Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Множестве возможных значений Š— теоретически вся правая половина оси абсцисс 0~, включая 0: П > 0); практически зтот участок ограничен справа, но граница расплывчата, неопределенна. Множество возможных значений Е в данном случае несчетно. 4) Опыт — дважды измеряется емкость конденсатора с помощью точных электронных приборов. Случайная величина 3 — разность между результатами первого и второго измерений. Множество возможных значений Е (опять-таки теоретически) — все точки на оси Оз, как в<0, так и з~О. 5) Опыт — ведется тестирование изделий до появления первого исправного изделия. Случайная величина зл, понятии слгчьиноя ввлнчнны вз У вЂ” число тестов, которое будет произведено.
Множество возможных значений Е = (т, 2, ..., и, ..) — бесконечно, но счетно. 6) Опыт — измерение сопротивления линии (с помощью прибора с грубыми делениями); результат округляется до ближайшего целого значения. Случайная величина Х вЂ” ошибка ог округления. Множество возможных значений Š— участок числовой оси от — 1 до +», включая концы, т. е. Е (1-1, +$]); оно несчетно, Условимся в дальнейшем, как правило, случайные величины обозначать большими буквами, а их возможные значения — маленькими. Например: случайная величина Х, ее возможные значения я. Вместо слов «случайная величина» часто будем пользоваться сокращением с.
в. Уже из приведенных примеров видно, что случайные величины бывают двух типов: у одних множество значений Я конечно или счетно (их можно перенумеровать в каком-то порядке; примеры »), 2) и 5)); у других это множество сплошь занимает какой-то участок числовой оси, границы которого могут быть как зафиксированными (пример 6)), так и неопределенными (примеры 3), 4)), а множество возможных значений несчетно. Условимся случайные величны первого типа называть дискретными, а второго — недискретными (в дальнейшем не- дискретные случайные величины мы тоже разделим на два типа).
В принятой нами теоретико-множественной трактовке основных понятий теории вероятностей случайная величина Х есть функция элементарного события: Х=ф(«е), где «з — элементарное событие, принадлежащее пространству И («о ж И). При этом множество Е возможных значений с. в. Х состоит из всех значений, которые принимает функция ~р(«о). Если множество Я конечно или счетно, с. в. Х называется дискретной, если несчетно— неднскретной. Задумаемся немного над тем, существуют ли в реальности недискретные случайные величины. Ведь измеряя какое-то значение с.
в., полученное в результате опыта, мы всегда выражаем его в каких-то единицах (сантиметрах, тоннах, вольтах); учитывая это обстоятельство, можно было бы стать на такую точку зрения, что в реальности мы имеем дело только с дпскретпыпн случайными величинами, значения которых разделены расстоянием, равным единице измерения. Но, во-первых, эта гл, а слтчаннык ввличины единица не всегда уточнена (имеется потенциальная возможность повысить точность измерения).
Кроме того, в случаях, когда возможные значения с. в. очень многочисленны и расположены очень тесно на числовой оси, проще рассматривать ее как недискретпую, а множество возможных значений — как сплошь занимающее квкойто участок числовой оси. Введем новое, очень важное понятие теории вероятностей — закон раси р вдел ения. Заколем распределения случайной величины называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она примет какоето значение или попадет на какой-то интервал). Если с. в.
Х имеет данный закон распределения, то про нее говорят, что она «распределена» по этому закону (или же «подчинена» этому закону распределенвя). Наиболее простую форму можно придать закону распределения дискретной случайной величины. Для этого достаточно перечислить возможные значения с. в. Х: хн х„ ..., я„, ... и соответствующие пм вероятности. Рядом распределения дискретной с.в. Х называется таблица, в верхней строке которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения с, е. Х: хо и„... ..., к, ..., а в нижней — вероятности этих значений: Рн ра, .
° ., р„..., гдер~ Р(Х-х;) — вероятность того, что в результате опыта с.в. Х примет аначепне х, (юю1,2,...,я,...). Ряд распределения с. в. Х мы будем записывать в виде таблицы: Х : ' ' " . (З.1.1) Так как события ('Х л,), (Х х»), ... несовместны и образуют полную группу, то сумма всех вероятностей, стоящих в нижней строке ряда (3.1.1), равна единпце: ХР,-1. (3.1.2) Эта единица как-то р а с п р е д е л е и а между значениями с. в. (отсюда н термин «распределение»). Пример 1. Рассматривается работа трех неэавпсимо работающих технических устройств (ТУ); вероятность нормальной работы первого ТУ равна 0,2, второго — 0,4, зл. понятна слтчаяноя ввличины третьего — 0,5; с.
в. Х вЂ” число работающих ТУ, Построить ряд распределения с. в. Х. Решенно. Возможные значения с.в. Х: О, 1, 2, 3. Соответствующие им вероятности найдем, польауясь правилами сложения и умножения. Для краткости будем обо«начать нормальную работу анаком «+», а отказ— анаком «-э. Р, Р(Х 0) Р( — — — ) 0,8 0,8 0,5 24. р,-Р(Х-1) Р(+ )+р( + )+Р( +)„ 0,2 0,6 0,5 + 0,8 0,4 0,5 + 0,8 0,6 0,5 0,06+ 0,16+ 0,24 0,46. р, Р(Х 2) Р( — ++)+Р(+ — +)+Р(++ — ) 0,8 0,4 0,5 + 0,2 0,6 0,5 + 0,2 0,4 0,5 0,16 + 0,06 + 0,04 0,26, р Р (Х 3) Р(+ + +) 0,2 0,4 0,5 - 0,04, Как и следовало ожидать, ~ р~ 1.
(Кстати, втим «« свойством можно было воспольаоваться и не вычислять одну ив вероятностей ро а просто дополнить сумму остальных до единиды.) Ряд распределения с. в. Х имеет вид: ' ~ о,м ! о,«в ! о,м ! о,оа !' ~ П р им е р 2. Пронвводятся неаависимые тестирования больших интегральных схем (ВИС) до тех пор, пока пе будет обнаружена первая исправная ВИС, после чего тестирование прекращается.
Вероятность того, что тестирование проиавольной БИС закончатся успешно, равна р. Построить ряд распределения с. в. У- число тестов, которов првдется произвести. Решение. с.в. У двскретпа и имеет бесконечное (счетное) множество возмолшых апачений: (1, 2, ... ..., 1, .1.
Найдем нх вероятности, начиная с р;. р, Р (г' 1). Условимся внаком «+э обозначать успешное тестирование, «паком « — « — неуспешное. Для того чтобы достаточно было произвести одно тестирование, нужно, чтобы первый же тест вакончился Гл. 3. СлучАйныв Вели'<ины успешно: р Р(+) — Р(У 1) - р.
Найдем р, = Р(У 2). Чтобы тестирование прекратилось после второго теста, нун<но, чтобы первый тест был неуспешным, второй — успешным: р, Р ( — +) = Р (У = 2) = (1 — р) р, или, обозначая вероятность неуспешного тестирования 1 — р д, рг = Аналогично найдем в-е< — †...— +) = Р (У = <) = о< 'р. Ряд распределения с. в. У имеет вид (3.1.3) Убедимся, что ~~р< 1. Действительно, ~) д'-<р = — ~„д« и, суммируя бесконечную гоол<етрическую р <-1 прогрессию с первым членом д и знаменателем д(1, имеем Графическое изображение ряда распределенвя называется многоугольником распределения.
Строится он так: для каждого возмон<ного значения с. в. восстанавливается перпендикуляр к оси абсцисс, на котором откладывается вероятность данного значения с. в. Полученные точки для наглядности (н только для наглядности!) соединяются отрезками прямых (рис. 3.1.1). Для с.в. Х, рассмотренной в примере 1, многоугольник распределения показан на рис. 3.1.2.
Для с.в. У, рассмотренной в примере 2, при р =0,6, д = 0,4 ряд распределения имеет вид; ' ! о,о ! о,и ! о,оее ~ о,оззе ! о,оазс ! ... 3.2. З>УНКЦНЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 87 Первые несколько ординат мпогоугольшц<а распределения показаны на ркс. ЗЛ.З (продол>кенпе намечено пунктиром). Кроме геометрической интерпретации распределения дискретной с.
в., часто оказывается полезной и ее О, О, х1 О, Рзс. ЗЛ.1 Рзс. 3.1.2 О, О> >О1 Рг »71 Ж юз ю1. Рзс. ЗЛ.4 О 7 Е г О Л т1 Рзс. ЗЛ.З в сумме образующие единицу (рис. 3.1.4). В дальнейшем мы убедимся в полезности такой механической интер- претации. 3.2. Функция распределения слу иайиой величины, Ее свойства Ряд распределения (и, соответственно, многоугольник распределения) могут быть построены т о л ь к о д л я дискретной случайной величины (для не- дискретной они не могут быть построены хотя бы потому, что множество воаможных аначений такой случайной величины несчетно, и их нельзя перечислить в верх- механическая интерпретация.
Это — ряд материальных точек на осн абсцисс, имеющих абсциссы з„ л,, ..., х>, ... и, соответственно> массы р>, р>, ..., Рь . °; ГЛ. 3, СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ней строке таблицы). Наиболее общей формой закона распределения, пригодной для в сел случайных величин (как дискретных, так и недискретных), является ф у н кция распределения. Функцией распределения случайной величины Х называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем заданное х: г" (х) =Р(Х<х).
(3.2Л) Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка Х попадет левее заданной точки х (па рис. 3.2Л соответствующая часть оси абсцисс, т. е. множество точек, представляющее событие (Х<х), отмечена штриховкой). д С Рлс. 3.2.2 Рвс. 3.2Л Из геометрической интерпретации очень наглядно (хотя и не вполне строго) можно вывести о с н о в н ы е свойства функции распределения: 1) К(х) — неубывающая функция своего аргумента, т. е. при х,>х, г"(х,)>Г(х,). 2) е" (- ) О. 3) Р(+ )- (.
Действительно, рассмотрим на оси абсцисс две точки х, и х„причем х, > х, (рис. 3,2.2). Представим событие С (Х < х,) как сумму двух несовместных событий: С = А + В, где А = (Х < х,), В = (х, < Х < х,). По правилу сложения Р(С) Р(А) + Р(В), т. е, Р(Х<хз) — Р(Х<х1) + Р(х,<Х<ха), или г" (х,) = е" (х ) + Р (х, е,. Х < хз). (3.2Л') Но Р(х1(Х<хз), как и всякая вероятность, не может быть отрицательной; следовательно, Р(х,))Р(х,). Для обоснования второго свойства будем отодвигать точку х на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
