Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 25
Текст из файла (страница 25)
По закону Пуассона Р(Н,) =Л8е аа; Р(Н») На = 1 — Ра Ра .Н(1, ЛЯ) 1 — е г»(1+ЛН)'; Р(А!На) р~ Р(А~На)= 1; по формуле полной вероятности Р(А) ЛЯре ~+ 1 — е ~(1+ ЛЯ). ~ Пример 5. Поток вызовов на АТС вЂ” пуассоновский нестационарный с интенсивностью Л(а), зависящей от времени. На участке времени от 0 ч до 6 ч 40 мин интенсивность Л(а) возрастает по линейному закону; Л(а) Ьа+ с, причем к 0 ч она равна 0,2 (вызовам в минуту); а в 6 ч 40 мин — 0,4 (вызов/минуту).
Найти вероятность Р того, что за 10 минут, от 3 ч 15 мин до 3 ч 25 мин, придет не менее трех вызовов. Решение. Найдем постоянные Ь и с: Л(0)=0,2; с= 0,2 (вызов/мин); Л (6 ч 40 мин)=Л (400 мин) Ь400+, + 0,2 0,4 (вызов/мин), откуда Ь 0,2/400 (вызов/мина) 1/2000 (вызов/мин'). Среднее число вызовов а в интвр- ь.э. 1'еометРическое РАспРеделении 147 Первые четыре ординаты геометрического распределения для р 0,4; д=0,6 покаэаны иа рис.
5.3.1. Найдем числовые характеристики с. в. Х, распределенной по геометрическому вакону. Для этого вапишем ее пронэводящую функцию. ц4 ф(х)- р ч', (дг) . 0„у т Е цг Суммируя бесконечно убы- с ~ вающую геометрическую прогрессию со энаменателем дх< (1, получим ф(х) р(1 — дз) ', (5.3.3)' Ряс. 5.3.1 Дифференцируя выражение (5.3.3) по х, найдем; ф'(х) — рд(1 — дх)-'. (5.3.4),' Откуда находим м.
ол т,=ф (1) рд(1 — д) *. Сокращая на р = 1 — д, находим: т„д/р. (5,3.5) Дифференцируя еще раэ (5.3.4), имеем ф" (х)=2рд'(1 — дх) 'ь ф" (1) 2рд*(1 — д) -' 2д'/р'. Отсюда находим второй начальный момент с.в. Х: а, ф (1)+ т„= 2дЧр*+ д/р - д (2д+ р)/р*. Но 2д+р=д+р+д 1+д (так как р+д 1); отсюда а, = д (1+ д) /р'. (5.3.6); Вычитан ив (5.3.6) я1е~ д'/р', находим дисперсию с. в. Х (5.3.7) Р„д/р* и, наконец, с. к. о.
о„- уд/р*- уд/р. (5.3.8) На практике чаще приходится рассматривать не с. в. Х, имеющую геометрическое распределение, а другую с.в.: Г Х+ 1 (5.3,91 143 гл. е дискгетные случАйные величины ( число попыток до первого «успеха», включая удавшуюся). Ряд распределения с.
в. У имеет вид: 1[2! 3 !. ° !»«! р!«Р!«Р[ "!« 'Р!" Будем называть такое распределение «геометрическим, сдвинутым на единицу» или «геометрическим+1». Многоугольник распределения с.в. У при р- 0,4 имеет тот же вид, что и на рис, 5.3.1, но сдвинут вправо на одну единицу (рис. 5.3.2). Найдем м. о. и дисперсню с. в. Х. Пользуясь свойствами числовых характеристик, приведенными в и. 4.2, получим те М [Х + 1] = т„+ 1 = д! р + 1 1(р, (5.3.10) Р„-П[Х+ 1[ =Р„-д~р, (5.3.11) и» )/Р„= о„- )уд/р. (5.3.12) О,о Пример 1. При каждом цикле обзора радиолокатора объект (независимо от других циклов) обнаруживаетрп ся с вероятностью р = 0,2.
Найти м.о. и дисперсию о,з числа Х циклов обзора, которое придется произвести без обнаружения объекта и числа У цико,у ! ! лов обзора, которое придется произвести вплоть о т г е з о т до обнаружения объекта Рвс. 5.3.2 (включая тот, при кото- ром объект будет обнаружен).
Найти м. о., дисперсию и с. к. о. каждой из с. в. Х, У. Пользуясь правилом трех сигма, найти максимальное практическое возможное число циклов, за которое объект еще не будет обнаружен. Найти вероятность того, что фактическое число «безуспешных» циклов превзойдет его м. о. больше, чем на Зо. Решение: с. в. Х имеет геометрическое распределение с параметром р= 0,2; по формулам (5.3.5), (5.3.7) и (5.3.8) имеем: т„(1 — 0,2) l0,2 = 4; Р.
= 0,8/0,04 = 20; о„= Ч 20 = 4,46; с.в. У имеет «геометрическое+ 1» распределение; ее м. о. «.3. ГкомктгичкскОк РАспгкдвлвпик 149 ж, = 4 + 1 = 5; ее дисперсия такова же, как дисперсия с.в. Х: П, 20; о„= 4,46. Найдем Р(Х)тт+ Зов) = Р(Х >4+ 13) 1 — Р(Х(17) м -1 — р 2' 9" =1 — (р — р9"й1 — 9)- =» д»» = 0,8" ж 0,0180144, Таким образом, вероятность того, что с.в. Х превзойдет свое м.о. больше, чем на Зо, довольно мала (меньше 2%; отклонения в меньшую сторону не рассматриваем, так как они приводят к отрицательным значениям Х, что вообще невозможно). Р П р и и е р 2. В нашем распоряжении имеется и лампочек; каждая иа пих с вероятностью р имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и в сеть включается ток; при включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает и заменяется другой. Рассматривается случайная величина 2 — число лампочек, которое будет испробовано.
Построить ряд распределения с.в. Я и найти ее м.о. Решение. Распределение с.в. Я для всех значений т си есть «геометрическое+1» распределение с параметром д 1 — р. Найдем Р(Я = и). Это есть вероятность того, что будут испробованы все п лампочек, а значит, первые и — 1 лампочек окажутся дефектными. Следовательно, Р(2 и) р" '. Ряд распределения с.
в. 2 имеет внд: г; 1 ! 2 ~ 3 ~ ... ~ гв ~ ... ~ » — 1 ~ а «1р«~р'«1 "1р" 'ч~" 1р' 'ч р" ' ' где о 1-р. Производящая функция с. в. Я равна «-1 ~» г Ее производная: р'(з)- Π— р" ' " ~)11 — Г)+Г(« — р" г»") (1 — р»)~ 151) гл. ь. дискгетные случьиные Величины Полагая в ней г = 1, получим: (1 — Р а) (1 — Р) + р(1 — Р ) + (1 Р) «-1 1 Р + пр 1 — р (В дальнейшем — см. гл. 8 — мы вернемся к этой задаче и найдем т, другим способом, как м. о. мипимума из двух величин: с.в. У, распределенной по геометрическому закону с параметром р, я неслучайной величины п) 1п 5.4. Гипергеометрическое распределение Говорят, что случайная величина Х имеет гиперггометрическое распределение с параметрами а, Ь, и, если ее возможные значения О, 1, ..., т, ..., а имеют вероятности: рт = Р(Х т) (Са Сь )/Са+ь (т = О... а).
(5.4.1) а) Гипергеометрическое распределение возникает при следующих условиях: имеется урна, в которой Ь белых и а черных шаров; из нее вынимается и шаров. Случайная величина Х вЂ” число белых шаров среди вынутых. В и. 1.2 мы уже сталкивались с такой задачей в убедились, что формула (5.4.1) справедлива. Важнейшие числовые характеристики случайной величины Х, имеющей гипергеометрическое распределение, равны соответственно: т„= па/(а + Ь), (5.4.2) Эа паЬКа+ Ь)'+ п(п — 1) ~ а — l —" 1а+6 а+Ь вЂ” 1 ~а+6| (5.4.3) Выводить эти выражения непосредственно из распределения (5.4 1) или его производящей функции а ~р(г) = Х Са Сь з /Са+ь «) При пользовании формулой (ЬУЕ1) пало полагать Сь — - О, если г > 6, 4.4.
ГНПЕРгиометРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 161 было бы сложно; в дальнейшем (п. 8.3) мы выведем эти формулы гораздо более простым путем (пользуясь теоремами о числовых характеристиках), а пока предложим читателю припять их па веру. Пример 1. В шкафу находятся 9 приборов; из них 5 новых и 4 бывших в употреблении.
Из шкафа наугад вынимается 4 прибора; с. в. Х вЂ” число новых приборов среди вынутых. Построить ряд распределения с. в. Х. Вычислить м.о., дисперсию и с.к.о. с.в. Х двумя способами: непосредственно по ряду распределения и по формулам (5.4.2), (5.4.3). Решение. Вероятности Р, = Р(Х пг), яь-О, 1, 2, 3, 4 находим по формуле (5.4,1), полагая в ней а ° 5; 9.8.7 6 Ь = 4; а + Ь 9; анаменатель Се — ,2,3,4 Имеем: Ре — 'е — — — ' ж О 008' Рь ь " — ж О 159' 126 126 ' ' ь 126 126 С4се Ряд распределения с. в.
Х: Х: 0~1(2~8 0„008~ 0,169 ~ 0,476 (0,31? 0,040! По ряду распределения находим т„: ль„О 0,008+1 0,159+2 0,478+3 0,317+ +4 0,040 2,222, То же значение ль, 2,222 получим по формуле (5.4.2): гяе — 2,222 ). 4 б Для нахождения дясперсии сначала «грубо центри. руем» с.в. Х, перенося начало отсчета в точку с абсциссой 2, близкую к т;, при этом, как мы знаем, дисперсия «) Точного совваяевая могло а ве быть, так как вероятаости в ввжвей строке ряда распределения округлены до 0,001. 182 гл.
и дискгвтныв слтчляныв ввличины пе меняется. Получим ряд распределения с.в. У =Х вЂ” 2: — 2[ — 1[0[1[2 0,008 [0,189 [0,478 [ 0,81 7 [0,010 Второй начальный момент с. в. У: а,[У) =(-2)* 0008+( — 1)'.0,159+0' 0476+ + 1* 0,317+ 2* 0,040 = 0,668, откуда дисперсия 1)[У) — 0 [Х[ а,[У) — т„ '= 0,668 — (т„ — 2)'ж0,619, По формуле (5.4.3) получим более точное, чем зто, значение дисперсии: В„ = 0,617.
Небольшое расхождение в последнем анаке с ранее вычисленной дисперсией объясняется погрешностями округления вероятностей в ряде распределения. ~ В заключение заметим, что при а - , Ь— а/(а + Ь) - р гипергеометрическое распределение приближается к биномиальному с параметрами я и р. В атих условиях п зависимых опытов, состоящих в вынимании и шаров из урны, содержащих а белых и Ь черных шаров, становятся практически независимыми, а вероятность появления белого шара от опыта к опыту не меняется и остается равной р = а/(а+ Ь).
Гипергеометрическое распределение применяется на практике при решении задач, связанных с контролем продукции (пример 3 л. 1.2). ГЛАВА 6 НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ ДЛЯ ПРАКТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 6Л. Равномерное распределение Говорят, что с. в. Х имеет равномерное распределение на участке от а до Ь, если ев плотность ~(х) на этом участке постоянна: «(х) ь е — при х~(а, Ь), 1 (6ЛЛ) О при хф(а, Ь) Говоря о непрерывных случайных величинах, мы будем, как уже условились, в целях простоты записывать выражение для плотности ) (х) только н а т е х у ч а с тках, где она отлична от нуля; при атом будет подразумеваться, что на всех остальных участках она равна нулю. В частности, плотность равномерного распределения будем записывать в виде: ~(х) = — при а(х«Ь (6 «.2) или жв совсем коротко 1(х) = — „(а(х(Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
