Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 27
Текст из файла (страница 27)
6.2.3 откуда Р(г) = 1 — е " (С > О)'. (6.2.7)' плотность: (1>0), (6.2.8) Дифференцируя, получим ~(г)=Хе "' а ато есть нв что иное, как показательное распределение (6.2.1). Показательное распределение играет большую роль в теории марковских случайных процессов, теории массового обслуживания и теории надежности — существенных разделах прикладной теории вероятностей.
Пример 1. С.в. Х имеет показательное распределение с параметром Х = 2. Найти вероятность события (1 (Хс 2). Решение. Имеем Р(х)=1 — е ' (х>0). Вероятность попадания на участок (1, 2) равна приращению ф. р. на атом участке: Р (1 < Х < 2) = Р (2) — Р(1) = 1 — е з — (1 — е ~) = е ' — е з т0,368 — 0,135 = 0,233. ~ Пример 2. Время безотказной работы ЭВМ вЂ” случайная величина Т, имеющая показательное распределение с параметром 2, (физический смысл величины 2,— среднее число отказов в единицу времени, если не считать простоев ЭВМ для ремонта).
Известно, что ЭВМ уже проработала беа откааов время т. Найти при этом условии плотность распределения 7,(г) времени Т., которое проработает ЭВМ после момента т до ближайшего отказа. Р е ш е н и е. Так как простейший поток отказов нв имеет последействия, вероятность появлення хотя бы одного отказа на участке от т до т+8 не зависит от того, 161 «.». НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ появлалась ли отказы ранее момента т (рис. 6.2.4)': р,(С) = Р(Т,(1) 1 — е ы (1~0), откуда 1, (1) = Хе " (Е > О), т.
е. распределение времени, оставшегося до следующего отказа, не вависит от того, сколько време- тч. ки ЭВМ уже проработала безотказно. Заметим, что этот вывод точен только при про- %' 2 'У+6 стейшем потоке отказов, Рес. 6.2.4 ио приближенно справедлив и при потоке отказов, мало отличающемся от простейшего, а такие потоки нередко встречаются иа практике. )ь 6.3. Нормальное распределеиие Нормальный закон раслределения (ииогда Называемый з а к о н о и Г а у с с а) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других вакопов распределения особое положение.
Говорят, что с.в. Х распределена по нормальному закону е параметрами л<, о, если ее плотпость распределения имеет вид: <с- 1» У()= —,— (6.3.1) а '1/рл или, пользуясь весьма удобным способом записи показательной функции ехр (х) е' (она позволяет избегать «мпогозтая<ных» формул), 1(х) = — ехр (~ » . (6.3.1') о )««2н ! 2о» Кривая нормальиого распредеРас. 6.3.1 ленпя имеет симметричный, хол- мообразиый впд (рпс. 6.3.1). Макспмальпая ордипата кривой, равная 1/(арля), достигается при х = л«(мода М„л»); из соображений симметрии мы вправе ожидать, что она совпадает с и, о, слу- пынсн«рн «« срннрнсннс 1О2 гл. и непРеРывные случАйные Величнны чайной величины Х, если оно существует (виже мы непосредственно в етом убедимся).
По мере удаления от точки т плотность ](х) падает, и прв х- кривая распределения асимптотически приближается к осн абсцисс. Вычислим основные характеристики с. в. Х, распределенной по нормальному закову (6.3.[),— и, о., двсперсвю и с.к.о. Имеем: ы-и 1 3 М [Х[ х~(х) Их — " хе " Ых. (6.3.2) Применяя замену переменной (х- т)У(о ° У2), (6.3.3) получим ОЭ М [Х] — " (о г'2 г+ т) е ' а'г уя ~„ ОЭ Об — Г ге ' й+ — Г е ' й. (6.3,4) Первый из интегралов в формуле (6.3.4) равен нулю, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции; второй представляет собой известный интеграл ЭйлераПуассопа: юа ФО ] е ' й 2 ] е ' й У' я. (6.3.5) ФЭ 0 Следовательно, и. о. величвны Х существует и, как мы и ожидали, равно т: М [Х] т.
(6.3.6) Величина т — и. о. нормально распределенной с. в. Х, называется ее Айентрон рассеиванияэ. Вычислим дисперсию с.в. Х: Оа (х тю) [)[х]- — ' [ ( — ) "* [. о'[/2я и> Применим снова запеку перемолкой (6.3.3): 40 0[Х] = [ 21те 'й. уя ~ В 3 НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 1ез Интегрируя по частям, получим: СЮ ОВ 0[Х) = ) 2Рв 'й==! — Гв ' ~ + ) в ~й. Первое слагаемое в фигурных скобках равно нулю (так ~а как в ' при г- убывает быстрее, чем возрастает любая степень ~), второе слагаемое, согласно (6.3.5), равно Й, откуда 0 [Х[ = О', (6.3.7) т. е. дисперсия с.
в. Х, распрсдвленной по нормальному аакону с параметрами т, о, равна о'. Значит, параметр 0 о Рас, 6.3.2 есть не что ппое, как средпее квадратическое отклонение с. в. Х: о„= У0[Х[-а. (6.3.8) Размерности как м. о.- т, так и с. к. о. а совпадают с размерностью с. в.
Х. Посмотрим, как будет меняться кривая распределения при иамененин параметров т, о. При ивменепни и кривая Дл), не язменяя своей формы, просто будет смешаться вдоль оси абсцисс. Изменение о равносильно изменению и аош таба кривой по обеим осям; например, при удвоении а масштаб по оси абсцисс удвоится, а по оси ординат — уменьшится в два раза. Для иллюстрации на рис. 6.3.2 показаны три нормальные кривые распределений; для всех трех и ° 0; для кривой (1) а =* 1, для кривой (11) о 2,5, для кривой (111) и 1/2 (при построе- 164 ГЛ. З. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАННЫЕ ВЕЛИЧИНЫ нии кривых мы пользовались таблицей значений функции хх ~р (х) — „е — нормальная плотность для т О, о* 1, приведенной в приложении [4[).
Как видно из рнс. 6.3.2, при увеличенни о кривая распределения становится более плоской, растнгивается вдоль осв абсцисс; прв уменьшении о— вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (в обоих случаях ограпичввая единичную площадь). Вычислим для Нормальной с. в. Х (6.3.1) ее центральные моменты любого порядка р, [Х). Имеем хо 4Ю (х-хс р,[Х) [ (х-т)'у(х)пх 1 [ (х — т)'е " пх. с ~/Б "„ Снова делая замену переменной (6.3.3), получим: 40 р>[Х[- р„- — ~ г'е й. (6.3,9) Естественно, при любом печатном е р, О (внтеграл в симметричных пределах от нечетной функции равен нулю); предположим, что з четно, и применим к (6.3.9) интегрирование по частям: Ох р, =) Ф Се й= (с ~з) в-1 -ф~ )~ь 1 сх ~х -=~ — —.е г ~+ —,) с е й. (с)'т)'~ 1 -р 1 ! х — ~ р Имея в виду, что первый член внутри фигурных скобок равен нулю, получнм: 00 — — -"а .
(6.3ЛО) ВУ Теперь подставим в формулу (6.3.9)' е-2 вместо е: ОФ р, е г* ' ' й, (6.3,тт) Е.д. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 165 Сравнивая между собой правые части формул (6.3.10) и (6.3.11), видим, что они отличаются только множите- лем (е- 1)а'. Следовательно, р, =(е — 1)а'р., (6.3.12) Формула (6.312) представляет собой простое рекур- рентное соотношение, позволяющее выражать централь- ные моменты более высоких четных порядков через цент- ральные моменты более низких.
В частности, учитывая, что для любой с.в. р, 1, получим: р,=а', р, За'; р, 3 5а"=15а' и т. д. Из выражения для р, получим р,lа' — За'/а' 3. Следовательно, эксцесс нормального распределения равен нулю: е.=р,/а'-3 0 (6.3.13) (мы об этом уже упоминали в п. 4.2).
Вычислим для нормальной с. в. Х вероятность попадания на участок от а до р: а (х-т1 Р(а~Ха.Я ~(х)с(х = 1 е 'е ах. (6.3.14) о~/Б е Сделав в интеграле (6.3Л4) замену переменной с (х — т)/а и соответственно изменяя пределы интегрирования, получим Р(а(Х<р) = ~ е '~зс)г. $/2л е (6.3 15) называемую функцией Лапласа (илп епнтсгралом вероят- ~ -сх/х Как известно, неопределенный интеграл ) е сй не выражается через элементарные функции, но его можно выразить через специальную функцию э з 3 но>>мьльное Рхспэедгчение >Ет или, принимая во внимание нечеткость функции Лап- ласа, Р((Х вЂ” щ((1) 2Ф(1!з). (6,3.17) Через функцию Лапласа выражается п ф. р.
г"(х) нормально распределенной с. в. Х. По формуле (6.3.16), полагал и=-, 6 х и учитывая, что Ф(- ) -1/2, получим: г" (х) —, + Ф~ — *). (6.3.18) Теперь несколько слов об условпях возникновения нормального распределения и о причинах его широкой распространенности в случайных явленпях природы. Опо возникает в тех случаях, когда складывается много независимых (пли слабо зависимых) случайных величин Хн Х„..ч Х„ Х ХХ> (6.3Л9) (причем эти величины сравнимы по порядку своего влняния на рассеивание суммы). Тогда, каковы бы ни бь>яи законы распределения отдельна>х величии Х„Хм ..., Х„, закон распределения их суммы Х будет близок к нормальному (причем тем ближе, чем больше число слагаемых и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
