Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 10
Текст из файла (страница 10)
> ° ) Мы уже говорила о том, что беаразлвчво, выпеваются лв шары гюследовательво вли одвовремевво; во втором случае можно вх перенумеровать любым способом. 2.2 условпля вегоятнОсть сОБытия зз Правило умножения вероятностей (2.3.2) легко обобщается на случай произвольного числа событий: Р(А,А,... А„) Р(А«) Р(А«(А«)Р(А»(А«А»)... Р(Ак(А«А»... Ав-«), (2.3.4) т. е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место. П р н м е р 3.
В урне 5 перенумерованных шаров с номерами 1, 2, 3, 4, 5. Из урны один за другим вынимаются все 5 шаров. Найти вероятность того, что их номера будут идти в возрастающем порядке. Решение. Событие А=(1, 2, 3, 4, 5). По формуле (2,3А) Р (А) (1/5) (1/4) (1/3) (1/2) = 1/120. и Особенно простой внд получает правило умножения вероятностей в случае, когда события, образующие произведение, независимы. Событие А называется независимым от события В, если его вероятность не аависит от того, произошло В илп нет, т.
е. Р(А~В) Р(А). В противном случае, если Р(А(В)ФР(А), событие А зависит от В. Зависимость н независимость событий всегда взаимны: если А зависит от В, то и В аависит от А, и наоборот. Докажем зто. Пусть событие А не зависит от В: Р(А(В) = Р(А). Запишем правило умножения в двух формах: Р(АВ) Р(А)Р(В~А)=Р(В)Р(А~В). (2.3.5) Отсюда, заменяя в последнем выражении условную вероятность Р (А ~ В) на «безусловную» Р(А), имеем: Р(А)Р(В~ А) Р(В) Р(А). Или, предполагая, что Р (А)ФО, и деля обе части равенства па Р (А), Р(В ~ А) Р(В), т.
е. событие В не зависит от А, что и требовалось до- казать. ГЛ 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ 52 В связи с этим можно дать новое определение независимых событий: Два события называются независимыми, если появление одного из них пе меняет вероятности появления другого, П р и м е р 4. Опыт состоит в последовательном бросании двух монет; рассматриваются события: А = (появление герба на первой монете), В = (появление герба на второй монете).
Из физических соображений ясно, что появление герба на одной из монет никак не влияет на вероятность появления герба на другой: Р(А(В) Р(А); Р(В!А) =Р(В). События А и В независимы. й Пример 5. В урне 2 белых шара и 3 черных; два лица вынимают из урны по одному шару. Рассматриваются события: А (появление белого шара у первого лица), В = (появление белого шара у второго лица), Р (А) 2/5; Р (А ) В) 1/4; события А и В зависимы. 2е Для независимых событий правило умножения вероятностей прнннмает особенно простой вид: Р (АВ) Р (А) Р (В), (2.3.6) т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей зтих событий. Из формулы (2.3.6) легко вывести следствие: если события А и В независимы, то независимы также и события А и В, А и В, А и В, Докажем, например, что А и В независимы (для остальных пар доказательство будет аналогичным).
Представим событие А как сумму двух вариантов; А = АВ + АВ. По правилу сложения: Р (А) = Р (АВ) + Р(АВ), 2.3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ 55 и Р(АВ) = Р(А) — Р(АВ) = Р(А) — Р(А) Р(В) = Р(А) () Р(В)) = Р(А).Р(В), откуда видно, что события А и В независимы. Несколько событий А„А„..., А„Называются независимыми, если любое из пггх ке зависит от любой комбикации (произведепия) любого числа других. Для независимых событий правило умножения принимает впд: Р(А, А,, А„) = Р(А,) Р(А,) ...
Р(А„) (2.3.7) или, короче, пользуясь знаком пропзведепия: Р (П А1) Ц Р(Л,), т1=1 / 1 1 (2.3.8) т. е. вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Заметим, что если имеется несколько событий Л;, А„..., А„, то их попаркая незаввсимость (т. е.
Независимость любых двух событий А, и А, с разкымп индексамп) еще ке оавачает вх Везаэисвмости в с о в о к у и к о с т и. Убедимся в этом па копкретпом примере. Пример б. Пусть имеется ЭВМ, в которой пвформация хранится в виде нулей и едипиц; ату икформацвю время от времени приходится пересылать с одного места ка другое. При пересылке, хотя и редко, возникают ошибки. Чтобы бороться с ними, поступают так: пересылают яе по одному зиаку 0 яли 1 (биту), а сразу по три: х„х„хз.
Из яих х„х,— это те эваки, которые Вас интересуют и которые мы должны переслать, а х,— добавочный зпак, который слуягит целям контроля и автоматически создается машиной так, чтобы сумма х, + + х, +х, была четкой. После каждой пересылки сумма эта проверяется ка четкость; если опа оказывается Нечетной, подается спгпал ошибки. Предположим, что зваки х„х„которые мы хотим переслать, принимают зпачскпе 0 плк 1 с вероятностью 1/2, причем пезаввспмо друг от друга. Рассмотрим события: Аз (хз 0); Л, (х~ = 0)) Аз (х1 0), зв ГЛ.
З. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ Найдем вероятности этих событий, их попарных произведений А,А„А„А„А,А„а также произведения всех трех: А,А,А,. По условию Р(А,) = Р(А,) = 1!2о Р (А,А,) Р (А,) Р (А,) = 1(4. Найдем Р (Ао). Событие А. происходит, когда х, = х, = 0 или х, = х, — 1, т. е. распадается на два варианта: А, =А,А,+Л,Л„ откуда Р (А,)— Р (А,А,) + Р(А,А,) — (1~2) (1~2) + (1~2) (1~2) = 1!2. Что же касается событий А„А„А,А„А,А,А„то это— одно н то же событие, совпадающее с А,А,: каждое пз них происходит тогда и только тогда, когда х, = х, = О.
Их вероятности: Р(АоА|) Р(АоА ) = Р(АоА~Ао) 1~4. Отсюда видно, что события А, н А, независимы, так как вероятность их произведения равна произведению вероятностей: Р(А,А,) = 1~4 (1/2) (1/2) Р(А,) Р (А,). Ясно, что по той же причине независимы и события А, и Ао Следовательно, события Ао, А„А, попарно н е а а в и с и и ы.
Теперь посмотрим, независимы лн они в своей совокупности? Очевидно нет, так как вероятность их произведения не равна произведению вероятностей: Р(АоАоАо) = 1/4~Р(Ао) Р(Аг) Р(Ао) = 1/8. Таким образом, мы убедились, что п о п а р н а я н е з ависимость событий еще не означает их независимости в совокупности.
Рассмотренный пример намеренно упрощен по сравнению с действительностью: в реальных ЭВМ биты пересылаются не тройками, а ббльшпми порциями (обайтами»). 9 В основе независимости событий лежит их ф и а и ч еская независимость, сводящаяся к тому, что множества случайных факторов, приводящих к тому или другому исходу опыта, не пересекаются (или почти не пересекаются). Например, если опыт состоит в том, что два лица в двух разных городах бросают по монете, то события А =(выпадение герба у первого лица) и В 2.3. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ бу (выпадение герба у второго) смело можно считать независимыми. Если опыт состоит в том, что некто стреляет и раз по мишени, каждыя раз прицеливаясь заново и не вводя поправку на ранее допущенную ошибку, то сооыткя А„А„..., А, где А,=(попадание при (-м выстреле) можно считать независимыми.
Если же стрельба ведется очередью из автоматического оружия и прпцелявание производится однажды перед всея очередью, те же события будут уже зависимыми, так как ошибка прицеливания будет общим случайным фактором, влияющим на все выстрелы. Мы знаем, что в природе нет абсолютно независимых явлений, но есть практически независимые. Так же обстоит дело я с событиями: у некоторых из них зависимость настолько слаба, что их можно в расчетах полагать независимыми и, вычисляя вероятность их произведения, просто перемножать вероятности зтвх событий.
С понятием «независимых событий» тесно связано понятие «независимых опытов». Несколько опытов называются независим»«ми, если их исходы представляют собой независимые события. Пример независимых опытов: л бросаний монеты, в каждом из которых может появиться «герб» нли «решка», Пример зависимых опытов: п дней подряд измеряется температура воздуха 2 в одном и том же пункте в одно и то же время дня; в результате каждого опыта могут появиться или не появиться события А П'<О); В=(0<2'<10'О и С=(2'> 10'О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
