Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 42
Текст из файла (страница 42)
1-1 1=1 Эта теорема также справедлива для любых с. в,— как зависимых, так н независимых. 7. Дисперсия сулГмы с. в. равна сумме всех элеме11тов ковариационной л$атрицы![К„$$ этих с. вл и 1 и и 0 ~ ~', ХГ~ = ',~~ ~ КО. (8.2.10) 1 1 1=11=1 и Г и 0 ~ Е ХГ~ = Х 0 [ХГ[ + 2 ~; РКц, (8.2 11) $1 1 1 1~3 Так как коварнацнопная матрица [[К„[[ симметрична относительно главной диагонали, на которой находятся дисперсии отдельных величин, то формулу (8,2.10) можно переписать в виде: 270 гл. з чпгзовыв хлэлктегдст!Пгп 'эупк!'пп где суза!прозаике во второл! слагаемом распространяется на все те элементы ковариационной матрицы, которые стоят правее н выше ее главной диагонали.
Число тания элементов равно п(п — 1)/2 = (и' — п)!2, Доказательство. Выразим дисперсгцо суммы через ее второй начальный момент: о [в гг] м[[ъ х! и[их!]]*], Применяя формулу (8.2.6), получим МЕХ!МллХЗМ =м Х х! — М(х) - М ~Х ~ ХгХ1 = Х 2'„' М (Х,Х,) = ~ ~ Кп, ь! гг=! .! !=!г=! г=!г=! что и требовалось доказать. Следствие. Если с.
в. Х„..., Х„пекорролпрованны, то справедлива теорема сложения дисперсий: в 1 в 0~~ х= „'э 0(х), г=! г=! (8.2.12) в к 0 аэ+ ~ агхг~ = ~а,'0[Х!]+ 2~Э„а,а,Кг;, (8.2.13) г=! г=! !<! где а„а„..., а„— неслучайные величины, Ко — элемент ковариационной матрицы 1К;,1 системы с. в. (Х„..., Х.). Формула (8.2.13) может быть записана также в виде: в и и 0 аэ+ ~~"„а!Х!~ ~~ ~ а;а,Ки.
(8.2,14) $=! !=!!-! т, е, дисперсия суммы некоррелированных с. в. равна сумме дисперсий слагаемых. Теорема сложения дисперсий, разумеется, справедлива и в случае, когда случайные величины независимы, так как из независимости с. в. следует их некоррелированпость. 8. Дисперсия линейной функции случайных величин определяется по формуле: за.
твогвм!ы о числовых ХАРлптггпстикАХ 271 Д о к а а а т е л ь с т а о. 11айдел! дисперсию случайной !! величины а„+ ~ а,ХО так как пря прибавлении к слу3=! чайной величине неслучайной ее дисперсия не меняется, получим 0 а,+~з~а!Х!~=0~Да!Х!!=0~~'„У!, (8215) 1=! в=! ) !=-! по т~оо! = М [У;] = М [а;Х!] = аоЧ [Хо]; т~[о~ — М [Уз] = М [а,Х;] = а,М [Х,] и формула (8.217) дает о о К!",! М [а,(Х! — т!) а; (Х! — т;)! и!а;Ч [Х;Х;] = а!а!К!оч пз (8.2.16) следует, что о и !! 0 а„+ ~ а;Х! ~ =0~~ а!Х!~ = ~0[а!Х!]+2~' аоа,Кп о=! ~ $=! 1-! $<1 плп, окончательно, вынося а, за знак дисперсии, по- лучаем о о 0 ао+ 2' а!Х!~- ~ ! ! а!'0[Х;! + ~ ~ а!а,КО, 1=!3-! ! ! и формула (8.2 13) доказана.
Из формулы (8.2.13) следует, что если случайные величины Х„..., Х„пекоррелировань! (Ко=О при ! ть!), то дисперсия их линейной функции вычисляется где У, = а,Х, (! 1, ..., и). Применяя к правой части (8.215) теорему о дисперсии суммы (8.2.10), получим: и !! и п 0 а, + ~ а;Х! ~ = ~~.", 0 [У!] + ~;Е К!!,"', (8.2.16) о-! о=! о=!! ! (Фмп где Кп — корреляционный момент случайных величин (о) У„У,. По определению, К!!о,'' = М [У!У!] = М [(У! — и!оо') (У! — т)о') [, (8.2 17) 2тз Гл. з, числовые хАРАктеРистики Функции по формуле и и 0 а + ~ агХ;~ = ~ а';0[Хг], (8.2.18) г=г 1=1 9. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс их ковариация: М!Хг'Хг1 М [Хг]М [Хг]+ Кгг (8 2.19) Доказательство.
Будем исходить из определения ковариации: в о Кгг М [ХгХг] М [(Хг — т,) (Х вЂ” тг)] = М [ХгХг — тгХг гпгХг + тгтг] (8 2 20) гдепгг М [Х,[; тг М [Х,].Применяя теорему сложения математических ожиданий и вынося пе случайные величины ти т, из-под анака и. о., получим Кы М [Х,Х,] — пггМ [Х,] — пггМ [Х,] + пг,пгг = М [Х, Х,] — М [Х,] М [Х,], (8.2.21) откуда следует доказываеман формула (8,2Л9). Формулу (8.2.21) часто применяют для вычисления ковариации. Полезно запомнить ее словесную формулировку: ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведения минус произведение математических ожиданий. Следствием этого правила является широко применяемая формула, выражающая дисперсию одной случайной величины Х, через ее второй начальный момент: 0 [Х,] — М ~Хг] — (М [Х,])'. (8.2.22) Действительно, 0[Хг] = Ккд применяя формулу (8.2.21), получим (8.2.22).
Если случайные величины Х„Х, некоррелированы (Кгг = 0), то формула (8.2Л9) дает: М [Х1Хг[ М [Х11 М [Хг1 то есть математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Это положение называют теоремой умножения и атем а т ич ее к их ожиданий. 2ТЗ З.З.
ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ Теорема умпоя1епия и. о. обобщается н па произвольное число сомножителей, но в атом случае для ее применения недостаточно, чтобы величины, образующие произведение, были некоррелнрованы: требуется, чтобы обращались в нуль и некоторые высшие центральные смешаппые моменты, число которых зависит от числа сомножителей. Не останавливаясь па подробностях, сообщим, что этн условия заведомо выполнены при независимостии сомнол1птелей, В атом случае: М ~ Ц Х1~ = Ц М [Х;), (8.2.24) т.
е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их мател1атических ожиданий. Формула (8.2.24) легко выводится пз (8.2.20) методом полной индукции. Формула (8.2.24) означает, что для независимых случайных сомножителей апак математического ожидания М и знак произведения П можно менять местами. 10, Дисперсия произведения независил1ых случайных величин Х„Х„..., Х„выражается формулой п '[ ч ч 0~ЦХ1~ = Ц(01+ т';) — Ц1п';, (8.2.25) 1=1 1=1 1- 1 где 0; = 0 [Х 1; п11 = М [Х11, Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению дисперсии: 0 ЦХ, =М ЦХ1-М ЦХ, Возводя в квадрат и применяя формулу (8,2.24), получим: 0 Цх, М Цх — 2Пт Цх, + Цт1 К етому выражению применим формулы (8.2.9) и (8.2.24): В[Пх~ м[[Пх) [ 1[П.,)[П.1),[П.,), 274 Гл.
8 числовые хАРАктеРистики Функции / и '12 и Так как ] Ц Х1~ = Ц Х и М ] ПЛ'-;) = Ц М [Х1] = г=1 г=1 1. 1=1 1=1 и Г.и 1 и «' и 2 = Ц(Р! + т,'), то 0~ ПХ1]~ =Ц[Р!+тг) — 2[Цт!) + У и 12 + ] П т;), что и требовалось доказать. !=1 Формулу (8.2.25) можно записать через вторые начальные моменты: и ч и и 0 ~П хг~ = П «11 (х!] П игь 1-1 1=1 1=1 где «2,[Х11 — второй начальный момент с. в, Хи При и = 2 имеем 0 (Х,Х,] = Р,Р, + Р,т. '+ Рзт', Если с.в. Х„Х„..., Х„независимы и центрпрованы (т,=О, 1=1, ..., л), то 0 ЦХ; =0 ЦХ, =ЦРК (8.2,28) 11. Числоеьге хирактеристики еекторлой суммы случайных величии. 1'ассмотрпм два и-згерпых вектора: иг Хсо с составляющими Х«,'1, Х!1! Х!11 !21 Хг, „Х и Х с составляющпмп Х,, Х,, ..., Х„', т Векторной суммой двух п> мерных случапных векторов Х'" и Хио называется и-мер- 2«7 случайгяый вектор у х х = Хси + Х'", 1-я составляющая которого равна сумме 1-х составляющих случайных векторов Хсо и Х"'1 Уг = Х!" + Х[2! (1=1, 2, ..., л).
(8.2.27) На рпс. 8.2.1 дана геометрвческая интерпретация вектор- х«г г хо 2 при и=3 0 (Х1Х2Хз] .РГР2Рз + Р,Рзтз + Р,Рзтг + Р2Р,т! + + Р,тпгт, + Р,т,!и, + Р,тп,т,. 2 2 2 2 2 2 й 2 ТЕОРе>1ы О '1исловых хлРлкте»Ч1стнклх 275 В соответствии с определением дисперсии н с учетом теоремы о дисперсии суммы получим выражение для дисперсии 1-й составляющей случайного вектора У: Р'ю = К("> = Ф~ + П(ю + оКПх'), (8,2,30) где П';"- 01(Х';1>1, В,'" = 0 ((Х(12>)1. 12, Числоваге характеристики случайного вектора У, равного сумме двух пекоррелировапных п-мерных случайных векторов Х'и (с составляющими Х',", Х(,", ...
° ° °, Хл ) н Хол (с составля»ощнми Х",>, Х.,">, ..., Х(„"), определяются по Формулам: т(2> т<1) + т<й> т» =лг» +и», )у(й) П(1> + р(й> К((Р М (Х(1)Х(1)) + М (Х(2)Х(й)) К(1) + К<2) (8.2.31) т. е. математическое ожидание У» — г-й составляющей ной суммы двух случайных двумерных векторов на плоскости х,Ох,. Числовые характеристики к-мерного случайного вектора У равны: тю = М [У) = М(Х<" + Х12>1 = т("+ т",>, (8 2 28) где т(»'> = М [Х;"], т(1" = М (Х(» )> (1 = 4, 2... „п).
Элементы коварнацнонной матрицы ((Кн () случайного <'2) ' вектора У определяются следующим образом: о а М ( й (1)Х(1)) + М (Х(1)Х(2)) + М (Х(й>Х<1)) + М (Х(2)Х(2)) — К(1> + К(1)<2> + Кой<1) + К<8>. (8 '> 70) и Ц »> Применяя свойства коварнацин К», = Кн, получим: (2) (2) К(1)(2) ) К(г)(1) К(1)(й) + К(7>(1) (8 2 2У) и »1 = >» >» 276 гл, з, числовыв хлглкткгистики Фгнкцпп вектора У вЂ” равно сумме математических ожиданий соответствующих составляющих векторов Х'о и Х'*', дисперсия случайной величины У, равна сумме дисперсий этих составляющих, а ковариация составляющих У, и У, случайного вектора У равна сумме козариаций составляющих Х(п и Х(, вектора Хсч и составляющих Х; и (и ,о (ю Х(гю вектора Х"'. Доказательство формул (8.2.3() следует непосредственно из формул (8.2.28) и (8.2.29), так как длн некоррелированных векторов Хне и Хоэ Ки О ((, ) ((хю =1,2, ...,п).
Так как сумма двух квадратных матриц порядка я равна квадратной матрице того я(е порядка п, у которой элемент матрицы равен сумме соответствующих элементов суммируемых матриц, то имеет в(есто равенство 1 КВ'!!- 1~ К8'1+ 1~ КЯЪ Это равенство называется теоремой ело(кения коза рнационпых матриц: ковариауноннан магрица суммы двух некоррелированных случайных векторов равна сул(ме ковариауионных магриб слагаемых. 8.3. Применение теорем о числовых характеристиках к решению инженерных задач Зная свойства числовых характеристик, мы можем решить ряд общих задач, о которых уже упоминалось ранее. Задача т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
