Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 16
Текст из файла (страница 16)
3.2Л все левее и левее (до -с ). Оче- 89 2.2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ видно, в пределе событие (Х< х), состоящее в том, что случайная точка Х попадет л е в е е х, становится невозможным, а его вероятность — равной нулю, и г(- ) О. Аналогично, перемещая точку х по оси абсцисс направо до +, убедимся, что Е(+ ) 1 (событие (Х С х) в пределе становится до- ~< > стоверным). 1 Итак, функция раси р е д е л е н и я г'(х) л юбой случайной величины есть неубывающая функция своего аргумента, значенияя которой аа- 0 Ю ключены между О и Рис. 3.2.3 1: О(Р(х)(1, причем г'(- )=О, г"(+ )=1.
В отдельных точках зта функция может иметь скачки (разрывы первого рода), на некоторых участках она может быть постоянной, на других— монотонно воарастать (см., например, рис. 3.2.3). В дальнейшем вместо слов «функция распределения» будем иногда писать сокращенно ф. р. Если в задаче фигурирует не одна случайная величина, а несколько (например Х, у, Х), нужно по-разному обозначать их функции распределения, например, Г (х), Р'»(у), )г,(2) илн же г",(х), г"«(у), г,(2). Совершенно все равно, какой буквой обозначать аргумент функции 0 «« ,3 х распределения; мы его обозначи- ли малой буквой х, соответствуюРис.
3.2.4 щей большой букве Х, обоанача- ющей случайную величину, но это вовсе необязательно; например, можно обозначить ее д и определить функцию распределения случайной величины 3 как Зная функцию распределения г"(х) случайной величины Х, можно вычислять вероятности любых событий, с нею свяаанных. Выражение вероятности попадания на участок через ф.р. Рассмотрим на оси абсцисс участок от а до (1 (рис.
3.2.4). Для определенности левый ГЛ. 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ конец участка будем включать в него, а правый — нет. Пусть известна функция распределения Р(х) случайной величины Х. Найдем вероятность того, что с.в. Х в результате опыта примет значение, лежащее на участке от а до р (включая его левый конец), Полагая в формуле (3.21') а хо ~ х„получим: Р(р) Р(а) + Р(а(Х<Я. Откуда (3.2.2) Р(а(Х<Я = Р(р) — Р(а), т. е. вероятность того, что с.
в. Х в результате опыта попадет на участок от а до (включая а) равна приращению функции распределения на етом участке. В других обозначениях формулу (3.2.2) можно записать в виде: Р(Хан (а, р)) = Р(р) — Р(а), где квадратная скобка обозначает, что данный конец включается в участок, а круглая — что не включается. Формула (3.2,2) справедлива для любых случайных величин — как дискретных, так и недискретных.
Выражение для вероятности отдельного значения с. в. ч срез ф. р. Вовьмем любую точку а на оси абсцисс и примыкающий к ней участок [а, р). Имеем: Р(а» Х(Я = Р(р) — Р(а). Будем неограниченно приближать точку () к точке а (см, рис. 3.2.4). В пределе получим: Р(Х = а) - 11ш (Р(р) — Р(а)). (3.2.3) В а Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция Р(х) в точке а илн терпит разрыв. Если функция Р(х) в данной точке а непрерывна, то' предел (3.2.3) равен нулю. Если же функция Р(х) в точке а совершает скачок, то предел (3.2.3) равен величине этого скачка.
В любом случае вероятпость события 1'Х *а) равна величине скачка ф.р. случайной величины Х в то чк е и (равен этот скачок нулю иля нет). ЗЛ. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В час1ности, если функция г(л) везде непрерывна, то вероятность каждого отдельного значения с. в. Х равна нулю. С первого взгляда этот вывод мо1кет показаться парадоксальным.
Мы до сих пор встречались с событиямм, вероятности которых развалясь нулю, но то были певозмол1ные события. Событие (Х= и) для с. в. Х с непрерывной функцией распределения г" (х) в о з м о жно, по его вороятность равна нулю. Более того, в результате опыта н апре менпо произойдет одно пз таких событий, т. е. случайная величина Х примет одно из своих воаможиых значений; а вероятность каждого из них равна пулю( Как же быть с правилом слоя<ения вероятностей? Ведь сколько нулей ни складывай, ничего отличного от нуля не получится! Рассеем это недоумение (если оно возникло). Вспомним, что аксиому сложения мы ввели только для конечного и для счетного бесконечного множества событий; для несчетного она попросту несправедлива. Вероятность попадания с.в. на участок от и до б равпа сумме вероятностей попадания на элементарные участки, образующие его, как бы малы эти участки ни были, но не равна сумме вероятностей попадания в отдельные точки (каждая иэ этих вероятностей может быть и равна нулю).
Представление о событии, имеющем отличную от нуля вероятность, но складывающемся ив событий с нулевой вероятностью, не более парадоксально, чем представленке о фигуре, имеющей определенную площадь, тогда как ни одна точка внутри фигуры отличной от нуля площадью не обладает. Фигура состоит иэ таких точек, но ее площадь не равна сумме их площадей.
Сколь угодно малый элемент, выделенный нз фигуры, имеет площадь; она приближается к нулю при уменьшении размеров элемента и в пределе равна нулю для гочки. Если событие И в данном опыте возможно, но имеет нулевую вероятность, то противоположное ему событие А не достоверно, но вероятность его равна единице (например, событие (Хта а) для с. в. Х, функция распределения которой в точке а непрерывна).
Из того, что событие (Х а) имеет вероятность, равную нулю, вовсе не следует, что это событие не будет появляться, т. е, частота его равна нулю, Мы знаем, Гл. 3. слвчлянык Величины что частота события при большом числе опытов не равна, а только при бл еж а ется к вероятности. Из того, что вероятность события (Х-а) равна нулю, следует только, что при неограниченном повторении опыта оно будет появляться сколь угодно редко. р, Р,2 3.3. Функции распределения дискретной случайной величины.
Индикатор события Зная ряд распределения дискретной случайной величины, легко построить ее функцию распределения, и обратно. Продемонстрнруем как зто делается, на примере 1 нз и. 3.1. Ряд распределения с. в. Х вЂ” числа попаданий имеет вид: 0,24 0,46 0,26 0,04 Будем задаваться рааличными значениями х и находить для них г'(х) = Р (Х <: х). 7) Пусть х < 0; так как число попаданий отрицательным быть не может, то для любого х~ 0 (включая 0) г'(х) *О. 2) Пусть 0 < х < 1 (например, х 1/2); Р(х) Р (Х ° 0) — 0,24. 3) Пусть 1<х<2 (например, х 1,75); Р(х)- Р(Х<х) Р(Х О)+ Р(Х 1) 0,24+ 0,46 0,70.
Очевидно, что а Г(2) 0,70. Г(ж) 4) Пусть 2<х ~3; Р(х) — р ро Р (Х = О) + Р (Х 1) + сч! + Р(Х 2) - 0,24+ 0,46+ (б~ + 0„26- 0,96. р16 ~ ф~ 5) Пусть х>3; г'(х) * ! Р (Х = О) + Р (Х - 1) + + Р(Х 2)+ Р(Х 3) -1. ! ! Изобразим функцию г" (х) на графике (рис. 3.3.1). Функция г'(х) показана Рзс. З.ЗЛ жирной линией; жирными точками отмечены значения г'(х) в точках разрыва (функция г'(х) при подходе к точке разрыва слева сохраняет свое значение; про такую функцию говорят, что она енепрерывна слеваэ). Мы видим, что в нашем примере фуякция распределения имеет четыре скачка; эти скачки происходят в 3.3.
Дискувтная случАИНАя ВвличинА 93 точках, отвечающих четырем воэможным Значениям с. в., в по величине равны вероятностям этих эначений. Между скачками функция р(к) сохраняет постоянное Значение. Эти особенности характерны не только для нашего примера, но имеют и более общее эиачеяве, а именно; функция распределения любой дискретной случайной величины есть раэрыв- Пх) ная ступенчатая ' -г"'тб функция, скачка которой ' происхо- †,1~/6, дят в точках, соот- 2/6, 'О~6~ ветствующих воз- — 1/6~ 1 кожным аначени ям случайной величины, и рав- Рас.
3.3.3 ны вероятиостя,м этих ввачевий. Сумма всех скачков функции р(х) равна единице. Пример 1. Двскретная с.в. Х вЂ” число очков, выпавших при бросании игральной кости. Построить ее функцию распределения. Решение. Ряд распределения с.в. Х имеет вид: 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Функция распределения 7(к) имеет б скачков, равных по велвчине 1/б (рис. 3.3.2). 1о Таким обрааом, аная ряд распределения дискретной с. в. Х, легко постровть ее функцию распределения, и наоборот: если эадана функция распределения со скачками Ргг Рхг ° ° .г гэгг ° ° г Рг В точках лг~ жв ° ° ° лгг ° г к»г гг причем,'3 р» 1, то ряд распределения имеет вид: 1-1 Введем новое важное понятие и н д и к а т о р с обытия; ово очень пригодится нам в дальнейшем.
Индикатором события А наэывается случайная величина (/, равная единице, если в результате опыта гл. з. сльчаиныв вкличнны событие А произошло, и нулю — если не произошло: 3 ! 1, если А произошло, (3 ЗЛ) О, если А но произошло. Ряд распределения с.
в. У имеет вид: гдв р — вероятность события А в данном опыте. Многоугольник распределения с.в. У имеет вид, показанный на рис. 3.3.3. 0 х Рис. З.ЗА Рвс, З.З.З Функция распределения индикатора события А имеет два скачка: равный (1 — р) в точке О и равный р в точке 1 (рис. 3.3.4). В дальнейшем мы убедимся, как пользование индикаторами событий упрощает решение многих задач теории вероятностей. 3.4.
Непрерывная случайная величина. Плотность распределения Рассмотрим дискретную случайную величину Х, имеющую очень много возможных значений, расположенных очень близко друг к другу на числовой оси, и построим ее функцию распределения (рис. 3.4А). По мере увеличения числа возможных значений и уменьшения интервалов между ними число скачков становится всв больше, а сами скачки — все меньше. Ступенчатая линия приближается к плавной, непрерывной (см. пунктирную линию на рис. 3.4.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
