Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 31
Текст из файла (страница 31)
в. (Х, У) называется непрерывной, если ее ф.р. Р(х, у) есть непрерывная функция, дпфференцнруемая по каждому из аргументов, у которой судху (х, у) ществует вторая смешанная производная — '. Обе составляющие системы Х и У представляют собой непрерывные с. в. Аналогично тому, как мы определяла п.р, )(х) для одной с.в. Х, определим п.р. )(х, р) (иначе — совместную плотность) для системы двух непрерывных с.
в. (Х, У). Зто есть не что иное, как предел отношения вероятности попадания случайной точки (Х, У) в алементарный прямоугольник, примыкающий к точке (х, р), к площади етого прямоугольника, когда оба его размера стремятся к нулю. Рассмотрим на плоскости хОу малый прямоугольник ЬЛ, примыкающий к точке (х, у), с размерами Ьх, Лу (рнс.
7.4.1), и найдем вероятность попадания в него случайной точки (Х, У). Согласно формуле (7.2.6) эта вероятность равна: (о ((Х, У) Я ЛЛ„У) Р(х+ Лх, у+ Лу) — Р(х, р+ Лр) — Р(х+Лх, у)+Р(х, у). Будем неограппчеино уменьшать оба размера прямоугольника: Лх- О, Ьу- О и вычислим предел: Г(х + Лх, у + Лу) — Г (х, у + Лу) — )с (х + Лх, у) + Р (», у) Л Л Ф тл систкмл двтх нкпгввывных сличенных вкличин 191 Если Функция р(х, у), как мы условплпсь считать, непрерывка и двфференцируема по каждому аргументу, то предел (7.4Л) есть не что иное, как вторая смешанная частная производная функции Р(х, у): д' 7(х, у) — — т'(х, у).
(7.4.2) Функция Дх, у) называется плотностью распределения (иначе — совместной плотностью) системы двух непрерывных с.в. (Х, У). Плотность 1(х, у) обладает следующими свойствами: 2) ) ) 7'(х,у)йхс(у 1. ФО т) 7 (х, у) ) О; (7,4.3) Первое свойство следует иа того, что т" (х, у) — неубывающая функция по каждому из аргументов; второе свойство будет доказано ниже (см. (7.4.8)). Рис.
7.4.2 Рве. 7.4Л Геометрически совместная плотность Ях, у) системы двух с.в. (Х, У) изображается поверхностью распределения (рис. 7.4.2). Так как 7'(х, у)>О, то вся поверхность распределения лежит не ниже плоскости хОу. Так ОЭ как ~~йх,у)йхйу 1, то полный объем, огра- ОО ниченный поверхностью распределения и плоскостью хОу, равен единице.
Лналогично тому, как мы ввели понлтие взлемепт вероятностиэ 7'(х) с(х для одной случайной величины Х, введем попятке влемента вероятности дзл системы двух 192 ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН непрерывных случайных величин: 7'(х, у)Нхг)у. (7.4.4)' С точностью до бесконечно малых величин высших порядков элемент вероятности 7'(х, у)!(х !4у равен вероятности попадания случайиои точки (Х, У) в элементарный прямоугольник Иг)„„с размерами е)х и г!у, примыкающий к точке (х, у) (рис. 7.4.3). Эта вероятность приближенно равна ооъему элевя и ментарного параллелепипеда с еу высотой 7'(х, у), опирающегося у на !тй.„(рис.
7.4.4). Аналогично тому, как вероятность попадания одной с. в. Х в Рис. 7.т!.3 пределы участка (а, Р) геометрически изображалась площадью, ограниченной сверху кривой распределения, опирающейся на этот участок, вероятность попадания случайной точки (Х, )') в область 0 на плоскость хОу геометрически изображается объемом тела, ограниченного сверху т(х,ю' Рис. 7.4.4 Рис. 7.4.5 поверхностью распределения 7(х, у) и опирающегося на область )л (рис. 7.4.5). Эта вероятность определяется по формуле Р ((Х, )') ен.О) = ~ ~! (х, у) о!х г7у. (7.4!.5) '<Л'! Если область В представляет собой прямоугольник Н со сторопамп, параллельными координатным осям, ограниченный абсцпссамп а, () и ординатами 7, б (рис.
7.4.6), т 4. системА дВух пепРВРыВпых слус|Айных Величин 193 то вероятность попадания в нее случайной точки (Х, У): ,В В Р((Х, У) 77) = ) ) 1'(х, у) о|хгеу. (7.4.6) ат Выражение функции расп ре делен и я системы (Х, У) через совместную плотность 1(х, у). Функция распределения г" (х, у) системы двух случайных величин (Х, У) раааа вероятности попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х, у), лежащей левое н ниже этой точки (рис. 7.2.1). Рассматривая этот квадрант как прямоугольщ|к, у ограниченный абсцпссамп х и ордипатами —, у, по фор- Ас муле (7 4.6) получим: 7е се Р(х,у)- ~ ('/(г,у)~хФ ,о Х Рас.
7.4.6 (7.4.7) Полагая з формуле (74.7) х = у =+, получим: а ) ~~(х,у) г1хс~у = Р(+ оо, + оо) = 1 (7.4.8) са и второе свойство плотности доказано. Выражение законов распределения отдельных случайных величин, входящих в систему, через закон распределения систем ы. Зная закон распределения системы случайных величин (случайного вектора) (Х, У), можно найти закон распределения каждой пз величин, входящей в систему, в любой удобной для нас форме: функция распределения, плотность (для непрерывных с, в.), ряд распределения (для дискретных с. в.). Рассмотрим сначала случай системы двух непрерывных случайных величин, более часто встречающийся в инженерной практике.
В п. 7.2 мы покавалп, что 7Р(х, + ) =г",(х); Р(+, у)=ге(у), т. е. для того, чтобы полу- С |сирии исраонасесе и ее инненсрние ириианении Гл. ! системы случлиг!ых нег!ичнн чить фупкппю распределения одной нз величин, входящих в систему, достаточно и оложпть в функции распределения системы аргумент, соответствующий второй случайнойй величине, равным + Учитывая формулу (7.4.7), выражагощую функцию распределения у(х, у) системы двух непрерывных сл;- чайных вели щи через их совместную плотность, и заменяя в пей аргументы х, а затем у на +, получим: Гт(х) = ~ ~ ~(х,у)!?хг(у; Гт(у) = ) ) ((х,у)г)хс)у. (7.4.Р) Чтобы найти плотности 7,(х) и /!(у), продпффоренцируем выражение (7.4,9) соответственно по х и по у: НГ, (х) и', (з) ( х ) ! ! ! ( у ) ! Применяя известное правило дп!р!)!оропцпровацпя интеграла по переменной, входящей в его продел, получим: Ф О~ ~г(х) ) ~(х,у)с(у; ~з(у) = ~ ~(х,у)г(х; (7.4.10) т.
е. для того чтобы получить плотность распределении одной нз величии, входлщих в систему, надо проинтегрировать совместную плотность в бесконечных пределах по аргументу, соотпетствующему другой случайной величине. 7.5. Зависимые и независимые случайные величины. Условные законы раснределепнн В предыдущих пунктах мы показали, как, зная закон распределения системы двух (дискретных илн непрерывных) случайных величин, найти законы распределения отдельных величин, входящих в систему (Х, У). Возникает естественный вопрос: а нельзя ли, зная законы распределения отдельных с.в. Х и у, входящих в систему, найти аакоп распределения системы? тл.
3АВисимые и незАВисимые спучАпнык Величины 195 Нет, оказывается, в общеы виде этого сделать нельая: знание законов распределения отдельных с. в. Х и У еще не дает возможности найти закон распределения системы. Это можно сделать только в одном частном случае: когда с.в. Х н У, образующие снстеыу, незав и с и м ы. Две с. в. Х и У называ1отся независимыми, если независимы все связанные с ппми события: например, (Х(х) и (У < у); (Х =х,) и (У =у;) и т.
д. Так как зависимость и независимость событий в с е г д а в з а и ми ы (если Л не зависит от В, то и В пе зависит от Л), то зависимость п независимость случайных величин также всегда взаимны: если с.в. Х не зависит от с.в. У, то п с. в. У не зависит от с. в. Х. В терминах законов распределения независимость с. в.
можно определить так: две случайные велачппы называются независимыми, если закон распределения каждой из них не аазпснт от того, какое аначение приняла другая. Понятие независимых с. в. очень валсно в практических применениях теории вероятностей. Вводя в рассмотрение систему с. в., надо стараться по возможности обеспечить их независимость. Если с. в. Х и У, образующие систему, независимы, то ф.р.
системы выражаетсл через ф. р. отдельных величин, входящих в систему. В самом деле, Е(х, у) = Р (Х < х; У<у). Е(о события (Х <х) и (У < у) независимы; по правилу умножения вероятностей для пезазпснмых событий Г(х,.у) = Р(Х<х) Р(У<у) р(х, у) = р (х) р (у) *), (7.5.1)' т. е. ф.р. системы двух пезазвсимых с.в. равна произведению ф.р. величин, входящих в систему.
Вто правило справедливо для лгобых случайных величин — дпскретпьж, непрерывных и смешанных. Если Х н У вЂ” две независимые дискретные с,. в. с матрпцей распределения (ре1 (1=1, 2, ..., н; 1 1, «) Формулу (7,5.1) впогдз называют теоремой умпожепча закапов распределения. 199 ГЛ. Ь СИСТЕМЫ СЛУЧАННЫХ БЕЛИЧИН 2, ..., т), то элементы этой матрацы очень просто вы- ражаются через законы (ряды) распределения отдельных с. в. Х и У.
А именно, р1, Р(Х = х,; У = у,); но события (Х = х,) п (У = у1) независимы; отсюда рг = Р(Х х,).Р. (У у.), или, пользуясь обозначениями р„= Р(Х = х1); р = Р (У = у,.), (7,5.2) РИ Р«1Р«,х т. е. каждый элемент ре матрицы распределения двух независимых с.в. равен произведению соответствующих ни (1го и )го) элементов рядов распределения с.в. Х и У. Условие (7.5.2) есть необходимое и достаточное условие независимости двух дискретных случайных величин Х и У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
