Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 20
Текст из файла (страница 20)
4.2. моменты, Днспегсия Найти коэффициент а, м. о., моду и медиану с. в. Х. Решение. Коэффициент а найдем ив условия, что 1 площадь треугольника равна единице: Яь — 2 2а, '1, откуда а 1/2. Математическое ожидание с. в. Х найдем из механической интерпретации: абсцисса центра массы треугольника тн, (2/3)- 2 4/3 = 1,33. Мода с. в. Х, очевидно, есть абсцисса точки, где /(х) достигает максимума, т. е. М„ 2. Медиана х — абсцисса точки, где площадь, ограничепная кривой распределения, делится пополам (рис. 4Л,9), юх=з хм=~ Рис.
4.1.9 Рвс. 41.8 т. е. площадь треугольника, опирающегося на отреаок х ФВ (заштрихована дважды на рис. 4Л.9), равна 1/2: — Х 1 *т 1 Х вЂ”, х„= — = —, откуда х = У2 = 1,41. На рис. 4Л.9 показано вааимное расположение точек л4, х и М, в порядке возрастания абсцисс. й 4.2. Моменты. Дисперсия. Среднее нвадратическое отклонение Кроме характеристик положения, в теории вероятностей употребляется еще ряд числовых характеристик различного назначения; каждая из них характериаует случайную величину с точки зрения тех или иных особенностей ее распределения. Среди'них особое значение имеют моменты — начальные и центральные. Начальным моментом з-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание г-й степени этой величины: а,(Х) = М [Х'1.
(4.2Л) Для дискретной с. в. Х начальный момент г-го порядка не ГЛ. Ф. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ выражается суммой: (4.2.3) Х=Х вЂ” т,. (4.2.6) Условимся отличать центрированную с.в. значком ' наверху. Нетрудно убедиться, что м. о. цвнтрированной с. в. равно нулю: Г«1 М]Х~ М [Х вЂ” т,) « п « - ч; (х, — т„) р, - ~ч", х,рс — т„,"„', р, — О; Сеа с=с с=с аналогично н для непрерывной и для смешанной с.в. а, [Х) = Х хсрв (4.2.2) с-с где х< — значения с. в.
Х, р, — соответствующие вероятности; для непрерывной — интегралом: ОО а, [Х) ~ х7' (х) с[х, ОО где 1(х) — плотность распределения; для смешанной— суммой плюс интегралом: сс,[Х) ~~~~хсрс+ ~ х'Р'(х)йх, (4.2.4) с (Н) где сумма распространяется на всв значения х„обладающие ненулевыми вероятностями, а интеграл — на все участки, где функция распределения непрерывна (формула (4 [.4) для м. о. смешанной с. в.).
Выраясения (4.2.2) и (4.2.3) и пх обобщение (4.2.4) мы здесь записали без специального доказательства, считая их естественными; сомневающиеся могут найти вывод выражения для м. о. любой функции случайной величины в п. 8Л. Ранее введенная характеристика положения — математическое ожиданно с. в.— есть пе что иное, как ве первый начальный момент М [Х),, [Х), (4.2.5) Перед тем как дать определение центральных моментов, введем новое понятие «центрированной случайной величиныз. Центрированной случайной величиной навываетсл отклонение случайной величины от ее математического ожиданиап г»т ал. момвнты. диспкгсия Гь, )», [Х) М [Х'] = М [(Х вЂ” т„)*), (4.2.7) Для дискретной с.
в. центральный момент выражается суммой: « р, = ~ (х» — т„)'рб »-1 (4.2.8) для непрерывной — интегралом: р, ) (х — т„)<)(х)»(х; М для смешанной )»< = ~ (х» — т„)' р, + ) (х — т )' Р' (х) <»х, < »н» (4.2.9) В дальнейшем, в тех случаях, когда не возникает сомнений, о какой с.в. идет речь, мы будем для краткости вместо с»,[Х) и )», [Х[ писать просто и, и )»,.
Очевидно, для любой с. в. Х центральный момент 1-го порядка равен нулю: Гз1 р, М[Х~ = М [Х вЂ” т„) = О. (4.2.10) Между центральными и начальными моментами существует связь: одни выражаются через другие. Выведем соответствующие формулы для дискретной случайной величины (для непрерывных вывод будет аналогичным при замене х< на х, р, на Г'(х)»»х, сумм на интегралы).
Второй центральный момент: р, = М [ Х'] = ~~З„(х» — тк)з р» <=1 « « « = ~', хз<р» — 2т„~ х»р» + т<~ р» = »=< »=< »=1 з з з = аз — 2т„+ т = а, — те. Центрирование случайной величины, очевидно, равносильно переносу начала отсчета в точку т, (центр распределения). Моменты центрированной случайной величины называются центральными моментами.
Они аналогичны моментам относительно центра массы в механике. Центральным моментол» порядка е с. в. Х называется и. о. в-й степени центрированной с. вл «в ГЛ. Ь ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Аналогично, польауясь формулой для куба разности, найдем: Р, аз — За,т„+ 2тз.
Точно таким же способом могут быть получены выражения для рп р~ (мы на этом не будем останавливаться). Итак, центральные моменты выражаются через начальные формулами; р, О; р, а~ — и', р>=а,— Зта,+2т',, (4.2[[) Особое значение для практики имеет второй центральный момент р,. Он называется дисперсяей с.
в. Ввиду крайней важности этой характеристики среди других, введем для нее специальное обозначение 0 [Х], или кратко Р;. Р, 0 [Х] ~ (х; — т„)' р< <чн (для дискретной с. в.); 00 Р„0[Х] = ) (х — и„)'~(х) <[х \» (для непрерывной с. в.) (4.2.(З) (4,2.14) и, наконец, Р„0 [Х] —,т',(х т,)з р, + ) (х — т„)' Р' (х) ах Ф <н> (4,2.15) (для смешанной с. в.); сумма распространяется на все значения х„где функ- ция распределения р(х) терпит разрыв, а пнтеграл— на все участки, где она непрерывна) р,[Х]-0[Х] — Р„.
Согласно определению центрального момента: Гь 1 0[Х] Р» — — М ~ХВ[ = М НХ вЂ” т„)~[, (4.2Л2) т. е. дисперсия с ьучайной величины есть математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины. Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы аз, мОменты.
диспеРсия На практике часто бывает проще вычислить второй начальный момент, чем дисперсию; тогда пользуются выражением последней через а, (зторая из формул (4.2 11) ): Р„= а — и» или, в других обозначениях: Р. - М [Х») (М [Х))2, (4.2.16) (4.2 17) т. е. дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию ее квадрата минус квадрат математического ожидания. Эту формулировку полезно запомнить. При вычислении дисперсии по формуле (4,2.17) часто бывает удобно произвести предварительно «грубое центрирование» с. в. Х, для чего перенести начало отсчета в какое-либо круглое значение аргумента, поближе к математическому ожиданию т„.
Дисперсия с. в. есть характеристика рассеивания, разбросанности с. в. около ее математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание». Если обратиться к механической интерпретации распределения, то дисперсия есть не что иное, как момент инерции распределения масс относительно центра масс (математического ожидания) . Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно; для наглядности в качестве характеристики рассеивания удобнее пользоваться числом, размерность которого совпадает с размерностью с.
в. Для етого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе «стандартом» или «стандартным отклонением») случайной величины. Будем обозначать его о[Х[ (или а.): о [Х) и Уб [У) 'РтР„ (4.2 18) Корень берется его арифметическим, т. е. положительным значением.
Для упрощения ааписей мы часто будем польаоваться сокращением а„ для среднего квадратического отклонения (или просто о, если ясно, о какой с. в. идет речь). Вместо слов «среднее квадратическое отклонение» будем иногда писать с. к. о. Для неотрицательной случайной величины Х в качестве характеристики «степени ее случайности» иногда ао гл, а чпсловыв хАРАктвРистнки применяется коэффициент вариации, равный отношению с. к.
о. к и. ол и = о/т. (4.2.19)' Зная м. о. и с. к. о. случайной величины Х, можно составить себе приближенное представление о диапазоне ее возможных значений. А именно, значения случайной величины Х только изредка выходят за пределы интервала (4.2.20) т~Зо, и в большинстве случаев можно считать, что они укладываются в зтот интервал. Это правило (оно более строго будет обосновано в дальнейшем, п. 40.2 гл. 40) носит пазвание «правила трех сигма».
Согласно етому правилу для того, чтобы приближенно представить себе размах случайных отклонений с. в. Х от ее и. о., достаточно отложить от точки т вправо и влево по отрезку, равному Зо (рис. 4.2Л). Математическое ожидание т, дисперсия П (или с. к. о. о) — чаще всего применяемые числовые характеристики с. в. Они характеризуют самые важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Для более подробного описания распределения служат моменты высших порядков. Третий центральный момент (А, служит для характеристики асимметрии (аскошенностиэ) распре- 0 ш деления, Если распределение Рве.
4.2Л симметрично относительно м.о. (или, в механической интерпретации, относительно центра массы), то все центральные моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю. Действительно, при симметричном распределении и нечетном э в сумме л Ра Х (Х1 т)'Р1 1-1 каждому положительному слагаемому соответствует равное ему по абсолютной величине отрицательное слагаемое, так что они взаимно уничтожаютсн и сумма равна нулю (то же справедливо и относительно интеграла, выражающего р, для нечетного э, который равен нулю как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции), Естественно лозтому в качестве характеристики 221 «л.
моменты. диспеРсия асимметрии распределения выбрать какой-либо из нечетных моментов — проще всего р,. Он имеет размерность куба случайной величины; чтобы получить беараамерную характеристику, делят ее на куб с. к. о. Полученная величина носит название «ко»ффициента асимметрии» илн просто «асимметрии» (иначе — «скошенности»); ее обозначают 3й (от английского з)«ем — «косой»): Яй р,/о'. (4.2.2$) На рис.
4.2.2 изображены две асимметричных кривых распределения /,(х), /,(х); одна из ннх (1) имеет положительную асимметрию (Яс ) О), вторая (П) — отрицательную (Яй ( О). Четвертый центральный момент 12, служит для характеристики так называемой «крутости», т. е. островершинности или пло- Рис. 4.2.2 сковершинности распределения (применяется в основном к непрерывным с.в.). Это свойство характеризуется с помощью так называемого эксцесса: е„- р,/о' — 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
