Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Если первый прибор за время 1 отказал, происходит автоматическое (и безотказное) переключение па дублирующий. Приборы отказывают независимо друг от друга. Найти вероятность того, что система из двух приборов проработает безотказно время й Решен не. От событив В = (система будет работать время Н перейдем к противоположному: В (система не будет работать). Для того чтобы система ие работала, нужно, чтобы отказали (вышли из строя) за время 2 оба прибора; и основной, и дублирующий.
Событие В есть произведение двух событии': В = (основной прибор отказал за время 1) Х Х (дублирующий прибор отказал за время 1). По правилу умножения для независимых событий: Р (В) — (1 — р)(1 — р) = (1 — р)-; Р(В) = 1 — Р(В) -1 — (1 — р)'. ~ П р и м е р 10. Сколько ну«кио поставить дублирующих приборов с той «ке надежностью р, что и основной, 64 ГЛ. 3. АКСИОЫАТИКА ТЕОРПИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ чтобы надежность системы приборов была не ниже ааданной величины Уг Р е ш е н и е. Если система состоит из п приборов (один основной и (в — 1) дублирующих), то ее падеж- ность (вероятность безотказнов работы) равна Р (В) - 1 — (1 — р)". Мы хотим, чтобы зта надежность была не меньше заданной У: 1-(1 — р)" > У. Преобразуем неравенство к виду (1- р)" < 1-У.
Откуда, логарифмируя, имеем п)й(1 — р) < )8(1-У). Деля левую и правую часть на отрицательную величину 18(1- р), получим н ) 18(1-У)/)и(1 — р). (2АА) Таково общее число приборов в системе (один основной плюс (в — 1) дублеров), гарантирующее ее надежность не менее заданной У. ~ Пример 11. Првбор (см. пример 9) имеет надежность р; для ее повышения он дублируется еще таким же прибором, но ве с полной достоверностью: переключающее устройство имеет надежность р,.
Надежность системы: Р (А) 1 — (1 — р)(1 — р„р). ~ Пример 12. По каналу связи передается 5 сообщений. Каждое из них (независимо от других) с вероятностью 0,2 искажается. Найти вероятности следующих событий: А (все сообщения будут переданы без искажений); В (все сообщения будут искажены); С (не менее двух сообщений будет искажено). Решение. Вероятность того, что отдельное сообщение будет передано без искажепвй, равна 1 — 0,2=0,8.
По правилу умножения вероятностей для независимых событий Р (А) 0,8з ж 0 328. Р (В) 0 2з» 0 00032 22. ПРИМЕНЕНИЯ ПРЛВИЛ ТЕОРИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ер (событие В можно считать практически невозможным). Чтобы найти Р (С), перейдем к противоположному событию: С =(менее двух сообщений будет искаярепо) =С,+С„ где Се (яи одно сообщение пе будет искажено), Се (ровно одно сообщение будет искажено>. Так как С,=А, Р(С ) ж0,328. Событие С, распадается на 5 несовместных вариантов (искажено может быть любое из 5 сообщений); вероятность каждого варианта по правилу умножения равна 0,2 0,8', отсюда Р(С,) 5 0,2 0,8й т 0,410. Находим Р (С) ж 0,328 + 0,410 0,738. Откуда Р(С) ж 1 — 0,738 0,262.
)» П р и м е р 13. Происходит воадушный бой между истребителем и бомбардировщиком. Начинает стрельбу истребитель; он дает по бомбардировщику один выстрел и сбявает его с вероятностью 0,2, Если бомбардировщик не сбит, он отвечает истребителю огнем п сбивает его с вероятностью 0,3. Если истребитель не сбит, он продолжает атаку, подходит к бомбардировщику ближе и сбивает его с вероятностью 0,4. Найти вероятности следующих исходов воздушного боя: А (сбит бомбардировщик); В (сбит истребитель), С = (ни один из самолетов не сбит).
Р е ш е н и е. Событие А распадается на два несовместных варпапта: А А,+А„ где А, = (бомбардировщик сбит первым выстрелом истребителя); А, (бомбардировщик сбит вторым выстрелом истребителя). По правилу сложения Р(А) = Р(А,) + Р(А,). По условиям задачи Р(А,) 0,2. Найдем Р(Аз). Для того чтобы событие А, произошло, нужно, во-первых, чтобы 3 Теория нерояеноееей и ее ин:ее ерные нрияоиеиня ае Гл.
2. АксиомАтикА теОРии веРОятностей второй выстрел истребителя состоялся (а для этого нужно, чтобы первым выстрелом бомбардировщик не был сбит и сам истребитель не был сбит ответным выстрелом бомбардировщика), и, во-вторых, чтобы вторым выстрелом истребитель сбил бомбардировщик. Р (А,) найдем по правилу умножекия вероятностей, представив А, как произведение трех зависимых событий: А, ВЕ)Р, где В (первым выстрелом истребителя бомбардировщик не сбит); Е (ответным выстрелом бомбардировщика истребитель не сбит); Г (вторым выстрелом истребителя бомбардировщик сбит).
По правилу,,умножения вероятностей для зависимых событий: Р(А„) =Р(В) РЩВ) Р(Е(ВЕ) (1 — 0,2) (1 — 0,3) 0,4 0,224. Применяя правило сложения, имеем: Р(А) * Р(Аг)+ Р(Аэ) 0,2+ 0,224-0,424. Теперь (это будет нам проще) найдем вероятность события С: С (яи один самолет не сбит) (первым выстрелом истребителя бомбардировщик не сбит) ° (ответным выстрелом бомбардировщика истребитель не сбит) ° (вторым выстрелом истребителя бомбардировщик не сбит) (1-0,2) (1 — 0,3).(1-0,4) 0,8 0,7 ° 0,6 0,336.
Итак, Р(С) 0,336. Так как события А, В, С лесов« местпы и обраэугот полную группу, Р(А) 1- Р(В) + Р(С) 1, откуда Р(В) 1 — (Р(А)+ Р(С)) 1 — 0,76 0,24. ф Пример 14. При одном цикле обзора радиолокационной станции объект обнаруживается с вероятностью зл. ЛРименения пРАВил теОРии ВВРОятностея зт р; прп следующем цикле обзора он теряется с вероятностью г; если прн следующем цикле обзора он не потерян, то слежение за объектом продолжается. Сколько потребуется циклов обзора для того, чтобы с вероятностью не менее У установить устойчивое слежение за объектом3 Решение: Условия задачи сходны с условиями примера 10, с той разницей, что устойчивое слежение эа объектом может быть установлено только за два последовательных цикла: в первом объект должен быть обнаружен, во втором — не потерян; вероятность этого равна р(1 — г).
По формуле (2.4.Ц получим число необходимых пар циклов: ~~ 1я(1 — У)/1б [1 — р (1 — г)). ф В данном пункте нам неоднократно встречались задачи одного и того же типа, а именно, независимые опыты повторялись несколько раз и требовалось либо найти вероятность того, что какое-то событие А появится хот я бы один раз, либо найти число опытов щ достаточное для того, побы с заданной вероятностью Р гарантировать появление события А, Подобные задачи часто встречаются на практике. Чтобы избежать каждый раз таких подробностей, как переход к противоположному событию, логарифмирование и т. п., решим здесь эти задачи в самом общем виде. 3 а д а ч а 1. Производится я неаависимых опытов, в каждом иэ которых событие А может появиться с какой-то вероятностью; для 1-го опыта эта вероятность равна р» ($1, 2, ..., Е).
Задан ряд вероятностей: Ро Рм " ~ Р ° Найти вероятность В1 того, что событие А появится хотя бы один раэ. Решение. Переходя к противоположному событию 'Л (событие А не появится ни разу), применяя правило умножения для независимых событий и вычитая произведение из единицы, получим Н -1-(1-р)(1-М" '(1-р.)', или, пользуясь знаком произведения П, Н. -1 — П (1 — р,) (2,4,2) $-1 68 Гл, а АксиомАтикА теОРии ВЖРОятнОстеЙ В частности, когда все вероятности р, р одинаковы: Л,=1-(1-р)". й (2.4.3) Этими формулами мы в дальнейшем будем пользоваться в готовом виде, не выводя их для каждого частного случая.
3 а д а ч а 2. Производится я независимых опытов, в каждом нз которых событие А появляется с вероятностью р. Сколько нужно сделать опытов для того, чтобы с вероятностью Р гарантировать хотя бы одно появление события Аг Решение. Рассуждая точно так же, как в примере 10, получим: п в 18(1 — У)у)й(1 — р).
(2.4.4) Пример 15. По цели производится 5 независимых выстрелов; вероятности попадания соответственно равны: Р~ 0,1~ ръ Оэ2~ ра ОаЗ~ Ри "' Оэ4~ Рь ® 0,5. Найти вероятность В, хотя бы одного попадания. Решение. По формуле (2.4.2) имеем: Вг 1 — 0„9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,8488.
П р им е р 16. Прибор состоит из элементов, надежность каждого из которых равна р 0,98. Выход нз строя каждого из элементов равносилен выходу из строя прибора в целом. Не больше какого числа и элементов ' должно быть в приборе для того, чтобы надежность прибора не стала меньше, чем 0,9г Р е ш е н и е.
Рассмотрям я элементов как я независимых опытов, в каждом из которых событие А (отказ) происходит с вероятностью 0,02. Подставляя в формулу (2.4.4) 0,02 вместо р и ОА вместо У, найдем то число элементов й, при котором вероятность отказа хотя бы одного элемента станет не меньше 0,1; получим: й > 1е 0,9/18 0,98 = 5,20. Переходя от й к числу элементов я, при котором не должна достигаться такая вероятность отказа, получим я<5,20, т.
е. число элементов не должно превосходить пяти. ~ 3.$. ФОРмулА пОлнОЙ веРОятностн 2.5. Формула полной вероятности Р(А~Н,), Р(А~Н), ...,Р(А(Н„). Требуется найти вероятность события А. Для етого представим А как сумму п несовместных вариантов; а А НА+Н,А+...+Н„А ~.", НА. з 1 По правилу сложения вероятностей Р(А) - Х Р(Н,А).
1 1 По правилу умножения Р(Н~А) Р(Н~) Р(А~Н~). Откуда в Р(А)- 2~ Р(Н~)Р(А~Н;), $1 (2.5.2) т. е. безусловная вероятность события А в опыте с гипотетическими условиями вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при етой г и и о т е з е. Формула (2.5,2) называется б)ормрлой волной вероятности. Она применяетсн во всех случаях, когда опыт со Следствием обоих основных правил теории вероятностей — правила сложения и правила умножения — является формула полной вероятности. Допустим, что предполагается провести опыт, об условиях которого можно сделать и исключающих друг друга предположений (гипотез): Но Н„..., Н, (НЛ,=О при ать))'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
