Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(6.1.3) Значения )(х) в крайних точках а и Ь участка (а, Ь) не указываются, так как вероятность попадания в любую из этих точек для непрерывной с.в, равна нулю. (ю) Кривая равномерного распределения (рис. 6 «.1) имеет вид прямоугольника, опирающегося на участок (а, Ь); в связи с этим равномерное а тх6 распределение иногда назы- Рас. 6А.1 вают «прямоугольным«. Математическое ожидание с. в.
Х, имеющей равномерное распределение на участке (а, Ь), как видно из механической интерпретации (центр массы), равно абсциссв 154 гл. 6. нкпРБРывнык случайнык Вкличины середины участка: а+Ь льа = —. 2 (6.1.4) Тот же результат можно получить и вычисляя интеграл: ОЭ ь ( хна а+Ь пь„~ х7'(х) Их- )— „) Ь вЂ” а 2 Дисперсию с.в. Х также можно найти, исходя из механической интерпретации (момент инерции распределения относительно центра массы): в,= (6Л.5) Тот же результат можно получить, вычисляя интеграл: Из (6Л.5) следует выражение для с.к.о. равномерного распределения: .г — Ь вЂ” а 21/з ' (ОЛ.6) ьь, О.
Для определения зксцесса найдем четвертый центральный момент: откуда эксцесс с. в. Х равен е„= р,(п„' — 3 — 1,2, (6Л.7) Как и следовало ожидать, эксцесс отрицателен. Моды равномерное распределение не имеет; его медиана, из соображений симметрии, равна ль„(а+ 6)/2. Из тех же соображений симметрии третий центральный момент с. в. Х равен нульо: ЗЛ. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 155 Найдем вероятность попадания с. в.
Х, равномерно распределенной на участке (а, Ь), на любую часть (а, 6) участка (а, Ь) (рис. 6.1.2). Геометрически эта вероятность представляет собой площадь, дважды заштрихованную на рис. 6Л.2 (6.1.8) О при х(а, г'(х) = (х — а)/(Ь вЂ” а) при а(х(Ь, . 1 при х)Ь (6 1.9) График функции распределения дан на рис. 6.1.4. Рассмотрим несколько типов физических условий, ~(х) при которых возникает рав- т номерное распределение. Ь-а 1. Производится измерение какой-то величины с помощью прибора с грубыми О а сз,в Ь ю делениями; в качестве при- Рис. 6Л.2 блил~епыого значения измеряемой величины берется: а) ближайшее целое; б)' ближайшее меньшее целое и в) ближайшее большее целое. Рассматрывается с.
в. Х вЂ” ошибка измерения. Так как ни одно из значении с.в. ничем не предпочтительнее Рас. 6Л.З Рвс. 6Л,4 других, естественно, что с. в. Х распределена равномерно: в случае а) па участке (-1/2; 1/2), в случае б) ыа участке (О; 1), в случае в) на участке (-1; О) (в качество 1 берется цена деления). Функция распределения г'(х) для с.в. Х, распределенной равномерно на участке (а, Ь), геометрически представляет собой площадь, ограниченную кривой распределения и лежащую левее точки х (рис. 6.1.3): 1ьс гл.
«. Непгегыаныв случАЙные Величины Очевидно, такое равномерное распределение имеют и ошибки, возникающие от округления данных при расчетах (в частности, на ЭВМ). ' 2. На оси абсписс имеется последовательность точек, разделенных строго постоянным интервалом ! (рис. 6.1.5). На ось абсцисс «бросается» случайная точка О, аанимающая то или другое положение безотносительно к последовательности точек Х т' 1, 21, ..., т1, ...
Случай- ю ная величина Х вЂ” рас- 0 1 2Ь 61 В~ ч стояние от случайной точРвс. 6Л.5 ки О до ближайшей ле- вой из точек 1, 21, ... ..„ т1, ..., очевидно, имеет равномерное распределение на участке (О, !): !(х) — 1/! при 0 < х < ! (6.1.10) (совершенно такое же распределение имеет и расстояние У до ближайшей правой точки). 3. Вертикально поставленное симметричное колесо радиуса г (рис. 61.6) приводится во вращение и ватам останавливается вследствие трения.
Случайная величина 6 — угол, который после остановки будет составлять с горизонтом ! — ! фик- А сированный радиус ОА. 6 Очевидно, величина 6 имеет рав- в номерное распределение на участке 0 (О, 2я). Таков распределение случайных углов поворота деталей механиамов Рвс. 6.1.6 нередко встречается на практике.
4. В современной вычислительной технике при моделировании случайных процессов часто приходится пользоваться случайной величиной Х, имеющей равномерное распределение в пределах от 0 до 1: 1(х) = 1 (О с х ( 1). (6.1.11) Эта величина, которую коротко называют «случайным числом от 0 до 1», служит исходным материалом, из которого путем соответствующих преобразований получаются случайные величины с любым заданным распределением (о том, как вто делается, будет рассказано в и. 9.2). Пример 1. Длина комнаты измеряется с помощью рулетки с грубыми делениями, отделенными расстояния- аь РАВномегное РАспведеление 157 ми 10 (см). Округление производится до ближайшего деления; с.в.
Х вЂ” ошибка измерения. Найти и построить ее п.р. /(х), ее ф.р. Р(х), найти ее м.о., дисперсию и с. к. о. Решение. Плотность /(х) показана на рис. 6.1.7, ф.р. Ь'(х) — на рис. 6.1.8; т„0; В,=1(Р/12 = 8,333; о, = УР. ~ 2,887. ~ П р им е р 2. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 (мин). Пассажир выходит на платформу в Г<х)1 0 1 Р(х) 0 о Рве. 6Л 7 Рвс. 6Л.6 случайный момент времени, никак не связанный с расписанием поездов. Найти п.р.
/(х) случайной величины Т вЂ” времени, в течение которого ему придется ждать поезда, ее м.о., дисперсию и с.к.о. Найти вероятность того, что ждать придется не больше полминуты. г(х) т Ь-а ь т я+де Рве. 6.1.9 Рвс. 6ЛЛО Решение. /(х)=1/2 (0(х(2) (рис. 6.1.9); Р(Т( — ~ 1/4; Р,=2/12=1/3; т, =(2+0)/2=1; о, УЗ/3. ~ Пример 3. С.в. Х распределена равномерно научастке (а, Ь). Найти вероятность того, что в результате опыта она отклонится от своего м.о.
больше, чем на Зо.. Решение. Находим о,=(Ь вЂ” а)/(2УЗ); Зо.=З(Ь— — а)/(2УЗ)-УЗ(Ь вЂ” а)/2. Но при равномерном распределении на участке (а, Ь) крайние точки а и Ь, ограничи- 153 Гл. о. ИепРеРыВные случляныв Величины вающие участок возможных значений с. в., отстоят от ее м.о. ло,=(а+ Ь)/2 на расстояние (Ь вЂ” а)/2 (рнс. 6ЛЛО), которое меньше, чем УЗ(Ь вЂ” а)/2; следовательно, Р()Х— — ло„)) Зо„) = О.
~ 6.2. Показательное распределение Говорят, что непрерывная с. в. Х имеет показательное (или «экспонекцнальноео) распределение, если 2э ~* прн х)0, 0 при х(0 или, короче, /(х) Хе ' (х) 0). (6.2Л) Положительная величина 2, называется параметром показательного распределения. График показательного Рас. 6.2.2 Рао. 6.2Л распределения показан на рнс. 6.2Л. Его функция рас- пределена я: Р(х) ~Ле ь'о(х= $ — е ~ (х)0). о График ф. р. показательного распределения показан иа рис.
6.2.2. Найдем числовые характеристики показательного распределения: ло„~х2в ох = 2 ) хэ йх, о о Производя интегрирование по частям и учитывая, что при х - оо е-* стремится к пулю быстрее, чем возрастает любая степень х, находим лоо ~ о 2 э (6.2,2) «.3. ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ т. е. м.о. случайной ееличиньь, имеющей показательное распределение, обратно его параметру ь (который имеет размерность, обратную размерности с. в. Х). Вычислим дисперсию с.в. Х по формуле: 1 О, ໠— и»'„ь ) х'е ~Их — — » = » (6.2.3) ь А « Отсюда с, к.
о. (6.2.4) о,- 1/л, т. е. с.к.о. с. в. Х, имеющей показательное распределе- ние, равно ее и. ол о„= т, = 1/з,. Коэффициент вариации с.в. Х, имеющей показательное распределение (6.2.1), равен единице: о о./и»„= 1. (6.2.5)' Откуда коэффициент асимметрии ЮЙ р»/о' 2. Как и следовало ожидать, асимметрия показательного распределения полон<ительна. Показательное распределение тесно связано с простейшим (стацвопарпым пуассоновским) потоком событий. Покажем, что интервал времени Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока: /Щ Ае~ 1»~01.
16,2,61 Коэффициент вариации, показывающий, какую долю математического ожидания составит с. к. о., служит своего рода характеристикой «степени случайности» неотрицательной случайной величины и в ряде случаев применяется для ее оценки. Случайные величины, имеющие о < 1, так сказать, «меиее случайны» по сравнению с имеющими показательное распределение; имеющие и ~ 1 — «более случайны».
Чтобы найти асимметрию показательного распределения, найдем его третий центральный момент: р — ь) (х — 1/й)»е ~йх 2/Л». ь 166 гл. 6. непгегывные случайные Величины Для этого найдем сначала ф. р. Р(г): Р (г) - Р (Т < г). Рассмотрим на оси Ог интервал времени Т между двумя соседними событиями потока (рис. 6.2.3). Для того чтобы выполнялось неравенство Т < г, нужно, чтобы хотя бы одно событие потока попало на участок длины г; вероятность этого В, =1 — Р,=1 — е "', о Рас.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
