Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 24
Текст из файла (страница 24)
дискРетные слхчлвные Велпчи11ы ментарный участок Л1, очевидно, равно ЛЛГ, где Л вЂ” интенсивность потока. Согласно свойству 2 (ординареости) потока можно пренебречь вероятностью попадания на элементарный участок Л2 двух и более событий. Назовем элементарный участок Лг «занятымэ, если на нем появилось событие из потока, и «свободпымэ— Рас.
5.2.2 если не появилось, и введем индикатор У события «участок Л4 занят« (см. и. 3.3): ~1, если участок Л4 занят, '(О, если участок Лг свободен. Математическое ожидание индикатора события «участок Л2 занят« равно вероятности этого события: М (У) - Рл1, где рю — вероятность того, что участок Лг будет занят. Среднее число — математическое ожидание — числа событий, попадающих па участок Л4, очевидпо, равно ЛХ(Ц=ЛЛ4, откуда находим Лт р„- ЛЛ4= —. л' Теперь рассмотрим и участков оси Ог, как я неаависимых опытов (независимость следует из свойства 3 потока), в каждом из которых может появиться событие А (участок азият) с вероятностью ЛЛ2. Число занятых элементарных участков — это число Х событий на всем участке т (если пи на каком из элементарных участков не может появиться более одного события; в пределе при ЛГ- О это будет именно так).
Случайная величина Х имеет биномпальпое распределение Лт с параметрами и и — „, аз. РАспРеделение пуАссОнА 24$ Теперь будем неограниченно увеличивать число элементарных участков М и найдем в пределе (при и - ) вероятность того, что на участок т попадет ровно т событии: Р =1пп С„( — ) (1 — — ) Но мы только что доказали, что при условии и- сс, Ат — -«О и постоянном значении произведения и — = Ат биномиальное распределение стремится к пуассоновскому с параметром Ат: -а Таблицы значений функции Р(т, а) = —, е приведены в приложении 2. Таким образом, мы выяснили еще один тип условий, в которых возникает распределение Пуассона. Отметим (мы сделаем зто без специального доказательства), что условие 1 (стационарность потока) не является обяаательным для того, чтобы число событий, попадающих на участок длины т, распределялось по закону Пуассона (достаточко, чтобы выполнялись условия 0 2 зс Рис. 5.2.3 Рас.
5.2.4 2 и 3) . Если интенсивность потока событий Х не постоянна, а зависит от времени Х = Х(2), то вероятность попадания ровно т событий на участок длины т, начинающийся в точке 2, и кончающийся в точке 2,+т (рис. 5.2.3), имеет тоже распределение Пуассона: Рм = — е ' (т и! = О, $, 2,...), где ~с+ а ~ Х(2)й. $42 гл г дискгнтнын слгчьиньга внлнчины Добавим к этому, что ось Ог, на которой случайным образом появляются точки, вовсе не обязательно должна быть осью времени, а точки на ней — моментами появления событий.
Картина может иметь другой физический смысл (например, точки причаливания к берегу лодок, действующих независимо друг от друга). Более того, заков Пуассона может возникать в результате появления случайных точен не только на оси, а на плоскости или з пространстве. В таких случаях говорят не о «потоке событий«, а о поле точек на плоскости (см. рис. 5.2.4) или в пространстве. Три условия, обеспечивающие простейший характер потока для воля точек, формулируются в виде: 1.
Однородность поля — это значит, что вероятность попадания того или иного числа точек в какую-то фигуру Я (см. рис. 5.2.4) (объем) не зависит от того, где эта фигура (объем) находится, а аависит только от ее площади (объема). 2. Ординарность поля — это значит, что точки на плоскости (в пространстве) появляются поодиночке, а не по две, по трн и т. д. Точнее, что вероятность попадания в элементарный участок плоскости (пространства) двух нли более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки.
3. Отсутствие вааииодействия в поле — это означает, что вероятность попадання того или иного числа точек в плоскую (или пространственную) фнгуру не зависит от того, сколько точек попало в любую другую непересекающуюся с ней фигуру. Роль интенсивности Л потока событий в случае поля точек играет его плотность Л вЂ” среднее число точек, по« падающих в единицу площади (объема). Для однородного поля точек Л сопзг; для неоднородного Л завясит от координат точки (т, у) на плоскости; (х, у, г)— в пространстве. Можно доказать (мы этого делать не будем), что для поля, обладающего всеми тремя свойствами, число точек, попадающих в заданную плоскую (пространственную) фигуру, распределено по вакону Пуассона с параметром а, равным Ла, где е — площадь фигуры (или Ли, где и— объем фигуры). Для того чтобы возникало распределение Пуассона, не обязательно соблюдение всех трех условий, достаточно соблюдения двух последних (ординарности и отсутст- $.2.
Распгвдвленнв пухссонл вия взаимодействия). Если такое поле неоднородно, то число точек, попадающих в плоскую (пространственную) фигуру, вычисляется по формулам а — ) ) ь(х, у) Кто (для плоскости) (в или а ] ~] х(х, у,х)НхНу~Ь (для пространства). ('У) Двойной интеграл распространяется на всю плоскую фигуру Б, а тройной — па всю пространственную фи« гуру у Для вычисления различных вероятностей, связанных с законом Пуассона, полезно пользоваться функцией Л(т, а): и г[(т, а) 1 — ~У вЂ” е ~ 1 — )' Р (я, а), (5.2.8) ь-о ь-з таблицы которой приведены в [4].
Обозначим В(т, а) 1 — В(т, а) ~ Р('я, а). (5.2.9) з-а С помощью этой функцви можно подсчитать вероятности событий, связанных со с. в. Х, распределенной по закону Пуассона с параметром а: з Р(Х:~х) )'„' — „е ' В([х], а), ь з где [х] — целая часть числа х (например, [0,5] 0; [2,7] 2). Следовательно, Р(Х<;х) 1 — В([х], а)„(5.210) откуда Р (Х) х) 1 — Р (Х«.~ х) В ([х], а).
(5.2.11) П р и и е р 1. На автоматическую телефонную станцию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью ь 0,8 (вызов/мик). Найти вероятность того, что за две минуты: а) не придет ни одного вызова; б) придет ровно один вызов; в] придет хотя бы один вызов. 144 Гл. $. дискветные случАЙные величины Решение. С.в.
Х вЂ” число вызовов за 2 минуты- распределено по закону Пуассона с параметром а = й т 0,8 2 1,6. Имеем: о а) Р, '— е ", так как 0(=1, Р,-е "= 0,202, б) Р е е ьо ж 1,6-0,202 ж 0,323, в) В, Р(Х:«1) 1 — Р(Х О) 1 — Рож 0,798. Пример 2. Поток грузовых железнодорожных со- ставов, прибывающих на сортировочную горку, можпо считать простейшим с интенсивностью й 4 (состав/ч). Найти вероятности того, что за полчаса па горку прибу- дет: а) ровно один состав; б) хотя бы один состав; в) пе менее трех составов. Решение. т 05; а=4 05 2.
а) Р, 2 е-' ю 2 0,135 0,270. б) В«1 — Ро «в 0,865. в) Во 1-(Ро+Р«+ Рг) 1 — В(2, а) Я(2, а) В(2,2) ~ 0,325. Э Пример 3, На оси абсцисс Ол '(рнс. 5.2.5)' случайным образом расположены наблюдательные посты; их плот- ность (среднее число постов на единицу длины) )о (постlкм).
Объект, пересекающий ось абсцисс в точке с заданной абсциссой ф, обнаруживается с наблюдатель- ного поста, если он проходит от пего па расстоянии пе Г Г Рвс. 6.2.6 более г км, причем обнаруживается не с полной достоверностью, а с вероятностью р. Посты обнаруживают объеьт независимо один от другого. Найти вероятяость того, что объект будет обнаружен.
Решение. Перейдем от последовательности постов на оси к последовательности «обнаруживающих постов», линейная плотность которой Л'=Ар. Вероятность того, что объект будет обнаружен, равна вероятности того, что на участок длиной 2г с центром в точке $ попадет хотя бы один «обнаруживающий пост». С.в. Х вЂ” число «обнаруживающих постов» на участке длиной 2г — распределена по закону Пуассона с параметром «=2гв' 2г2р, З.З.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА Вероятность Нг 1 — Р, появления хотя бы одного «обпарухаивающего поста» на участке 2г равна Нг 1— е гтар П р и м е р 4. Космические частицы, попадающие в спутник, обраауют поле с плотностью Л (частица/м'). Агрегат спутника, находящийся в поле частиц, занимает площадь 8 (м*).
Для выхода из строя агрегата заведомо достаточно попадания в него двух частиц; при попадании одной частицы он выходит из строя с вероятностью р. Найти вероятность события А = (выход агрегата из строя). Р е ш в н и е. Находим среднее число попадающих в агрегат частиц: а ЛЯ. Найдем вероятность выхода агрегата из строя по формуле полной вероятности с гипотезами: Н, (в агрегат попала одна частица), Н, = (в агрегат попало не менее двух частиц).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
