Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 23
Текст из файла (страница 23)
По непалу связи передаются четыре сообщения, Каждое из пих, независимо от других, может быть искажено. Первое сообщение искажается с вероятностью р, — 0,1, второе — с вероятностью р, = 0,2, третье — с вероятностью р, 0,3, четвертое — с вероятностью р, = 0,4, с. в. Х вЂ” число искаженных сообщений. Пользуясь производящей функцией, построить ряд распределения с.
в. Х. Найти вероятность того, что будет искажено: а) хотя бы одно сообщение, б) не менее двух сообщений. Найти — непосредственно и по формулам (5Л.14) — ее числовые характеристики: л4, Р, и и.. Р е ш е н и е. Производящая функция: 1р(з) =(д1+ рх) (71+ рз) (о, + р х) (д, + рх) (0,9+ 0,1з) (0,8 + 0,2з) (0,7 + 0,3з) (0,6 + 0,4г) 0,3024+ 0,4404х + 0,2144з' + 0,0404з' + 0,0024з'. 135 5.2, РАспгеделнннв пуассона Ряд распределения с. в. Х имеет вид: 0 1 2 3 4 х: 0,3024 0,4404 0,2144 0,0404 0,0024 гп„= 0 0,3024+ 1 0,4404+ 2 0,2144+ 3 ° 0,0404+ + 4 0,0024 = 1,000.
Тот же результат даст первая формула (5.114): и. 0,1+ 0,2+0,3+ 0,4 1. Дисперсию вычислим пе через второй центральный момент, а непосредственно: 0„=(0 — 1)' 0,3024+(1 — 1)' 0,4404+ + (2 — 1) * 0,2144 + (3 — 1) ' ° 0,0404+ +(4-1)' 0,0024=0,7. Тот яге результат получим по второй формуле (5.1.14): О,= 0,9 0,1+ 0,8. 0,2+ 0,7 0,3+ 0,6 0,4 = 0,7. Извлекая корень нз 0„, получим о. = У0,7 = 0,837. Вероятность того, что будет искажено хотя бы одно сообгцение и не менее двух сообщений: В, 1 — Р, 0,6976; Л, = 1 — (Р.
+ Р,)=0,2572. ~ 5.2, Распределение Пуассона Говорят, что с.в. Х имеет распределение Пуассона, если ее возмонгпые значения: О, 1, 2, ..., т, ... (бесконечное, но счетное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой Р = — е ' (гп О, 1, 2, ...). (5.2.1) Распределение Пуассона играет большую роль в практическом применения теории вероятностей: многие физические явления приводят именно к такому распределению вероятностей. Закон Пуассона (5.2.1) аависит от одного параметра а, смысл которого в следующем: оп является одновре- т36 гл.
а днскэетные слтчяяные Величины менно математическим ожиданием и дисперсией с.в. Х, распределенной по закону Пуассона. Докажем это. Воспользуемся для этого производящей функцией ф(г)' случайной величины Х: ОО ° О ф(х) = )'„— е 'г = е ' ю-О Ю 0 Сумма в последнем выражении есть не что иное, как е'*, поэтому ф (г) е-а . е Ф еа(к-1) (5.2.2)' Чтобы найти м.о. величины Х, продифференцируем производящую функцию (5.2.2) по х: ф'(г) = ае'* " .и положим в ней г = 1; получим т,=а. Дифференцируя второй раз, найдем ф ' (г) = а*евп "; ф" (1) = а'. (5,2,3)' Найдем второй начальный момент; а = ф" (1)+ т а'+ а.
Дисперсию с.в. Х выразим через а, и т„: 2 Р, = аг — те а' + а — а' = а. Итак, параметр а пуассоновского распределения равен одновременно математическому ожиданию и дисперсии с.в. Х, имеющей ато распределение. Найдем с.к.ол о. = УВ„= Уа. Коэффициент вариации для с.в. Х, распределенной по закону Пуассона, равен о = о„/т„= Уа/а = 1/Уа в стремится к нулю при увеличении а. Многоугольники распределения для с.в. Х, распределенной по аакону Пуассона с параметрами а= 0,5; а= 1,0; а 2; а 3,5 показаны на рис.
5.2 1. Рассмотрим условия, при которых возникает пуассоновское распределение. Прежде всего покажем, что оно является п р едал ьпым для биномиального, когда число опытов и неограниченно увеличивается (и — ) и одновременно »л, гаспгидклвнил птассона 127 1!ш яр=а, «» Из предыдущего пункта мы внаем, что м.о. случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону с параметрами и и р, равно пр. Мы обозначили О 1 2 Ю О б б 7 т Рвс. 5.2.1 ир а. Для случайной величины Х, имеющей биномиальное распределение с параметрами п и аlи, Р(Х= т) С„"~ — ) ~1 — — ) Посмотрим, каков будет предел этого выражения прл и- аа: Р =1пв Са ~ — ) ~1 — — ) (5,2.6) Преобразуем вырал«ение, стоящее под знаком предела в формуле (5.2.6): а )а „~1 -1 я~(а)~( а~" ~ а1а — 1) ...
(а — в+1) а 1 а/ ,р м1 ( а~т' ~"--) а( Первая дробь и знаменатель последней дроби при постоянном т и п- стремятся к единице. Преобразуем параметр р (вероятность «успеха» в одном опыте) неограниченно уменьшается (р- 0), но так, что их произведение ир сохраняется в пределе постоянным и равным а: 133 ГЛ. ». ДИСКРЕТНЫЙ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ числитель последней дроби к виду В пределе при и- это выражение, как мы знаем из курса математики, стремится к е-'. Следовательно, предельное значение в формуле (5.2.6) равно Р = —,е Р(и» а), (5.2.7) а это и есть распределение Пуассона. Из доказаппого предельного свойства следует, что распределение Пуассона с параметром а = ир мол«по приближенно применять вместо биномиалького, когда число опытов и очень велико, а вероятность р очень мала, т. е. в каждом отдельном опыте событие А появляется крайпе редко.
Отсюда происходит применяюшеося еще иногда для закона Пуассона наавапие «закон редких явлений». В свое время «классическим» примером случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, приводившимся во многих учебниках, было «число солдат- кавалеристов, убитых за год ударом копыта лошади». ,Число опытов и здесь — число встреч солдат-кавалеристов с лошадью, а р — вероятность того, что встреча закончится столь плачевно.
Статистические данные показали хорошее совпадение распределения с. в. Х с пуассоновским, В настояшее время этот пример, по понятным причинам, потерял свою актуальность. Однако и в наше время есть задачи, где распределением Пуассона можно пользоваться вместо биномиального. Например, если речь идет о многократном применении технического устройства высокой надел<ности, такой, что вероятность откааа при одном применении очень мала. Для контроля возмоя«пасти замены бяномиального распределения пуассоновским можно па всякий случай подсчитать одну-две ординаты точного, биномиального, распределения и сравнить с теми, которые получаются по приближенному, пуассоновскому. Помимо этого «предельного» случая возникновения пуассоновского распределения, па практике встречается ряд ситуаций, где это распределение имеет место.
Рассмотрим, например, таную задачу. Пусть па оси времени 0«случайным образом возникают точки — мо- 2.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА менты появления каких-то однородных событий (например, вызовов на телефонной станции, приходов посетителей в магазин, поступлений информации в АСУ и т. и.).
Последовательность таких моментов обычно нааывают «потоком событий». Предположим, что поток обладает следующими свойствами. т. Стационарность. Это свойство означает, что вероятность попадания того или иного числа событий па участок времена длины т не зависит от того, где на оси 08 расположен этот участок, а аа висит т о л ь к о о т е г о длины т. Из этого следует, что среднее число событий, появляющихся в единицу времеви, постоянно.
Обозначим его )> и будем называть интенсивностью потока. 2, Ординар>«ость, Грубо говоря, это свойство оаначает, что события возпикают поодиночке, а не группами по два, по три и т. д. Точнее, ординарность потока выражается в том, что вероятность попадания на малый участок А2 двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одного события (прн Л2- О вероятность попадания на участок Л8 болев чем одного собь>тия — бесконечно малая более высокого порядка малости, чем вероятность попадания на него же ровно одного события).
3. Отсутствие посл«дейст«ил. Это свойство означает, что вероятность попадания того нли другого числа событий на заданный участок оси 02 не аависит от того, сколько событий попало на любой другой пе пересекающийся с ним участок (в частности, «будущее» потока не зависит от его прошлого; отсюда и термин «отсутствие последействия»). Эта пеаависимость физически сводится к тому, что события появляются на оси времени в силу случайных причин, индивидуальных для каждого из них. Поток событий, обладающий этими тремя свойствами — стационарностью, ординарностью и отсутствием последействия, называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком.
Простейший поток тесно связан с распределением Пуассона. Действительно, возьмем на оси 02 участок времени длиной т (рис. 5.2.2) в докажем, что случайная величина Х вЂ” число событий, попадающих на атот участок, имеет распределение Пуассона. Разделим мысленно участок т на и равных частей длины А2 = т/и. Математическое ожидание числа событий, попадающих на эло- 44О Гл. ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
