Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Среди числовых характеристик случайных величин прежде всего рассмотрим характеристики положения, фиксирующие положение случайной величины на числовой осн, т. е. некоторое среднее, ориентпровочное аначенпе с. в., около которого группируются ее воаможные значения. Среднее вначение с. в. является как бы ее «представителем» и ваменяет ее при грубых, ориентировочных расчетах. Когда мы говорим «средняя дневная температура июля в данной местности равна 20 С» илн «средняя точка попадания смещена относительно цели на 2 м вправо», мы зтнм указываем определенную числовую характеристику с.
в., описывающую ее положение на чпсловой оси, т. е, характеристику положения. «л. мьткмьтичкскок ожидании »ОЗ или, учитывая, что ~ р» = 1, »=1 » М [Х] = ~ х»р». »-» (4 1.1) Это есть среднее взвешенное значение е. в. Х, в которое абсцисса каждой точки х» входит с «весом>, равным соответствующей вероятности.
Полученное таким образом среднее значение случайной величины Х называется ее математическим о>видением, Это — одно па важнейших понятий теории вероятностей. Дадли ему словесную формулировку. Математическим ожиданием дискретной случайной величины нааь»ваетсл сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений. Теперь рассмотрим случай, когда число возможных значений дискретной с. в.
Х не конечно, а бесконечно (образует счетное множество). Формула для математического ожидания остается той же, только в верхнем пределе суммы и заменяется на бесконечностш М [Х] = ~ х»р». »=1 (4.1,2) Из характеристик положения в теории вероятностей наибольшую роль играет математическое ожидание, ката- ров иногда называют просто средним значением случайной величины. Подойдем к понятию математического ожидания, ис- ходя из механической интерпретации распределения ди- скретной с. в. Пусть единичная масса распределена меж- ду точками оси абсцисс х„ х„ ..., х„, причем материаль- ная точка х, имеет массу р» (» 1, 2, ..., и). Нам требуется выбрать одну точку на осн абсцисс, характеризующую положение всей системы материаль- ных точек, с учетом их масс.
Естественно в качестве та- кой точки взять центр массы системы материальных точек. Обозначим абециссу центра массы М [Х]. Имеем » ~ *»Р, М[ 1- к~Р, + х«Р + "° + х~Р„ Р»+ Р«+ ° ° + Р» ».-1 1Ю ГЛ. Ь ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Некоторая сложность ааключается в том, что бесковечная сумма (4.1.2) может и расходиться, т. е. соответствующая с. в. Х вЂ” не иметь математического ожидания. Например, для Х с рядом распределения числовой ряд, дающий математическое ожидание М[Х)=~ 2'/2'=~ 1, СО М(Х)= ) У()г. ОР (4.1.3) разумеется, те аначения х, для которых ~(х)=0, можно выбросить из области интегрирования.
Так же, как и сумма (41.2), интеграл (4.1.3) может расходиться, и математическое ожидание — не существовать, но на практике обычно область значений с. в., для которых ~(х)Ф ФО, ограничена и математическое ожидание существует. Несколько сложнее определяется математическое ожидание смешанной случайной величины; оно состоит иа двух слагаемых, суммы и интеграла: М(Х) ~х;р;+ ) хг"'(х)дх, <и> (4.1.4) где сумма распространяется на все значения хь имею- расходится (сумма его равна ), и, значит, у такой с. в.
математического ожидания не существует. Такую возможность всегда надо иметь в виду, рассматривая случайные величины с бесконечным числом возможных значений. На практике, как правило, множество возможных значений с. в. распространяется лишь на ограниченный участок оси абсцисс и, значит, математическое ожидание существует. Перейдем от дискретной с. в. Х к непрерывной с плотностью 1(х). Механическая интерпретация математического ожидания сохранит тот же смысл: центр массы для единичной массы, распределенной непрерывно Ва оси абсцисс с плотностью ~(х). Заменяя в формуле (4 1.2) «скачущий» аргумент к, непрерывно меняющимся л, а вероятность р, — элементом вероятности ~(л)Их, получим, >л, млткмлтичксков ожидания щие отличные от нуля вероятности, а интеграл — на всо участки оси абсцисс, где функция распределения Г(х) непрерывна; множество участков непрерывности функции г" (х) обозначим Н.
В дальнейшем для краткости вместо слов «математическое ожидание» будем иногда сокращенно писать и. о. Пользуясь интегралом Стилтьеса, можно выразить Ю м.о. лгобой с.в. Х через ее ф.р.:М (Х) = ) хг(Р(х). Эта формула для математического ожидапия случайной величины имеет скорее теоретическое значение; в конкретных случаях вычисления проводятся по формулам (4.1.2), (4.1.3), (4Л.4). Математическое ожидание с. в. связапо тесной зависимостью со средним арифметическим ее наблюденных значений при большом числе опытов. Действительно, пусть имеется дискретная с. в.
Х с рядом распределения и Й значениямк: гдо р> Р(Х=х>). Пусть производится к независимых опытов, в каждом па которых с. в. Х принимает определенное значение из множества (х„х,..., х,). Предположим, что значение х, появилось и, раз, эпачекие х>— я, раз и т. д.; ~ л> и. Среднее арифметическое на!=1 блюденных значений с. в. Х обозначим Мэ (Х]. Имеем М» (Х) (х,п, + хэвэ + ... + х„ль)/и ~~.", х>к>/я.
>=1 Но п4п есть не что иное, как частота (или статистичеокая вероятность) события (Х=х,); обозначим ее р>.' итак, Мэ(Х) =~ х>р>, (4Л.5) >=1 т. е. среднее арифметическое наблюденных значений с. в. равно сумме произведений ее возможных значений на соответствующие им частоты. Н2 Гл.
ь чнсловыв хлРАктвгнстики Мы внаем, что при увеличении числа опытов п частота события р~ будет приближаться (сходиться по вероятности) к вероятности р< этого события. Значит, и среднее арифметическое М«[Х) будет приближаться (сходиться по вероятности) к математическому ожиданию М[Х) случайной величины Х.
Это значит, что прп достаточно большом числе опытов можно среднее арифметическое наблюденных значений с. в. Х принимать приблин<ев н о ра ввым ее м. о. Указанная выше связь между м. о. и средним арифметическим составляет содержание одной из предельных теорем теории вероятностей (так нааываемого закова больших чисел; строгов доказательство атой теоремы, а также оценка ошибки приближенного равенства М«[Х) ж М [Х) будут даны далее, в гл.
10 и 11). Выше мы ввели обоаначение М [Х) для математического ожидания с. в. Х. Иногда бывает удобнее обозначить его одной буквой я«„где индекс х у буквы я«напоминает о той случайной величине Х, м. о. которой рассматривается. Иногда, когда ясно, о какой случайной величине идет речь, мы будем этот индекс опускать и обозначать математическое ожидание просто я«. Математическое ожиданне — не единственная характеристика положения, применяемая в теории вероятностей; иногда применяются и другие: мода и медиана случайной величины.
Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (то, для которого вероятность р, или плотность распределения )(л) достигает максимума). Условимся моду случайной величины Х обозначать М.. На рис. 4 1.1 показан многоугольник распределения дискретной с. в. Х с рядом распределения 0,2 0,4 0,25 ОД 0,05 для которой М,— 1.
На рис. 4.1.2 показана кривая распределения непрерывной с. в. Х; точка, в которой плотность Ях) достигает максимума, и есть мода М„. Экспериментальные (статистические) аналоги моды: для дяскретной с. в. Х вЂ” то значение, которое в данной серии опытов встречалось чаще всего; для непрерывной с. в.— центр того элементарного интервала, для которого «плот- а<. млтвмитическов Он<идАние 11З ность частотыи (отиошенке частоты попадания в этот интервал к его длине) достигает максимума.
Если вероятвость пли плотность вероятности достигают максимума ие в одвой, а в песколы<их точках, распределеппе называется поли.недельным (рис. 4Л.З а 4 1.4). Наличие более чем одной Р. моды часто указывает ка разно- и, родность статистического материала, легшего в основу исследования. а, и, Мх Рис. 4.1.2 Рис. 4.1.1 Ииогда применяется еще одна характеристика положения — медиана случайной величины Х, которую мы обозначим х . Эта характеристика применяется, как правило, толы<о для пепрерывиых с. в, Медианой непрерывной случайной величины Х пазывается такое ее значение х„, для которого Р(Х(х„) Р(Х)х ) = $(2, т. е. одинаково вероятно, окажется ли с.
в. Х меньше х„ или больше х . Геометрически медпака — это абсцисса Рис. 4.1.4 Рис. 41.3 той точки иа оси Ох (рис. 41.5), для которой площади, лежащие слева и справа от иее, одинаковы и равны 1~2 (рис. 4 1.5). В случае симметричного распределения (имеющего моду) математическое ожидание (если оно существует), мода и медиана совпадают. 114 гл. 4.
числовые хАРАктегистики Пример 1. Найти математическое ожидание и моду для дискретной случайной величины Х, имеющей ряд распределения (многоугольник распределения показан на рис. 4Л.О)'. Рис. 43.6 Рвс. 43.5 Решение. По формуле (4ЛЛ) М(Х) и„-0 0,1+ 1 0,3+ 2 0,5+ 3 0,1 = 1,6. Мода с. в. Х вЂ” ее самое вероятное значение: М„= -2. й Пример 2. Непрерывная с. в. Х имеет плотность Дх) (з1п х) /2 при х ж (О, н) (рис. 4.1.7). Найти математическое ожидание т„моду М„ и медиану х„ случайной вели6$ох чины Х. Р е ш е н и е. Исходя из симметрии распределения, находим абсциссу центра массы: и„= и/2.
О 1т/2 тт Так как в этой точке /(х) достиРвс. 4.1,7 гает максимума, мода М, = к/2. Очевидно, медиана х также равна и/2 (площади по правую и левую стороны от линии, проходящей через точку и/2, равны). Пример 3. Непрерывная с. в. Х распределена по «закону прямоугольного треугольнпказ на участке (О, 2) ,(рис. 4Л.8): Ях) ах при х ю(0, 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
