз и опытов, в каждом пз которых может появиться плп не появиться событие А, то частотой события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу п произведенных опытов.
Частоту события часто называют его с т а т и с т и ч еской вероятностью (в отличие от ранее введенной «математической» вероятности). ° Подчеркнем, что для вычисления частоты события недостаточно знать условпя опыта, нужно еще располагать каким-то массивом статистических данных.
Частота— характеристика опытная, экспериментальная. Условимся обозначать частоту (статистическую вероятность) события А знаком Рэ(А) (адесь и в дальней- 3О Гл. ь ОснОВные понятия теОРии ВВРОятностгп пшм звездочка у буквы будет указывать на статистический характер соответствующего параметра). Согласно определению, частота события А вычисляется по формуле; Р«(А) (1.3.
Ц где п — число произведенных опытов (яе путать с числом случаев в «классической схеме»!), М, — число опытов, в которых событие А появилось. Прп небольшом п частота события носит в значительной мере случайный характер. Пусть, например, опыт — бросание монеты, событяе А (появление герба). Вероятность этого события, по формуле (1.2.1), Р(А) = 1!2. Что касается частоты Р«(А), то она вовсе не обяаана равняться 1/2 и даже быть близкой к пей. Например, прп пяти бросаипих (л 5) вполне возможно, что герб поивптся только один раз: Р*(А) = 1,'5; менее вероятно, но тоже возможно, что он не появится вообще нп разу: Р»(А) О, плп асе пять раз: Р«(А) = 1. Одним словом, прп малом числе опытов частота события непредсказуема, случайна. Однако прп большом числе опытов л частота все больше теряет свой случайный характер: ова проявляет тенденцию с т а б и л и з и р оваться, приближаясь, с иеапачительнымп колебаниями, к некоторой средней постоянной величине «).
Например, прп многократном бросании монеты частота появления герба будет лвшь незначительно уклоняться от 1/2 =0,5, Для иллюстрации в табл. 1.3.1 приведены результаты серии пз и= 600 бросаний монеты (для простоты опьн подразделен на 60 «подсерпй», в каждой пз которых бросались одновременно 10 тщательно встряхиутых монет и подсчптывалось число выпавших гербов). Для иллюстрации на рис. 1.3А изображена зависимость частоты Р«(А) появления герба от числа опытов я.
Из этого графика видно, что по мере увеличения я частота проявляет тенденцню стабилизироваться, приближаясь сквозь ряд случайных отклонений к постоян- ') Естественно, »то спрааедлпво только для тех случайвыч явлений, которые обладают свойством устойчивости частот (см. введевпе), во только танака яалеввямв в заввмаетса т«ораз»»- ролтвостей.
31 ной величине, котору(о мы положим равной 0,5 (зто— как раз вероятность Р (А) появления герба в одном опыте). Пз рассмотрения табл. 1.3.1 и гра((п)ка рис. 1.3.1 мы моя(ем сделать ряд поучительных выводов. 1. По мере увеличения числа опытов и частота события имеет тснденцпв) приближаться к его вероятности. '1'аба и па 1.3.1 Чааао опытаа а Р* (Л) Р~ (Л) Р* (Л) 2, Зто прибли)кение идет довольно медленно (гораздо медленнее, чем хотелось бы)), но явно прослен(ивается на экспериментальном материале. 3.
Колебания частоты около вероятности носят случайный, незакономерный характер. Если бы мы повторили тот же массовый опыт (произвели бы другие 000 бросаний монеты), то кривая зависимости частоты Р*(А) от числа опытов я имела бы другой конкретный впд, но, по-видимому, общая тенденция приблп)каться к 0,5 сохранилась бы. Теперь спросим себя: можно лп сказать, что при увеличении п частота Р* (А) с т р е и и т с я к вероятности Р(А) в обычном математическом смысле еловку Нет, етого сказать нельзя, именно в связи со си у ч а й- 10 20 30 40 50 60 70 80 90 !ОО 110 120 130 140 150 160 170 18О 1(Х) 200 0,600 0,650 0,600 0,575 0,540 0,550 0,528 0,512 0,588 0,490 0,550 0,492 0,523 0 500 0,493 0,475 0,471 0,472 0,463 0,465 210 220 230 240 250 260 270 280 290 зоо 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 0,462 0,472 0,470 0,479 0,484 0,477 0,489 0,482 0,493 0,497 0,500 0,503 0,497 О 506 0,497 0,497 0,495 0,492 0,500 0,498 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 500 600 0,502 0,512 0,514 И,519 И 515 0.515 0,510 0,508 0.5(И 0,506 0,516 0,513 0,5 15 0,513 0,511 0,512 0,500 0,507 0,505 33 гл ь ОснОВные понятия теОРПН ВВРОятностен постыл процесса прпблпжения.
В самом деле, теоретически, например, могло ли бы случиться, что все 600 раа выпал герб и Рз(А) оказалось равным единицер Теоретически могло бы, а на практике — нет. Вероятность того, что все 600 раз выпадет герб, настолько мала (в дальнейшем (см. гл, 2, и. 2А) мы вычислим ее и убедимся, что она равна (1/2)"'), что можно пренебречь возможностью такого совпадения, Подсчеты показывают, с,б а,а Рас. 1.3Л что даже значительно меньшие отклонения частоты от вероятности прп н 600 практически не встречаются. Забегая вперед (см. гл. 11), сообщим читателю, что при шестистах бросаниях монеты частота появления герба почти наверное не отклонится от 0,5 больше, чем 0,06 (в дальнейшем вы научитесь самостоятельно находить такие границы, за которые практически наверняка не выйдут отклонения численного результата опыта от заранее предсказанного или искомого аяачения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
