Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 34
Текст из файла (страница 34)
7.5.1 4 Расставляя пределы в этом двойном интеграле и записывая его как повторный, получим: СО 11! Р)о) — (),)~)1) )!)~1) о~В,— о о ОР 11! е~ = ~ )!е ) ) ~~ 7)ое ''С)11~ п11 = ~ Х1е ')1 (1 — е ~о~)) о11 о о о 7о 1 — — ' 1 +7) 3, +Х„' Аналогично Р(В) = Р(Т1> т) Р(То(т) = е ~)'(1 — е 1'"). Найдем Р(С) = Р(Т, » То): для этого выделим область С, соответствующую неравенству Т, > Т, (абсцисса случайной точки (Т„ Т,) больше ордпнаты).
На рпс, 7.5.14 эта область С заштрихована. 1!меем: Этот реаультат мол!но объяснить достаточно наглядно. Представим себе па оси 01 сонме!цепными (наложенными друг на друга) два простейших потока событий; первый — поток отказов 1-й ЭВМ с интенсивностью Х, (кружочки) и второй — поток отказов 2-й ЭВМ с интенсивностью ))о (крестики) (см.
рис. 7.5.15). Вероят- 75 злвпсиыыг и нгзлгиспмъ|в слу'!Лоп!!я Вглп'!ппы 2>! ность того, что первое после «=0 событие пз «потока крестиков» прядет раньше, чем первое пз «потока кружков», с достаточной очевидностью равна доле, которую составляет интенсивность )>««потока кружков» в общей интенсивности )„ + 1, обоих потоков. ° Вернемся к вопросу о зависимости и независимости случайных величин. Мы знаем, что для независимых случайных величин ((х, у) = Д,(х) 1,(у), а отсюда следует, что условная плотность распределения !,(у!х) случайной величины У равна <безусловной» плотности >,(у).
На практике заключение о зависимости илн независимости случайных величин делается, как правило, не путем сравнения условных законов распределения с «безусловнымн», а всходя из других, по большей части Рвс 7.5Л5 физических соображений, касающихся мнон«еств факторов, обусловливающих появление тех нли иных значений случайных величин. Если множества этих факторов для двух случайных величин Х и У не пересекаются (или практически не пересекаются), можно допустить, что случайные величины Х и У независимы. Если же вти множества имеют существенную общую часть, то случайные величины Х, У зависимы; только тогда возникает вопрос об условных законах распределения.
Остановимся более подробно на понятии з а в и с и м ости случайных вел и чн и. Не следует ее путать с привычной для пас в математике функциональной зависимостью. Если две величины зависимы функцноп а л ь и о, то, зная значение одной из пих, можно совершенно точно указать значение другой. Если я«е мы имеем дело с зависимымн случайными величинами, то, в общем случае, зная значение одной, можно только указать закон распределения другой. Такая зависимость пазываетсв вероятностной (или стохастической). Зависимость не>иду случайными величинами может быть более нлк менее теспоп: от полного ее отсутствия, через разные степени вероятностной зависимости, вплоть до жесткой, функциональной зависимости, когда, 272 Гл, 7 системы случлвных величин зная вначепие одной с.
в., можно в точности указать значеняе другой. Рассмотрим несколько примеров. Пример независимых случайных величин. Опыт состоит в том, что два стрелка, не сговариваясь, стреляют каждый по своей мишени. Случайная величина Х, — абсцисса точки попадания первого стрелка; с. в. Х, — абсцисса точки попадания второго; эти случайные величины мои>но считать независимыми, так как причины, обусловливающие появление того или иного значения каждой из них, различны.
Пример функционально зависимых случайных величин. Опыт состоит в том, что техничоское устройство работает в течение какого-то времени т; время от времени в нем могут возникать неисправности. Устранение одной пенсправности обходится в определенную сумму (а рублей), Случайная величина Х— число возникших неисправностей; случайная величина У вЂ” сумма, затраченная на их устранение. Мея>ду случайнымн величинами Х и У существует функциональная зависимость У = аХ. Примеры случайных величин, связанных не роя тн о сгной ва в ис им остью. 1.
ЭВМ работает в течепяе одного года; с. в. Х— число отказов ЭВМ за этот период; с. в. У вЂ” стоимость затрат, связанных с поддержанием ЭВМ в работоспособном состоянии в тот >ке период. Очевидно, что случайные велвчипы Х и У зависимы; при увеличении Х случайная величина У также проявляет тенденцию к увеличению, но связь между Х и У не жесткая, не функциональная. 2.
С. в. Х вЂ” число действу>ощих скважин на месторождении нефти; У вЂ” количество нефти, добываемой в единицу времени на этом месторождении. Зная значение одной из этих случайных величин, нельзя указать точного вначения другой; можно лишь утверждать, что чем больше будет действующих скважин, тем вероятнее, что будет добыто большее количество нефти. 3.
Ранее рассмотренные нами случайные величины: Х вЂ” рост человека и У вЂ” его вес — также связаны вероятностной зависимостью. Эта зависимость не является функциональной, хотя и существует всем известная эмпирическая формула, связывающая вес человека У (кг) с его ростом Х (см): У = Х вЂ” 100. 7.«. числовые хлглктегистикп системы 213 7.6. «1псловые характеристики системы двух случайных величин. Ковариацпя и коэффициент корреляции В качестве числовых характеристик системы двух с. в. (Х, У) обычно рассматриваготся начальные и центральные моменты различпьж порядков. Начальным моментом порядка й, а системы двух с.
в. (Х, У) называется математическое ожидание произведения Х" па У': а», = М (Х" У']. (7.6.1) Ц е п т р а л ь н ы м и о и е и т о м порядка Й, г системы двух с. в, (Х, У) пазываетсл математическое ожпо « дание произведения Х' на У' И,.=М[Х'У1, (7.6.2) « « где Х Х вЂ” и„; У = У вЂ” л»» — центрпрованпые с. в. Для системы дискретных с. в. (Х, У) получи»: л т с«и,ь = ~ ~~ х«у>РФ «.=«»-» (7.6.3) Эта зависимость, как нетрудно убедиться, справедлива лишь в среднеи, а в конкретных случаях от пее наблюдаются болев пли менее значительные отклонения.
Величины Х и У связаны вероятностной завис н и о с т ь ю. Не следует думать, что зависимость между случайнымн величинами может быть только «положительная», когда при увеличении одной другая имеет тенденцию тоне увеличиваться. Например, две случайные величины Х вЂ” средний балл школьника па выпускных зкзаменах и У вЂ” число часов, проведенных пм нсе у телевизора в период подготовки, несомненно, зависимы, но при увеличении одной другая имеет тенденцию уменьшаться. Существуют и такие виды зависимости случайных величин, когда при увеличении одной другая пе проявляет тенденции ни увеличиваться, ни уменьшаться; меняется только ее закон распределения; для пары зависимых случайных величин (Х, У), рассмотренных в примере 6, зто именно так. 2г4 Гл 7 системы слх'! !о!и,!х вгли'!!1!! рм, = ~ ~~~ (х; — т„)" (у; — то)' рц ).
(7.6. !) г=! о=! Для системы непрерывных с. в. (Х, У) О аал = ) ) х у /(х, у) о[х!/у, О рв ! ) ~ (х !по) (у лоо) / (х у) у!' оу. -40 (7.6.5) (7.6 !!) Порядком начального (или цептралы!ого) момента называется сумма его индексов /о+ г. В инженерных приложениях чаще всего встречаю!со моменты первого и второго порядков. Начальные моменты первого порядка: а! о М [ХгУо[ М [Х) = т; а, ! М [ХоУ![ лт (7.6.7) р,,=М~Х У1=М[Х1=6; =МЫ У" 1=М[Я = 6.
Начальные моменты второго порядка а, = М [ХоУ') М [Хо) = а! [Х[; а,л — — М [Х'Уо[ = М [Г'[ = а, [У[; (7.6 6) ,, = М [Х'У'[ = М [ХУ[. Последний иэ этих моментов — математическое ожидание проиэведения двух с. в. Х и У, довольно часто встречается в приложениях. представляют собой математическое ожидания с. в.
Х и У, Точка (лг„, ло!) на плоскости хОу представляет собой характеристику положения случайной точки (Х, У): со рассеивание (рааброс) происходит вокруг точки (т„, ж„). Центральные моменты первого порядка, естествеппо, равны нулю: |.о числОВые ХАРлктеРистики систгмъ| 215 Центральные моменты второго порядка р,,- м[х У" ~]-м~х1-77„; р,, м[х~ 1=МЯ 1)„; (7,6.9) Первые два из них представля|от собой уже извест- ные нам дисперсии с.
в., а третий заслуживает отдель- ного рассмотрения. Оп называется ковариацией (иначе— корреляционным моментом) случайных величин (Х, У); мы будем обозначать его Кер Го о1 К,„- М [Хг ] = М [(Х вЂ” то) (У вЂ” т„)]. (7.6.10) В механическое интерпретации, когда распределение вероятностей на плоскости хОу трактуется как распре- деление единичной массы на этой плоскости, точка (т„, т„) есть пе что иное, как центр массы распределения; ДиспеРсии 11„, о|о — лооогенгы инеРЦии РаспРеДелепиЯ масс относительно точки (т„, т„) в направлении осей Ох и Оу. Что касается коварнации (7.6.10), то в механиче- ской интерпретации это — не что ипое, как центробеж- ный момент инерции распределения масс.
По определению коварпации К„„= К„„, (7.6.11) т. е. при перемене индексов местами коварпацпя пе меняется. Дисперсию с. в. можно рассматривать как частный случай ковариации: ]7.=м[х~=м[хх]=к„; 7)„=м[Я-К, (7.6.12) Го о| К „р,а — М [ ХУ] = ] ) (х — т„) (у — т„) / (х, у) ах ду. Для независимых с.в.
доказано, что Дх,у)=Л(х)Л(у)| т. е. дисперсия с. в, есть не что иное, как оковариация ее с самой собойо. Для независимых с. в. ковариация равна нулю; докажем это. По определены|о (7.6.10) Гл т, системы случАйных Величин 216 следовательно, Кху — ) (х — гпх) 71(т) "х ~ (У вЂ” тт) Уэ (У) аУ Но каждый из полученных интегралов представляет собой первый центральный момент, который равен пулю: Ю ~ (х — т„)1, (х) Нх = 1А, (Х) = О; ~ (у — пзэ) 7е (у) ау и, [У) = О, — Р Таким образом, ковариация двух независимых с. в.
равна нулю. Ковариация двух с. в. (Х, У) характеризует пе только степень зависимости случайных величин, но также их рассеивание вокруг точки (Л4, т„). Ковариацию К„„ часто удобно выражать через начальные моменты низших порядков: К„„ = и,, — ас, а,л или К„У вЂ” — М (Х У) — М (Х) М (У), (7.6.13) (доказательство — в и. 8.2).
Полезно запомнить словесную формулировку втой формулы: ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий, Размерность ковариацпи К„„равна произведению размерностей с. в. Х и У. Чтобы получить безразмерную величину, к тому же характеризующую только зависимость, а не разброс, коварнацпю делят на произведение с. к. о. С„о„: г„„ К„„/(а„о„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
