Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(2.5А)' Каждая гипотеза осуществляется случайным обрааом и представляет собой некоторое событие. Вероятности гипотез нзвестны и равны Р(Н1); Р(Н,); ...; Р(Н ). Рассматривается некоторое событие А, которое может появиться только вместе с одной из гипотез (2.5А).
Заданы условные вероятности события А при каждой из гипотез: гл. 3. »ксиомлтикх тногип ВГРОятпостГЙ случайным исходом распадается на два этапа: з первом как бы «раэыгр«,за<отея» условия опыта, во втором— его результат. П р и и е р 1. Имеются трв одинаковые на вид урны; в первой 2 белых шара и 3 черных, во второй — 4 белых и 1 черный, в третьей — 3 белых шара. Некто подходит наугад к одной из урп и вынимает из пее один шзр.
Найти вероятность того, что этот шар будет белым: А (появление белого шара). Р е ш е н и е. Выдвигаем три гипотезы: Н, (выбрана первая урна); Н, (выбрана вторая урна); П, (выбрана третья урна). Р (Н,) — Р (Н,) Р (Н,) 1/3. Р(А)Н,) 2/5; Р(А~Н,) 4/5; Р(А~Н»)-1. По формуле (2.5.2) Р(А) (1/3) (2/5) + (1/3) (4/5) + (1/3) 1 (1/3) (2/5 + 4/5 + 5/5) (1/3) (11/5) 11/15. ~ Пример 2. Прибор может работать в трех режимах: 1) нормальном, 2) форсированном н 3) недогруженном. Нор»<альпый режим наблюдаетсв в 60» случаев работы прибора, форсированный — в 30% и недогруженный — в 10%. Надежность прибора (вероятность безотказной работы в течение заданного времена г) для нормального режима равна 0,8, для форсированного 0,5, для недогруженного 0,9. Найти полную (с учетом случайности условкй) надежность прибора.
Р е ш е я в е. Гипотезы: Н, — нормальный рея<им, Н, — форсированный режим, Н,— недогруженный реп<им. Р (Н,) 0,6; Р (Н,) — 0,3> Р (Н,) 0,1, А = (безотказная работа прибора). Р(А~Н<) 0,8; Р(А~Н») 0,5; Р(А~Н ) 0,9. По формуле (2.5.2) Р (А) 0,6 0,8 + 0,3 0,5 + 0,1 0,9 = 0,72. ~ Пример 3. Имеется две партии однородных изделий; первая состоит из Й изделий, среди которых я де- 6.6. ФОРмулА пОлнОЙ ВВРОятпостп 7! фектвых; вторая — иа М изделий, среди которых лз де- фектных. Из первой партии берут случаиным образом й изделий, из второй ) иадслий (/г(Д/; )(М) и смеши- вают между собой.
Из полученной партии й+) изделий берут наугад одно. Найти вероятность того, что взятое изделие будет дефектвым. Решение. А =(взятое изделие дефектпо). Гипотезы: Н, = (изделие принадлежит первой партии), Н, = (изделие принадлежит второй партии), Р (Н,) /г/(/г + )); Р (Н ) )/(/г + )). Условные вероятности события А; Р(А~ /У,) и/Д/; Р(А) Нз) т/М, По формуле (2.5.2) Р(А) (л/(/г+ ))) (я//т)+ (!/(я+ ))) (т/М). ~ Пример 4. Завод изготовляет изделия, каждое из которых независимо от других с вероятпостью р имеет дефект.
В цехе имеется три ноптролера; изделие осмат- ривается только одним из пих (с одинаковой вероят- ностью первым, вторым или третьим). Вероятность обна- ружения дефекта, если ов имеется, для )-го, 2-го и 3-го контролеров равна соответственно р„р„р,. При обнару- жении дефекта взделие бракуется. Если изделие не было забраковано в цехе, то оно отправляется па ОТК взвода, где дефект, если ои имеется, обнаруживается с вероят- костью р,; иэделие, дефект которого обнаружев, браку- ется. Найти вероятность того, что изделие будет забра- ковало. Решение. Событие А =(изделие будет забракова- но).
Здесь удобно перейти к противоположному событию Л (иэделие ве будет забраковано). Представим событие Я как сумму двух несовместных вариантов: Л Я~+ Яз где Я, (иаделие ие имеет дефекта), Л, (иаделие имеет дефект, во оп ие обнаружен ня в цехе, ви в ОТК завода). Р (А,) 1 — р. 72 ГЛ. 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ Найдем Р(А,). Для этого надо умножить вероятность того, что изделие имеет дефект, на вероятность того, что этот дефект не будет обнаружен ни в цехе, нп в ОТК. Вероятность того, что имеющийся дефект не будет обнаружен в цехе, по формуле полной вероятности равна (1/3) ((1 — р,)+ (1 — р,)+ (1 — р,)].
Вероятность того, что имеющийся дефект после цехового осмотра не будет обнаружен в ОТК, равна 1 — р,. По правилу умножения: Р(Аз) = р(1 — (1~3)(рз+ рз+ рз)]'(1 — ро)' Р(А) =Р(А )+Р(А,)=1 р+ р [1 (1!3)(рз+ рз+ рз)](1 ро)' Р(А) = 1 — Р(А). ~ П р и м е р 5. Цех завода производит определенного вида изделия; любое из ннх, независимо от других, с вероятностью р имеет дефект. Каждое изделие осматривается контролером, который обнаруживает дефект, если он имеется, с вероятностью р, и не обнаруживает с вероятностью 1 — р,. Изделие с обнаруженным дефектом бракуется. Кроме того, иногда контролер допускает ошибку и бракует доброкачественное изделие; это происходит с вероятностью р,. За смену контролер осматривает Ж изделий.
Найти вероятность того, что хотя бы одно из них будет квалифицировано им неправильно: или, будучи дефектным, отнесено к доброкачественным, или наоборот (считается, что результаты осмотров отдельных изделий независимы). Р е ш е н и е. Сначала найдем вероятность события А = -(неправильная квалификация одного отдельного изделия) по формуле полной вероятности. Гипотезы: Н, (изделие имеет дефект), Н, = (изделие не имеет дефекта). Р(Н,)=р; Р(Ы,)=1 — р. Условные вероятности события А при этих гипотезах равны: Р (А ] Н,) = 1 — р;, Р (А! Н,) - р,.
По формуле (2.5.2) Р(А)-р(1 — р.)+(1 — р)р. Теперь найдем вероятность события В (хотя бы одно иэ Ж изделий будет квалифицировано неправильно), хь ФОРмулА полной ВеРОятпостп 73 Гораздо проще будет найти вероятность противоположного события: В = (все Ж изделий будут квалифицированы правильно). Событие В есть произведение [1' независимых событий, каждое из которых состоит в том, что отдельное пзделив квалифицировано правильно. Вероятность этого равна1 — Р(А) 1 — [р(1 — р,)+ р.,(1 — р)). По правилу умножения вероятностей для независимых событий Р (В) = (1 — [р (1 — р,) + р (1 — р)))'~. Откуда Р(В) = 1 — Р(В).
[в П р и м е р 6. Прибор состоит из двух дублирующих друг друга узлов и может работать в одном из двух режимов: нормальном и неблагоприятном. Нормальный режим наблюдается в 80з[1 случаев эксплуатации прибора; неблагоприятный — в 20е1з случаев. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого из узлов в нормальном режиме равна 0,9, в неблагоприятном — 0,6. При выходе из строя (отказе) узла происходит автоматическое и безотказное переключение на дублера.
Найти полную вероятность Р(А) безотказной работы прибора. Р е ш е н и е. Гипотезы: Н, =* (прибор работает в нормальном режиме); Н, (прибор работает в неблагоприятном режиме); Р(Н1) = 0,8; Р(НА) 0,2. В нормальном режиме вероятность безотказной работы прибора Рннр 1 — (1 — 0,9)' — 0,99; в неблагоприятном Рвнс 1 — (1 — 0,6)з = 0,84. Полная вероятность безотказной работы прибора Р(А) 0,8 0,99+ 0,2 0,84 0,792+ 0,168 = 0,960. ~ Пример 7.
Сообщение может передаваться по одному из каналов связи, находящихся в различных состояниях; из них я, каналов в отличном состоянии, и,— в хорошем, и, — в посредственном и и, — в плохом (л, + + я, + и, + я, = и). Вероятность правильной передачи. т4 ГЛ. 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТИОСТЕЯ сообщения для разного вида каналов равна, соответственно Р, Рп ре р.
Для повышения его достоверности сообщение передается два раза по одному и тому же каналу, который выбирается наугад. Найти вероятность того, что хотя бы один раз оно будет передано правильно. Решение. А =(хотя бы один раз сообщение передано правильно). Переходим к противоположному событию: А (оба раза сообщение передано неправильно). Сделаем ряд гипотез о том, по какому типу канала были переданы сообщения: Н, =* (по Н, (по На = (по Н, (по Р (Н,) и,/и; каналу в отличном состоянии), каналу в хорошем состоянии), каналу в посредственном состоянии), каналу в плохом состоянии). Р(Н,) и (и; Р(Н,) пз)п; Р(Н,) =л,(и.
Полная вероятность события А Р (А) (1(п) (и, (1 — р )з + и, (1 — р,)з + + п,(1 — рз)з+ п,(1 — р,)г), Р(А) 1 — Р(А). $ П р и м е р 8. Производится посадка самолета на аэродром. Если позволяет погода, летчик сажает самолет, пользуясь, помимо приборов, еще н визуальным наблюдением. В этом случае вероятность благополучной посадки равна р,. Если аэродром затянут низкой облачностью, то летчик сажает самолет, ориентируясь только по приборам. В этом случае вероятность благополучной посадки равна р;, р,с р,. Приборы, обеспечивающяе слепую посадку, имеют надежность (вероятность безотказной работы) Р.
При наличии нивкой облачности и отказавших приборах слепой посадки вероятность благополучной посадки равна р;, р, < р,. Статистика покааывает, что в Йсв случаев посадки аэродром аатянут низкой облачностью. Найти полную вероятность события А (благополучная посадка самолета). зл. ФОРмулА пОлнОЙ ВЕРОятпости 75 Р е ш е н и е. Гипотезы: П, = (низкой облачности нет), Н, = (низкая облачность есть). Р(Н,)= ио ' Р(Н*)=~в' Р(А~Н)=Р~ 7ОО-Ь, ь Условнуго вероятность Р (А ~ Н,) снова найдем по формуле полной вероятности с гипотезами Н, = (приборы слепой посадки действуют), Н, (приборы слепой посадки отказали), Р (Н) — У; Р (Н) ( — У.
По формуле полной вероятности Р(А~ Нз) = Ура+ (( — Яр Откуда Р('4) = гоо 'Р~ + ц~~('-нР~ + (( е') Р ). Пример 9. По объекту производится трп одиночных (независимых) выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором 0,5, при третьем 0,7. Для вывода объекта из строя заведомо достаточно трех попаданий; при двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,0; при одном — с вероятностью 0,2.
Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов объект будет выведен из строя: Решение. А (объект выведен из строя). Гипотезы: Н, (в объект попал один снаряд), Н, = (в объект попало два снаряда), Н, = (в объект попало трп снаряда). Находим вероятности гипотез. Событие Н, представим в виде суммы трех несовместных вариантов: (первый выстрел попал,) (второй выстрел попалд Н [второй и третий ве ~+ ~первый и третей ао ~ + попали попали третий выстрел попал, второй и первый ве попали ТВ ГЛ. 3.
АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Применяя правила сложения е умножения вероятно- стей, имеем: Р(Н,) 0,4 0,5 0,3+ 0,6 0,5 0,3+ 0,6 0,5 0,7 0,36. Аналогично, Р(Н,) 0,6.0,5 0,7+ 0,4 0,5 0,7+ 0,4 0,5 О,З 0,41; Р (Н») — О 4'0.5'О 7 0~14. Условные вероятности события А при этих гипоте- зах равны Р(А(Н,) 0,2; Р(А ~ Н,) 0,6; Р(А ~ Н,) 1,0, По формуле (2.5.2): Р(А) 0,36 0,2+ 0,41 0,6+ 0,14.1,0 0,458. й 2.6. Теорема гипотез (формула Бейсса) Следствием правила умножения и формулы полной вероятности является теорема еииотее или формула Нейе со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
