Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Естественной идеализацией такого положения является случай, когда функция р(х) непрерывна. ЭЛ. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИ'СИНА 95 Условимся называть случайную величину Х непрерывной, если ее функция распределения не только непрерывна в любой точке, по и дифференцнруема всюду, кроме, может быть, отдельных точек, где она терпит излом (рис. 3.4.2) '). Рис. 3.4.2 Рис. 3.4.1 Так как для таких случайных величин функция Р (х) нигде пе имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю: Р(Х = а) = 0 для любого а. Таким образоч, для непрерывпой случайной величины бессмысленно говорить о распределении вероятностей »се>иду ее значениями: каждое из пих имеет пулевую вероятность. И все все в каком-то сыысле среди эеачепий непрерывной с.в.
есть «более и ыеиее вероятные». Например, вряд ли у кого-либо возникнет сомнение, что значение случайной величины у — рост наугад взятого человека 170 см — более вероятно, чем 220 см, хотя и то и другое значение могут встретиться на практике. В качестве закона распределеиия, и»еющего смысл только для непрерывных случайных величии, введем попятив плотпости распределения или плотности вероятности. Подойдем к нему, исходя из механической иитерпретации распределеняя вероятностей.
Для дискретной с.в. Х эта интерпретация сводится к тому, что в точках х„ «) Иэ «веирэрывиости» веобиэатеиьио следует «диффереипиРуемость» (мо>иио построить искусствепиые примеры фуииций иеооерыэиых ио ве дифферевцируеиых; по иы в эти тоакости вда- эатьси ве 1удгм) ° Гл э. случьйнык Ввличины х„..., хь ...
сосРелоточены массы ЄЄ..., )Рь причем сумма всех масс равна !. Обобщим эту интерпретацию на случай непрерывной с.в. Представим себе, что масса, равная 1, не сосредоточена в отдельных точках, а непрерывно «размазана» по оси абсцисс Ох (рис. 3.4.3) с какой-то, в общем случае, неравномерной плотностью. 0 Вероятность попадания с. в. Х на любой участок Лх будет интерРвс. Здьз претироваться как масса, приходящаяся на этот участок, а средняя плотность на этом участке — как отношение массы к длине; на участке [х, х+ Лх) средняя плотность будет равна: Р [х ( Х ( х + Лх)/Лх. Вероятность попадания с.в. Х па участок [х, х+ Ьх) равна приращению функции распределения на этом участке; поэтому средняя плотность па участке от х до х+ Ьх будет равна р(х+ Лх) — Р(х) Ьх Переходя к пределу прн Лх- О, получим плотность в точке х: Р (х+ Лх) — Р (х) р, (п! '(х).
ьх» Ьх а это — не что иное, как производная функции распределения (вот для чего нам понадобилось, чтобы функция Р(х) была дифферепцируема(), Таким образом, мы ввели в рассмотрение новое и очень важное попятие теории вероятностей: и л о т и о с т ь распределения. Плотностью распределения (илн плотностью вероятности, иногда просто плотностью) пепрерывпой случайной величины Х в точке х называется производная ее функции распределения в этой точке.
Обозначим ее ((х): ~ (х) = г" (х) — „Р (х). (3.4.2) Про случайную величину Х будем говорить, что она имеет распределение с плотностью )(х) илп, проще, распределена с плотностью ((х) на таком-то участке оси абсцисс. ЗА. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА 97 Далее (см. п. 1<.3) мы дадпм понятие о том, из каких сообрая<епий мол<ет быть найдепа (прямо илн косвенно) плотность распределения (п.р.). Если в аадаче фигурирует пе одна случайная величина, а несколько (Х, У, Я), то их плотность распределения будем различать соответственными индексами у буквы 1: 1,(х), 1а(у), 1а(з) пли 1„(х), 1„(у), 1,(з).
Так же как и аргумент функции распределения, аргумент плотности может быть обозначен любой буквой; 1(х) и 1(у)— одна и та же функция, только с по-разному обозначенным аргумептом. Плотность распределения 1(х), как н функция распределения р(х), является одной из форм вакона распределения; в отличие от функции распределения, эта форма не универсальяа: она существует только для непрерывных с.в. График плотности распределения 1(х) называется кривой расиределения (рнс. 3.4.4).
Введем новое важпое понятие: э л е м е н т в е р о л тпости. Рассмотрим непрерывную с. в. Х с плотностью 1(х) и элементарный участок <рх, примыкающий к точке х (рис. 3.4.4). Вероятность попадания с, в. Х иа этот РЖ Рас. ЗД.4 Рвс. 3.4.5 участок <)х (с точностью до бесконечно малых высших порядков) равна 1(х) «х. Величина 1(х) <<х называется элементом вероятности для точки х. Геометрически элемент вероятности приближенно равен площади элементарного прямоугольника, опира<ощегося на отрезок <(х, примыкающий к точке х (заштрихована на рис.
3.4.4). Выразим вероятпость попадания с.в. Х на участок от а до (< (рис. 3.4.5). (Оговорку свключая а» отбросим, так как для непрерывной с. в. Событие (Х а) имеет нулевую вероятность.) Очевидно, вероятность попадания с. в. Х на участок (а, ()) равна сумме элементов а Тесине ееряненссееа и ае иниенернне арнаанения Гл. э. СлучАиные Виличины вероятности на всем этом участке, т. е. интегралу а Р(а<Х<Я ) )(х)ох. (3.4.3) а В геометрической иптерпретацпи эта вероятность равна площади, ограниченной сверху кривой распределения и опирающ~йся на участок (а, 6) (заштрихована на рис.
3.4.5). Формула (3.4.3) сразу же дает возможность выраэить функцию распределения г'(х) через плотность распределения г'(х). Действительно, Р(х) Р(Х<х) ° Р( — со<Х<х) ) ~(х)дх. (3.4.4) ~Ю В геометрической интерпретации ф.р. равна площади, ограниченной сверху кривой распределения и лежащей г.гх) левее точки х (на рис. 3.4.6 эта площадь заштриловапа) . Укажем основные свой- 0 ю ства плотности распреде- ленин 1(х): Рвс. 3.4.6 1. Плотность распределения — неотрицательная функция: ~(х) > О. (3.4.5) Это свойство вытекает иэ определения г(х); проиэводпая неубывающей функции отрицательной быть не моя<ет.
2. Интеграл в босконечных пределах от плотности распределения равен единице: 00 Г'(х) Нх 1. (3.4.6) ° О Это свойство следует иэ формулы (3.4.4), если положить в ней х * и учесть, что г'(+ ) 1. Геометрически основные свойства (3.4.5)' и (3.4.6)' плотности ((х) интерпретируются как: 1) вся кривая распределения лежит не ниже оси або цисс; 2) полная площадь, ограниченная кривой распределения п осью абсцисс, равна единице, ЗЛ. НКПРКРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВКЛИЧИНА 99 Выясним размерности функции распределения Р(х) и плотности 1(х). Функция распределения Р (х) = Р (Х < х), как всякая вероятность, размерности не имеет. Размерность плотности распределения, как следует яз формулы (34Л), обратна размерности с.
в. Х. В схеме непрерывных случайных величин можно вывести аналоги формулы полной вероятности и формулы Бейеса, знакомых нам по схеме событий. Пусть вероятность какого-то события А зависит от того, какое значение х приняла непрерывная о. в. Х с плотностью ((х). Сделаем гипотеву, состоящую в том, что с.в. Х приняла значение, лежащее на элементарном участке йх, примыкающем к точке х (рис. 3.4.4).
В пределе прп йх ° О это условие превращается в Х х. Обозначим Р(А~х) условную вероятность события А при условии Х=х. Заменяя в формуле полной вероятности (2.5.2) вероятность гипотезы элементом вероятности, а сумму — интегралом, получим полную вероятность события А: ФФ Р (А) = ~ Р (А( х) ~ (х) йх. (3.4.7) ОО Формула (3.4.7) называется интегральной Формулой полной вероятности. Соответствующий аналог в схеме непрерывных случайных величин имеет и формула Вейеса.
Пусть до опыта с.в. Х имела плотность распределения 7(х). Произведен опыт, в результате которого появилось событие Л. в'слезную вероятность события А при Х х обозначим Р (А ~ х). Найдем условпую плотность распределения с. в. Х при условии, что появилось событие Л; обозначим ее )А (х).
Заменяя в формуле Бейеса (2.6.3) вероятности гипотез элементом вероятности 7(х)дх, сумму — интегралом, получим: 7А (х) 7'(х) Р (А ~ х) ) Р (А ~ х) 7 (х) дх, (3.4.8) 1 св где в знаменателе стоит не что иное, как полная вероятность события А (см. формулу (3.4.7)): ~л (х) ~ (х) Р (А ~ х)/Р (А). (3,4.9) ГЛ. 3. СЛУЧАИНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Формулу (3.4.9) будем называть интегральной у)орнулой Бейеса. Рассмотрим ряд примеров, связанных с распределениями непрерывных случайных Величин.
П р и и е р 1. Функция распределения непрерывной с. в. Х задана выражением: 0 при г: О, ахг при 0(х 1, 1 при х)1 (3.4.10) г (х) (рис. 3.4.7). 1) Найти коэффициент а; 2) найти плотность распределения Дх) с. в. Х и построить ее график; г' Рис. 3.4.3 Рис. 3.4.7 3) найти вероятность того, что с. в. Х в результате опыта примет значение между 0,25 и 0,5. Решение.
1) Так как функция г'(х) непрерывна, то Р(1) 1, т. е.ахр, 1, откуда а 1. 2) Плотность распределения г'(х) ° Р'(х) выражается формулой: 0 при х(0, 2х пря 0(х( 1, 0 при х)1 или, короче ~(х) 2х при 0<х<1. В дальнейшем мы будем записывать выражение плотности распределения только на участках, где она отлична от нуля, подразумевая, что повсюду вне этих участков она равна нулю. График плотности (кривая распределения) дан на рис. 3.4.8. 3) Можно было бы вычислить вероятность попадания с. в. Х на участок (0,25; 0,5) по формуле (3.4.3), но мы этого делать не будем; воспользуемся тем, что нам уже известна ф.
р. г'(х) = ах* х*, и вычпслвм ее приращение аь нвпРБРывнля случййнйя внличппй 1О1 на участке (0,25; 0,5): Р(0„25(Х(0,5) = г" (0,5) — г (0,25) = 0,5' — 0,25' 0,1875. ~ Пример 2. Плотность распределения ~(х) с.в. Х задана формулой: )(х) ие (при х ) 0) (3.4.11)' (а — положительный козффициент) Это — так называемое показательное распределение, которое не раз встретится нам в дальнейшем. Ряс. 3.4.9 Рас. 34ДО 1) Построить кривую распределения; 2) найти и построить функцию распределения с. в. Х; 3) найти вероятность того, что с.
в. Х примет значение, лежащее между 1и2. Решение. 1) Кривая распределения с. в. Х показана на рис. 3.4.9. 2) По формуле (3.4.4) Р(х) = ~ ~(х)Ых, Ю х При х<0 )(х) О, вначпт ~~(х)Их=О. При х>0 Ф и е х с'(х) ) 1(х) ~т ~ ~(х) Нх+ ~ ~(х) Нх. Первый интеграл 00 \Ф 0 равен нулю; второй г"'(х) ~ ае 'Мх 1 — е <'"'. Итак, 0 ф. р. случайной величины Х, имеющей показательное рас- пределение (3.4.11), имеет вид: г" (х) =,„Р ' . (3.4.12) График функции (3.4 12) показан на рис.
3.4 10. 102 тл. а случАоные Величины 3) Вероятность попадания с. в. Х па участок (1, 2) вычислим как прпращеппе ф. р. на етом участке: Р (1 < Х < 2) = е (2) — Р (1) = — (1 — е ") — (1 — е-') = е-' — е-е'. Например, при а 1 получим е ' — е ' ~= 0,3679— — 0,1353 = 0,2326.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
