Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Рассмотрим интервал времени Т, состоящий из суммы й интервалов между событиями в таком потоке. Можно докааать, что с. в. Т будет подчинена закону Эрланга й-го порядка. В п. 9.5 это утверждение будет доказано. Плотность распределения с. в. Х, распределенной по аакону Эрланга й-го порядка, может быть выражена через табличную функцию распределения Пуассона (5.2.7): А~ ~-Х~,— „'„~--И(а — ~,1) (й)0; л>0; й 1, 2, ...), (6.4.9) где т Р(т, а) — с-х, Можно доказать, что ф.р. с.в.
Х х х РА (~) ) ~» (~) с)т = А ) Р (й — 1„йи) Пт о х 1 — Л(й — 1, Ах) В(й — 1, Ах), (6.410) 17В гл. 6. непРеРыВные случьиные Величины где Л(й, ьл) 1 — Л(й, йл) определяются выражениями (5.2.8) и (5.2.9). Следовательно, имеют место равенства, которые нам в дальнейшем пригодятся: = — Р(й, а); Л(й, а) =) Р(й, з) гьт, (6.4.11) а Пример. Поток проназодпмых на конвейере изделий является простейптим с параметром Х.
Все производимые изделия контролируются, бракованные укладываются в специальный ящик, в котором помещается не более й иаделий, вероятность брака равна р. Определить закон распределения времени Т заполнения ящика бракованными изделиями и величину й исходя из того, чтобы ящик с вероятностью У = 0,99 не переполнялся в течение смены. Решение. Интенсивность простейшего потока бракованных изделий будет Хр. Очевидно, что время Т заполнения ящика бракованными изделиями распределено по закону Эрланга с параметрами й н "ьр: ),Д-йрР(й- 1, )р1), следовательно (см. (6.4.6) и (6А.7)): М [Т) Мйр; О (Т) й~РР)з. Число бракованных изделпй за время 1 будет распределено по аакону Пуассона с параметром Хрй Следовательно, искомое число й нужно находпть из условия 0,99-У Р(т(7) Р,(О - л(й — 1, хрг). (6.4,12) Например, прп А 20 [изделие/ч): р 0,1; 1 8 [ч[ из уравнения 0,99- Л(/с, 16) по таблицам приложения 2, помещенным в [4[, получаем: при й 26 (й — 1 25) У ж 1 — 0,0131 ж 0,9869 0,99.
~ ГЛАВА 7 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ) 7Л. Понятие о системе случайных величин В гл. 3 и следующих за нею главах мы рассматривали отдельные случайные величины (дискретные и не- дискретные), нх законы распределения и числовые характеристики. В принятой нами теоретико-множественной трактовке любая случайная величина Х есть функция алементарного события ю, входящего в пространство злементарных событий й: Х-(р(ю), юый; каждому алементарному событию ю ш й ставится в соответствие некоторое действительное число х ы Б, где Š— множество возможных значений случайной величины Х.
В данной главе мы будем рассматривать не отдельные случайные величины, а системы (совокупности) нескольких случайных величин — двух или более. Примеры систем случайных величин. 1. Точка прпаемления космического летательного аппарата может быть охарактеризована системой двух случайных величин: Х вЂ” географическая широта и У вЂ” географическая долгота точки; совокупность двух случайных величин (Х, У) является системой случайных величин.
2. Успеваемость студента, окончившего курс обучения в вуае, характеризуется системой л случайных величин Хп Х,, ..., Х вЂ” оценками, проставленными в его дипломе по пятибалльной системе. 3. Состояние вычислительной машины в момент времени Г характеризуется системой многих случайных величин, среди которых: время наработки после последнего отказа ЭВМ; количество ячеек оперативной памяти, занятых обработкой информации; положение магнитных 178 гл. 7.
спсткмы слгчляных ввлпчнп лент и накопителей; число отказавших элементов ЭВМ; общее число отказов ЭВМ с момента ввода ее в эксплуатацию и т. д. Конкретный набор случайных величин, вводимых в рассмотрение, зависит от того, какая задача решается и с какой целью. Аналогично этому, состояние любого технического устройства в заданный момент г характеризуется системой (набором) нескольких случайных величин.
Условимся систему нескольких случайных величин Х, У, ..., И' обозначать (Х, У, ..., И'). Система случайных величии (как и калгдая из ее составляющих) есть функция элементарного события (Х, У, ..., И') = ~р (о); каждому злемептарному событию ы ставится в соответствие несколько действительных чисел: зиаченпя, принятые случайными величинами Х, У, ..., Г в результате опыта.
Пример. Опыт состоит в том, что вынимается наугад одна кость из полного набора костей домино; с. в. Х вЂ” сумма чисел очков, стоящих на половинах кости; случайная величина У вЂ” их произведение. Пространство элементарных событий состоит из 28 элементов, соответственно 28 костям домино: Я вЂ” (О/О; О/1; О/2; ...; 1/1; 1/2; ... ...; 1/6; ...; 5/5; 5/6; 6/6).
Если в результате опыта появилось какое-то иэ этих элементарных событий, то случайные величины Х, У получают вполне определенные значения; например, если вынута кость 3/4, то Х 7; У=12. Совокупность этих значений — функция элементарного события ы. Ув Случайные величины (Х, У, ..., И'), входящие в систему, могут быть как дискретными, так и неднскретными (непрерывнымп или смешанными; в вышерассмотренном примере обе с.
в. Х и У дискретны). Для наглядности рассмотрения и исследования системы случайных величин удобно пользоваться геометрической интерпретацией. Так, систему двух случайных величин (Х, У) можно изобразить случайной точкой на ялосяосги с координатами Х и У (рпс. 7ЛЛ), или, что равносильно, случайным векторош, направленным из начала координат в точку (Х, У) (рис. 7Л.2); случайные величины Х, У представляют собой составляющие 179 ?л, Фу!!кция Рлспгед! те!<пя с<<стеыы этого вектора (рис.
7.1.2). Аналогично, систему трех случайных величин (Х, У, Я) можно изобразить как случайную точку в трехмерном пространстве с координатами Х, У, Е или, что равносильно, как случайный вектор, направленный из начала координат в эту точку, с составляющими Х, У, 2. Рас. 7.1.1 Рис.
?.!.2 При числе измерений больше трех геометрическая интерпретация теряет наглядность, но пользование геометрической терминологией остается удобным. Так, мы будем говорить о системе случайных величин (Х„Х«, ... ..., Х.), как о случайпой точке в пространстве и измерений или о случайном векторе в том н<е пространстве и пользоваться для него обозначением Х (Х„Х», ..., Х.). Очевидно, свойства системы случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных величии, входящих в систему; существенны также связи (зависимости) между величинами. Полной характеристикой системы случайных величин является ее закон распределени я, воторый, как и для отдельных случайных величин, может иметь разные формы (функция распределения; плотность распределения; таблица вероятностей отдельных значений случайного вектора и т. д.). Кроме ваконов распределения, мы будем рассматривать также и числовые характеристики системы случайных величин.
7.2. Функция распределения системы двух случайных величин Функцией распределения (илп «совместной» функцией распределения) гастевы двух случайных величин (Х, У) нааывается вероятность совместного выполнения двух неравенств: Х ( х; У ( у: !о (х, у) = Р (Х < х; У < у), (7,2,!) з80 Гл, т. системы случаяпьгх Ввличян Стоящее в фигурных скобках событие означает пронвведенве событий (Х < х) и (У < у): (Х < х; У < у) (Х < хПУ < у) а)'.
Пользуясь геометрической интерпретацией системы (Х, У) как случайной точки па плоскости, можно дать геометрическое истолкование у У функции распределения Р(х, у): (,д> и Р„. ность попадания случайной точки (Х, У) в бесконечный квадрант с 0 ~х ш вершиной в точке (х, у), лежа! щий левее и инязе ее (ааштрихован на рис. 7.2Л). Правая и Рис. 7.2Л верхняя границы квадранта в него не включаются. Пользуясь геометрической интерпретацией, выведем основные свойства функции распределения системы двух случайных величин.
т. Функция распределения Р(х, у) есть неубывающая функция обоих своих аргументов, т. е. при ха)хь Р(х,у))Р(х„у); (7.2.2) при у,)у, Р(х,у,))Р(х,у,) Это свойство следует из того, что при увеличении какого-нибудь из аргументов (х, у) (пли обоих сразу) квадрант, заштрихованный на рис. 7.2Л, увеличивается; естественно, вероятность попадаяия в него случайной точки (Х, У) уменьшиться ве может. 2. Если хотя бы один яз аргументов обращается в - с, функция распределения равна пулю: Р(х, — )=Р(-, у)=Р( —, — ) О (7.2.3)' или, короче, повсюду па минус бесконечности функция распределения равна нулю. Это свойство следует нз того, что при х- —, или у- —, или х- —, у- — квадрант с вершиной в точке (х, у) будет ауходвтьа с плоскости хОу; естествен- по, вероятность попадания в него случайной точки будет стремиться к нулю. Это свойство вытекает также из определения (7.2Л) функции Р(х, у), так как события Х< а) К такой упрощоппой форме записи иы прибсгаси, чтобы избежать фигурпых скобок внутри фигурных.
Кз. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ 181 ( —, у < —, а также и их произведение невоз- можны. 3. Если оба аргумента равны +, функ- ция распределения равна единице: Р'(+, + ) = 1. (7.2.4) Это следует из того, что при х- +, у- + квад- рант с вершиной в точке (х, у) заполняет всю плоскость, а попадание случайпой точки (Х, У) на эту плоскость- событие достоверное.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
