Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Как нетрудно догадаться, опк представлягот собой пе что нное, как математические ожидания с.в. (Х, У), их с. к. о. и ковффицнент корреляции. Декан<ем зто. Действптельпо, по формулам (7.6.5) и (7.6.7) гЗ2 Гл. 7. системы случАЙных Величин откуда х = а„У2х1 +т„; у =а„угу' 2(1 — ггу)+а„г,у112х1+т; (7.9.4) Для нахождения якобиана г' преобразования координат (7.9.3) вычислим проиаводные: д* г- дх дх, * ' ду, —" = ауг УУ2; —" = а„[г 2(1 — г„„). Следовательно, [ дх/дх1 дх/ду1 [ дх ду дх ду 1,г у=~ ~ ду/де ду/ду 1 дх ду ду дх " у г (7.9,5) С учетом (7.9.1)', (7.9.3) — (7.9.5) выражение '(7.9.2)' примет вид: Интеграл 1 ХАЕ Г/Х 1 СФ -О, (7.9.6) так как выражение в фигурных скобках представляет собой математическое ожидание случайной величины Я, имеющей нормальное распределение с параметрами М[Я] 0; 0[2! =1 (см. (63.2)).
Интеграл х Е 1/Х1 = 1 1 1 1 2 дх де =— 1 [Гг хх 1 1 2 д*, = д*/Уг Оф 1 = у'л — ~ е 111х у'л Р/гя д (7,9,7) 7.9. двумеРное нОРмАльнОИ РАОНРеделение 233 а все выражение в фигурвых скобках равно единице, так как оео представляет собой интеграл в бесконечных пределах от нормальной плотности распределепия с. в. Я, у которойМ [Я] = О; 0 (Я) — 1. Следовательно, М [Х] = т„, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается, что М ['г'] = тю Для вычисления дисперсии ]7„ найдем сначала второй Начальный момент случайной величины Х: 00 М [Х'] = ) ~ х'~(х, у) Ых Ыу, (7.9.8) Применяя замену переменпых '(7.9.3) с учетом (7.9.4), (7.9.5), получим М [Х'] (7.9.9) Вычислим интеграл: Выражение в фигурных скобках равно единице, так как оно представляет собой дисперсию нормальной с.в.
Я с параметрами М [Я] О; 0[8] =1. С учетом (7.9.6), (7.9.7) и (7.9.10) получим М [Х'] а„'+ т (7,9.11) откуда 0[Х] - М [Х'] — т„'- а*„, что и требовалось докааать. Аналогично 0[У] о'„'. Покажем, что г„„есть ее что иное, как коэффициент корреляции случайных величин (Х, г'): г„К /(а.а„), (7,9Л2); где К,„— ковариация '(Х, г').
По формуле (76ЛО) К,Р ~ ) (х — т„)(у- т„) ~(х, у) йхг[у. (7,9ЛЗ) 234 гл. т. систвмы слгчьиных внличпн Применяя замепу переменных (7.9.3) с учетом (7.9.6), (7.9.7) и (7.9.10), получим: --"' '( *"-')("-") ОО 00 р — з~ „) "з "ъ х,е дх, е ду, =г,зо„а„ Ю ОО Деля ковариацию на а„о„, получим коэффициент корреляции величин Х и У, который равен гев что и требовалось доказать. Таким образом, аакоп двумерного нормальногого распределения полностью определяется заданием его числовых характерист и к, что очень удобно в практических применениях. Действительно, для того чтобы записать (пусть приближенно) совместную плотность 1(х, у) двух нормально распределенных случайных величин (Х, У), достаточно определить из опыта приближенные значения числовых характеристик системы (Х, У) (как ато делается, подробно рассказывается в гл.
11). Условные законы распределения с.в. Х и У найдем по формуле (7,5.19): 1 (х~р)— Ь (Их)- ° ехр —, —" — ㄄—" (7.9.14) Нетрудно убедиться, что каждый иэ условных ваконов распределения является тол~о нормальным с условным математическим ожиданием и условной дисперсией, определяемыми по формулам: е г з т тм„и„+ г„„о„(у — е.„)~а„; Р„м о„(1 — г„„), ) т„~, тз + г„„пз (х — т,.)/а„.; Ри„= о„(1 — г„„~. ) т.», двтмеРное нОРЖАльнОе РАспРеделеш!е 235 Из формулы (7.9.15) видпо, что для системы нормально распределенных с.
в. Х и У липни регрессии и„„ и тм„представляют собой прямые линии, т. е. регрессия для нормально рзспредслснаойр системы (Х, У)' всегда л и пейна. Таким образом, для полного описания системы двух нормально распределенных с. в. (Х, У) нунрпо анать пять параметров: координаты центра рассеивания (т., т„) и матрицу ковариаций, состоящую из четырех элементов: 0х Кх»1 К 2)1 (7,9.16) »х р Если случайные величины Х и У пекоррелпрованы (г„„О), то выра)кение (7.9.1) примет вид: ( ( — м )р) 1 ( ( — мр)») »р2л о, [ 2о„« ~ ')/2ло„[ 2о» = 7) (х) 7» (у), (7.9.17) где (,(х) — нормальный закон распределения с.в. Х с параметрами т„, о.
и (р(у) — нормальный закон распределения с. в. У с параметрами и„, о„(см. (6.3.1) ). Отсюда следует, что если двв норлрально раснредвлвнные с.в. Х и У неноррелированы, то они и независимы, так как их совместная плотность равна произведению плотностей отдельных с.в. Для нормально расиределенпых случайных величин термины «независимость» н «пекоррелирован ность» эквивалентньт. В геометрической интерпретации совместная двумерная нормальная плотность ((х, у) представляет собой холмообразвую поверхность (рис.
7.9.1), вершина которой находится вад точкой (т„т„) плоскости хОу. Аппликата этой вершипы равна !(т„, т„) — 1([2ло„ор у' 1 — г„'р~. (7,9 18) Сечение поверхности 1(х, у) плоскостью, параллольпой плоскости хОу, представляет собой элл и по, уравнение проекции которого на плоскость хОу имеет вид: (х — и„)»/оа — 2гха (х — и,) (у — тр)!(О,о») + (у — т»)»/о'„=а', (7.9.19) р )Р (Рр л„г Р- Ь)).( — 2))1 — '„„), ь — р 2ЗЕ Рл.
1. систеьгы случАЙных Величин стояние плоскости сечения от плоскости хОу (О ( Ь < ~(т„, т„) ). Оси снмметрви эллипса, центр которого находится в точке (и„, в ), обраэуют с осью Ох углы а и ее+ Ы2 Р .1.9Л '(рис. 7.9.2), определяемые из условия 19 2а = 2г а„оу/(а,' — о'„), (7.9.20) Оси симметрии эллипса наеываются елаеными осши раесеиеания, сам эллипс — аллипсом рассеивания (эллип сом равной плотности), а центр эллипса — точка (т„ 1п ) — центром рассеивания. Рве. 7.9.2 Если координатные оси совпадают с осями симмет. рии эллипса рассеивания, то уравнение эллипса рассеи- ьз. ДВУмвгпои ноРмзльнои РАСПРвдБлипив 237 вапия будет иметь простейший (еканоническийз)' вид.
В соответствии с рис. 7.9,2 для приведения уравнения эллипса к каноническому виду достаточно перенести начало координат в точку (т„, тк„), а координатные оси повернуть на угол а. В преобрааованной системе координат к'О'у' система случайных величин (Х', У') будет выражаться череа составляющие исходной системы случайных величин (Х, У) формулами: Х' - (Х вЂ” ог„) сова + (У вЂ” тг) з1па, У' — (Х вЂ” и„) з)п а + (У вЂ” тг) соз а. ) ~ (7,9,21) В новых осях х'О'у' каноническая форма нормального закона системы с.в. (Х', У') имеет вид: т'(х', у'),, ехр — д —, — — — ",, (7.9,22) У Р где о, и ог называются глазными средними кеодратическими отклонениями, (о„)г о',созга+ г„го„огз(п2а+ огзз1пза, 1 (ог) о„з!из и — гего„вез!п 2а+ се созга.
~ (7.9.23) При этом М(Х') М[У') О. Нормальное распределение называется круговым с центром в точке (т., в„), если случайные величины Х и У некоррелированы (г.„О) и о. о„о. В атом случае эллипс рассеивания превращается в круг и случайные величины остаются неаависимыми при любом выборе системы декартовых координат, т. е. при любом повороте координатных осей. Это облегчает решение многих прикладных инженерных задач. Найдем вероятность попадания случайной точки (Х, У), распределенной по нормальному закону с параметрами кг, т„ О; о.; о„ в эллипс рассеивания В„, центр которого совпадает с началом координат, а полу оси а, и а„ пропорциональны средним квадратическим отклонениям о.
и о„ (а. = йо.; а„ = йо„) и направлены по координатным осям, е'равнение эллипса В, будет иметь вид 238 ГЛ. 7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН По общей формуле (7.4.5) находим: Р[[х,г) В ) ) ) [1[[2 „„)) *Р(- 2 ( — *, [-~112 ВУ ОУ 3 Проведя замену переменных и х/(72о„)'; и у/(У2о„)', мы преобразуем эллипс В„с полуосями а„= йо, и е /со„ 'в круг С„с безразмерным радиусом й/У2 = а,/(['2С„)= ав/(У2о„). Следовательно, Р((Х, У)~ВО) ~~е и+'~[)исЬ/я. (с„) Этот интеграл проще найти, перейдя от декартовой системы координат к полярным координатам г, [р: и гсозф; и гз)пф (0<г<й/72; 0< [у <2Л)'.
Якобиан / такого преобразования равен: ')ди/дг ди/дз[~ ~ сов ф — гв1в [р) ~ди/дг ди/д[В~ ~ в[а ф гсов [В~ Следовательно, О/УВ Ви Р((х[ У)~ ВО) ~ ~ ге ' с/г[(ф/я = ~~ ~ 1 е Р йв а д 2 О О О 1 — е " '. (7.9.24) Рассмотрим случайную точку (Х, У), рассеивающуюся вокруг начала координат 0 по круговому нормальному закону: т. = т„ 0; и. =* у =о„=о. Введем в рассмотрение вели- и,у) чину В, УХ'+ У — расстояу ние от случайной точки (Х, У)' ' г до центра рассеивания Х з (рис.
7.9.3). Найдем ф.р, с.в. ВВ. /Р(г) Р(В (г), т, е. ф,р. с.в. В, равна вероятности того, что случайная точка (Х, У) попадает внутрь круга С, с раРвс. 7.9.3 диусом г (рис. 7.9.3). Эта ве- роятность определяется по фюрмуле '(7.9.24) при й= гlо: Р(г) ° А — е ' ~~~ (г) 0). (7.9,25) 7.9. дВумеРЫОе ЕОРмАльное РАспРеделепие 239 Следовательно, плотность распределения с. в. Но будет ((г) Р'(г) — ", е "~~'~ ) (г о 0). (7.9.26) Закон распределения с.в. В, (см.
(7.9.25), (7,9.26))' называется ааконом Ралел, зависящим от одного параметра а. Найдем его числовые характеристики: ОО о 1 9 , о М [Н,] = ] —" е 'о Ыг =1 —" = 1~ = 'РГ2о'] оо е 'гон ео 2оа о о Последний интеграл представляет собой гамма-функцию (см. (6,4.2) ). Следовательно (см. (6.4.5) ): М [В,] 'Р'2ОГЦ = "У' 2ОГ(1+ — „,) = 'У'2а — -аф 2 ж1,25а. (7.9.27) Найдем второй начальный момент: ио [Во] М [В,'] 4О ОО ] — е '~ о[г = 1 — = 1] = 2оо ] ге Ъ = 2ооо о 2оо о (7.9.28) Можно доказать следующее утверждение: если расстояние Н, от начала координат до точки (Х, [г) (рис. 7.9.3)' подчинено закону Рэлея с параметром о, а угол Ф распределен равномерно и интервале от 0 до 2я и не еависит от с. в. В„ то система с. в. (Х, т') имеет нормальное круговое рассеивание: т.
т„= 0; о. О„а. Если случайная точка (Х, а')' распределена нормально по аакоеу (7.9.17), то вероятность ев попадания в пре- так как последний интеграл равен м. о. с, в., распределенной по показательному аакону с параметром 2, . 1 (см. (6.2.2)). Следовательно, О [Н,] — ао [Н,] — (М [В,])' = 2а' — яа'(2 (4 — л) оо(2 ж ж 0,429ао, (7.9.29) о [Н,] = (О [В,])ьи о [(4 — я)(2]'и ж 0,655а. (7.9.30) 949 ГЛ. 7, СИСТЕМЫ СЛУЧАВВЫК ВЕЛИЧИН делы прямоугольника В со сторонами, параллельными главным осям рассеивания (рис.
7.9.4), равна рь ьь Р((Х, г')шВ) ~ ) 7'(х, у)дхь(у ) ) 1 (х)1 (у)Нхйу, я т ат Так как область интегрирования — прямоугольник со сторонами, параллельнымн координатным осям, то (7,9.3т) где Ф(з)- функция Лапласа Чтобы приблвньепно нанти вероятность попадания случайной точка (Х, Г), распределенной по двумерному нормальному аакону, в произвольную у область Р на плоскости хОу ,8 7 (рис. 7.9.5), можно приближенно зал менить область Р областью, составленной из прямоугольников.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
