Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 38
Текст из файла (страница 38)
На этой идее основано применение так на- 0 сь,д х зываемых сетон рассеиваниц составРвс 1 9 4 ленных из кваДРатов, веРоатности попадания в которые вычислены заранее. Сетка рассеивания, отвечающая случаю кругового рассеивания (о. с„о), выполняется на прозрачной бумаге и накладывается на иэображение области Р, Рвь. 1.9.6 Ряс. 1.9.9 перестроенное в соответствующем масштабе. Если об~вота Р выпукла и невелика по сравнению с эллипсом рассеивания (ее размеры в направлениях осей Ох и Оу не превышают с„о„), то удовлетворительную точность можно 1.9. двумеРное нОРмАльнОе РАОПРеделенне 241 получить, заменяя область Ю одним прямоугольником примерно той же площади (рис.
7.9.6) и вычисляя вероятность попадания точки (Х, У) в этот прямоугольник. Пример 1. На станке-автомате изготавливается деталь цилиндрической формы. Полученные в результате обработки длина 5 и радиус Н детали являются независимыми с.в., распределенными по нормальным законам с характеристиками: М [Ц = 100 мм; о (Ц а~ 0,1 мм; М(Й) -10мм; а(Н) а~=0,01 мм. Определить процент бракованных деталей, если деталь считается годной, когда ее размеры определяются условиями (100 — 0,1) мм ~ ,(Х, ((100+ 0,05) мм; (10- 10+0~ — 0,005) мм <Н ((10+ +0,007) мм.
70-0,0 $ Р е ш е н и е. Вероятность р того, что деталь не будет аабракована, определяется вероят- Рис, 7.9.7 пастью попадания системы независимых нормально распределенных с. в. в прямоугольник Л, изображенный на рис, 7.9.7. По формуле (7,9.31) получаем: [ф ( 100+ 0,05 — 100 ) ф ~100 — 0,1 — 100)~ [ф (10+ 0,007 — 10) ф (10 — 0,005 — 10Я, 0 239 Следовательно, вероятность брака равна 1 — р -"~, ~е 0,761. Ф Пример 2.
Приземление космического летательного аппарата (КЛА) проводится с помощью парашютной системы. Рассеивание точки (Х, У) приземления КЛА является нормальным круговым с характеристиками: и,— пг„О, а, а„а. Найти радиус круга г, в который с вероятностью Р приземлится КЛА. Решение. Искомый радиус г найдем из равенства Я = Р (Л, ( г) = 1 — ехр ( — г'/(2а')), откуда г а( — 21п(1-а.))н', Так, например, при а = 2 км и У = 0,95 г 2( — 21п0,05)ьмж4,89км. ~ 242 ГЛ.
7. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ В ЧИЧИН П р и и е р 3. Место посадки КЛА на планете представляет собой поверхность, па которой в случайном порядке находятся кратеры. Считая, что центры кратеров на поверхности планеты представляют собой пуассоновское поле точек с интенсивностью Х, найти закон распределения расстонния Н, от места посадки КЛА до центра ближайшего кратера.
Решение. Найдем функциго распределения с. в. /7ь для чего проведем вокруг точки П посадки КЛА окружность радиуса г (рнс. 7.9.8). На рис. 7.9.8 центры крате- ров изображены в виде точек. у Для того чтобы расстояние Л, от точки П до ближайшего к ней центра кратера В было меньше г, надо, чтобы в круг радиуса г попал хотя бы один центр кратера.
Следовательно, гз(Лз(г) и (г) = 1— — ехр ( — яг'Ц (г > О). Откуда Рис. 7.9.8 1(г) = Г (г)- 2ЛХГ ехр ( — яг'А) (г> О). Таким образом, с. в. Н, подчинена закону Рэлея с параметром о =1/(2яХ)'". Напомним, что в данном примере величина Х представляет собой среднее число центров кратеров, находящихся на определенной площади планеты. Если в точке П поместить начало декартовой системы координат лОу с произвольной ориентацией осей, то точка В будет иметь координаты (Х, У), распределенные по нормальному закону с параметрами т„ т„ 0; а„= о„=о= 4/(2ЛХ)'".
й Пример 4. По небольшой (точечной) цели ведется стрельба снарядами, радиус поражения которых равен г„, т. е. цель поражается, если снаряд разорвался на расстоянии от цели, не превышающем величину г„, в противном случае цель остается непораженной. Рассеивание при стрельбе нормальное круговое, систематические ошибки отсутствуют. Определить вероятность поражения цели Р при п независимых выстрелах.
Решение. Веронтпость Р будет определяться как вероятность того, что хотя бы один снаряд попадет в таз. многомеРное ногмальное РАспРеделение 243 круг С,„с радиусом гв, в центре которого находится цель. Вероятность р того, что один снаряд попадет в круг С... будет р, = 1 — ехр ( — г,'/(2о»)). Следовательно, Р 1 — (1 — р()» = 1 — ехр ( — г~~п((2аз)), )ь 7.10. Многомерное нормальное распределение Перейдем к рассмотрению нормального распределения и для системы произвольного числа п с.
в. — вектора Х (Х„ Х,, ..., Х„) в и-мерном пространстве. Его плотность записывается в виде: ( (»1р ° ° р»») п» ехр — — ~, ~, йо (х( — т~) (лу — т>), ( > ) ( (7ЛОЛ) где и,— математическое ожидание величины Х, (1 1, 2, ..., и); а (1 представляет собой определитель ковариационной матрицы ((Ке(( системы с.в. (Х„Х„..., Х„)1 ~11 ~11 ''' 11» (7.10.2) К»1 «»1 " К»» йи — элементы матрицы, обратной по отношению к ко- (-1> вариационной матрице ((Ке(( системы с.
в. (Х„Х„..., Х ): й(, '> А(;!Л; (7,10,3) Ао — алгебраическое дополнение элемента Ке матрицы ковариаций. В силу симметрии козариационной матрицы (Ке*= Кя), обратная ковариациониая матрица также обладает свойством симметрии: 1.(-1> »1(-1> и = (( ° Таким образом, для описания нормального закона распределения системы п случайных величин нужно знать следующие величины: 244 гл.
х системы случАиных величии я математических ожиданий: ш„тм ..., т;, н(я+ 1)72 элементов ковериационной матрицы (ив которых я дисперсий): Ф4- (7.10.3) Напомним, что по главной диагонали ковариацнонной матрицы (7ЛО.З) стоят дисперсии случайных величин Х~ (1 1, 2, ..., и): К» Рь Если нормально распределенные с. в. (Х„Х„.. „Х„) некоррелироваины, то коварнационная матрица преврапгается в диагональную: (7Л0.4) а обратная ковариационная матрица также является диа- гональной: ~й(-п~ ю о ...
о 1/П ... О $/Р (7ЛО.5) Схедовательно, для нормально распределенной системы кекоррелированных с, в. совместная плотность (7.10.1) имеет вид' а С~ ~ . ~1 ~*Р~ ~д~ ~ 'й е 711 -ч — ехр ~- — ~ — '') ~ П ~д(л~), (7Л0,6) 1 ( 1 /а< — еЧ~а\ гда ~~(х~) — - ехр — — —; о~ ~/Р» ~г~до, ~ х ~ В етом случае определитель Ь будет равен произведению диагональных алементов: й-Р, Р, "..Р.-ПР, $1 тне. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 245 11 12 ''' 1а ~за %й $ХИ- (7Л0.7) Следовательно, подсистема нормально распределенных случайных величин (Х„Х„..., Х„) имеет совместную нормальную плотностгп 6.а,...,а(хд, ° ° ., Аа)- $ 'йч 'йч <а>(-)) 1 ехр — — йп (х) — т)) (х) — т;)~ '$"1, 1 > ~ (зн)а/й а (7Л0.8) где величина А,а, равна определителю ковариационной матрицы (7Л0.7) подсистемы (Хн Х„..., Ха) ) "ы )Г)з - Д)а К „.
)Газ ° Ф Ф ° «аа й<а> Йи — элементы матрицы, обратной по отношению к ко«ц(-1) вариационной матрице ~КЩ (7Л0.7), Мы покааали, что нормально распредаленная система некоррелированных случайных величин (Х„Х„..., Х„)' представляет собой нормально распределенную систему неааеиеимых случайных величин, так как совместная плотность системы (Х„..., Х„) равна произведению плотностей отдельных величин (Х„..., Х„), входящих в систему. Таким образом, для нормально распределенной системы п с.в. иэ некоррелированности отдельных величаи следует их неаависимость. Нетрудно докааать (мы этого делать не будем)', что любая подсистема случайных величин (Х„Х„..., Х,), входящая в нормально распределенную систему (Х„ Х„ ..., Х, „ Х„ Х„+„ ..„ Х„) (нумерация произвольная), также распределена по нормальному закону, зависящему от следующих параметров: й математических ожиданий: а(а+)> л4, в)м ..., т;, — элементов ковариационной матрицы, составленной из соответствующих элементов ковариационной матрицы системы (7ЛО.З): 24В гл, т.
систкмы слтчлвкык вкличип По формуле (7.8ЛЗ) мо>кпо определить условную плотность распределения подсистемы с. в. (Х„+„Х,+„... ..., Х„), вычисляемую прв условии, что остальные случайные величины Х„Х„..., Х„, входящие в систему, приняли определенные значения: х„х„..., х„: >э+с,:., «(х«+>~ ~ х ) х>~ «х«) /(х„..., х„)//>„„, >(х„..., х,), (7Л0.9) и> («т; — ~ й~>, '>(х/ — т/)//г(; '> (> 1, 2, ..., п), >'=1 >«> (7.10 10)э) (1=1, ...,л).
1 >->«+>" " ««>)«> ~«>г>> и (7.10.11) Условное математическое ол<идапие л>; представ«>>х> ляет собой линейную функцию (и — 1) переменных х> (7=*1, 2, ..., л; уФ >), поэтому поверхкость регрессии Х> на х„..., х> „х,+„..., х„представляет собой гиперплоскость в п-мерном пространстве. «) Введенное дая сокращения обсэиачевзэ э> ,- экзззазевт«>(« во записи з>,,(.п где Дх„..., х„) — нормальная плотность распределения системы случайных величин (Х„Х„..., Х„), определяемая по формуле (7ЛОЛ); /> „,,(х„..., х„) — нормальная плотность распределения подсистемы случайных величин (Х„Х„..., Х,), определяемая по формуле (7Л0.8). Нетрудно доказать (мы этого делать ие будем), что условный закон распределения (7Л0,9) будет тоже нормальным. В инженерных приложениях чаще всего имеют дело с условным законом распределепия случайной величины Хь вычисленным при условии, что остальные случайные величины, входящие в систему, привяли определепные значения: Х, =х„...; Х,, =х,,; Х>+,-х,.>,; ...; Х„ ° х„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
