Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Коэффициент корреляции линейно зависимых случайных вел и чин. Случайная величина У связана со с.в. Х линейной зависимостью (8.3.!) где а и Ь вЂ” неслучайные вели швы. Найти коэффициент корреляции г с.в. Х и У. Р е ш е к и е. По определению г„„ = К,„/ (о„о„), где К., — ковариация с.в. Х и У, о„, а„— их с.к,о.
Най- з.з. НРиыененне теОРем О ЕАРАктеРистикАЕ 277 а а а дом ковариацию: К Р вЂ”вЂ” М [ХУ); с.в. У вЂ” У вЂ” щ„= аХ + а + Ь вЂ” М [аХ + Ь[ = аХ + Ь вЂ” ая,, — Ь = а (Х вЂ” л7„) = аХ. Отсюда а а а К„„= М [ХаХ) = аМ [Х) = аР . Дисперсия с.в. У равна: 0 [аХ + Ь) Г)[аХ) = ааР» Р„; оз [а [о„. Находим коэффициент корреляции г.„: ай„ао„- а оаоа [а [оаа ! а Г то есть — при а(0, 0 при а — О, при а) О.
(8.3.2) Функция, обладающая такими свойствами (быть равной 1 при положительном аргументе; -$ при отрицательном и пулю при нулевом) в математике обозначается «з[япл» (асигнум икса): — [ при х(0, 0 при л = О, (8.3.2') при х) О. З[ЯОХ= Таким образом, (8.3,4) [г [~1. г.„- и!ИО а. (8.3.3) Мы доказали, что козффициент корреляции с.в. Х и У, связанных линейной зависимостью (8.3Л) равен +$ при а ) 0 (то есть, когда при возрастании Х величина У тон<е возрастает); равен — 1, когда а(0 (при возрастании Х величнпа У убывает) и обращается з нуль, когда а = О, т.
е. линейной зависимости ыежду Х и У не существует. [Р Задача 2. Границы измене ни я к о эф ф и циента корреляции. Доказать, что для любых с.в. Х и У коэффициент корреляции по модулю не превосходит единицы: 273 Гл. 8. 'и!с'ювые хАРАктегпстини сункш1п Р е ш е н и е, Рассмотрим с. в. 2 = о„Х ~ о.у, где о„, о„— с.к.о.
случайных величин Х и Г: о. = 'щ; о„= уб„. Определим дисперснто с.в. Я. По формуле (8.2.13) для дисперсии линейной функции с.в. Х п 1' найдем: 0 [2] = о'„Р„+ о„'.ААУ ~ 2о„о„К„, - 2о',о', ~ 2о,о,К„„. Так как дисперсия случайной величины отрицательной быть пе может, то 2о,'о„' ~ 2!т„о„К„„> О 'или о„о,и:К >О, откуда ]К.„] <о„ое а следоватольпо, ]г.] ~"1'. ~ Задача 3. Математическое он! ила и и о числа появлений события в серии опытоа. Производится серия из п опытов, в кан!дом из которых моя!ет появиться илн не появиться событие Л; вероятность появления события А в 1-и опыте равна рт (! = 1, 2, ..., и); с.в.
Х вЂ” общее число появлений события А в серии из и опытов. Найти м.о. случайной величины Х. Решение. Представим с.в. Х в виде суммы п слагаемых: Х=~У1, где К вЂ” индикатор события А в 1-и опыте: 1, если событие А в 1-и опыте появилось, Пт= О, если А не появплссь. По теореме сложения математических откпдаппй: М [Х] - ,'„"М]П!]. 1=1 Но в п. 4.2 мы показали, что м.о. индикатора события равно его вероятности в данном опыте, т.
е. М [П!] = р! откуда М[Х]=~ рн (8.3.5) 1=! т. е. хи!тел!агичвсеов олсиоат!ие числа появлений события з 3 пгименкние твогем О хьглктегистиклх 279 в и опытах равно сумме всех вероятностей его появления в отдельных опытах. Специально отметим, что формула (8.3.5) для м. о. числа появлений события применима к л ю б ы и о и ытам — как а а виснмым, так и нева виси мы м. Задача 4. Математическое аж и дание и дисперсия числа появлений события в серии независимых опытов. Проводится и независимых опытов, в как<дом из которых может появиться или не появиться событие А; вероятность его появления в 1-м опыте равна рь Найти м.о.
и дисперсию с.в. Х— числа появлений события А. Решение. Снова представим с.в. Х как сумму индикаторов события А в отдельных опытах: ь Х= ~~ 5'и $ ! где 1, если в 1-м опыте событие А появилось, О, если А пе появилось. Найдем дисперсию с. в. Х, выраясепной суммой (8.3.6), по теореме сложения дисперсий: ь О(х) - Х 17((7). 1=1 Но мы в п. 4.2 показали, что дисперсия индикатора событиЯ А в 1-м опыте Равна Рл7ь где д, = 1 — Рь отсюда (й(х) 1=1 (8.3.8) Итак, в серии независимых опытов лизтематическое ожидание числа появлений события равно сумме вероятностей его появления в отдельных опытах, а дисперсия числа появлений события равна сумлье произведений вероятности появления на вероятность непоявлепия события в отдельных опытах. Так как опыты независимы, то независимы и все случайные величины Уо У„..., 0„.
Формула (8.3.5) сохраняет силу: м(х)=~ р,. (8.3.7) 1=1 28О Гл з числОВые ХАРлктеРистини Фуяция В частности, когда вероятность появления события во всех опытах одна н та вге: Р1=Р1= =Р = =Рп=Р, то М [Х] = пр; 0 [Х) = лро, (8.3.9) а зто — уже анакомые нам числовые характеристики с. в. Х, имеющей биномиальное распределение с параметрами л и р, которые мы вывели иным способом в п. 5.1. й Задача 5. Математическое ожидание и дисперсия числа появлений события в серии вависимых опытов. Производится серия из и аависимых опытов, в каждом нз которых моя1ет появиться илн не появиться событие А; веролтность его появления в 1-м опыте равна Р;, вероятность его совместного появления в 1-м и у-м опытах равна Ро (в общем слУчае ДлЯ аависнмых опытов Реть р,Р,). Найти и.о. и дисперсию числа Х появлений события А во всей серии опытов.
Решение. Формула (8.3.5) для М[Х] сохраняет силу; М[Х] =,'з Р. 1 1 Чтобы найти дисперсию 0 [Х] применим н с.в. Х = и ~ (1'с где К вЂ” индикатор события А в 1-м опыте, тео1=1 рему о дисперсии суммы: н 0[Х] = ~ 0[[г1] + 2 у', Кн, (8.3.10) 1=1 . 1<1 где Ке — ковариация с. в. У„У1. Выразпм коварвацию через м.о.
произведения (см. формулу (8.2.19) ): К„-М[С; Сз] — М[5,]М[и;]. Случайная величина сг1 сг1 имеет только два возможных значения: 0 и 1; она равна нулю, если хотя бы одна из величин 111 или У1 равна нулю, и равна единице только если У1 = 1, У1 1, то есть н в г-м, и в [-и опытах событие А произошло: М[ЯД1] = 1 Рп =Рн, 88.
ИРименение теоРем о хАРАктеРистикАх 28! откуда йо = Ро Р р>. Подставляя в (8.3ЛО), получим: п 0 [Х) = ~ р>д>+ 2 ~~Р~ (РП вЂ” р>р)) (8.3.10') 1=1 1() В случае, когда опыты независимы, Ро = р,р>, и формула (8.3.10') переходит в уже знакомую нам формулу (8.3.8). Рассмотрим частный случай, когда все опыты производятся в одинаковых условиях: Р> Рь '' р =р Ро сова! =Р.
Тогда М [Х! = пр, а формула (8.3ЛО') дает: 0 [Х) = пр>)+ (и — 1) п(Р— р'), (8.3.11) где >) = 1 — р, Р— вероятность появления события А ораву в двух опытах — все равно, каких. [ь Задача 6. Математическое ожидание и дисперсия с.в. Х, имеющей гипергеометрическое распределение (п. 5А). Р е ш е н и е. Напомним, в каких условиях возникает гипергеометрическое распределение: производится вынимание и шаров из урны, в которой а белых и Ь черных шаров; случайная величина Х вЂ” число белых шаров среди вынутых: Р Р(Х = >и) = СаСь >>С +ь (О(пь (а).
Рассмотрим и вниманий шаров как и зависимых опытов, производимых в одинаковых условиях. Вероятность события А =(появление белого шара) во всех опытах одна и та же и равна р =а/(а+ 6). Согласно решению предыдущей задачи М [Х[ = >гр = па)(а + Ь). (8.3Л2) Найдем дисперсию с.в. Х по формуле (8.3.11). Вероятность того, что любая пара шаров будет белой, равна а а — ! Ь Р а+Ь а+Ь вЂ” Р а+6 и формула (8.3.11) дает: а 6 а а — ! > а 0 [Х) = и.— — + п(п — 1)[— а+Ьа+Ь [а+Ь а+Ь вЂ” ! ~а+Ь/ з+ п(п — 1)[! +ь)[а+ь — ц (а+Ь) 1. (8.3.13) 2е2 Гл. г. '!исчовые хлглктеРистики Функций В и.
5.4 мы уже приводили эти формулы для м.о. и дисперсии гнпергеометрического распределения. $ Задача 7. Математическое ожидание и дисперсия среднего арифметического из и независимых наблюдений ел у ч а й пой в ел и чины Х. Имеется с.в. Х с м.о. т. в дисперсией 1а.; над ней производится и независимых наблюдений, давших результаты Х„Х„..., Х„(п »экземпляров» с.в. Х).
Вычисляется их среднее арифметическое: л У- — ',~',Х 1=1 Найти м. о. и дисперсию с. в. 1'. Решение. По формуле для м.о. линейной функции (см. формулу (8.2.9) ) находим: М [з'[ — М ~ л. Ха~ — У. па„— т, т„(8.3.14) а 1 1=1 то есть м.о. среднего арифметического иг п независимых наблюдений с.в. Х равно ее м.о.
т„. По теореме о дисперсии линейной функции (см. формулу (8.2.13) ) ! л!з !т„ 0 [)'[ = — »,)' 0 [Х!) = —,* — ", (8.3.15) л аа то есть дисперсия среднего ариьбметического из и низависимых наблюдений с.в. Х в и раз меньше дисперсии самой с. в. Х. Отсюда о„= о„/уп, (8.3.16)' то есть при увеличении числа опытов и с.к.о. Кх среднего ари4аметического уменьшается обратно пропорционально уп. Задача 8. Математическое ожидание и дисперсия частоты события при и независимых опытах.
Производится п независимых однородных опытов, в каждом из которых может произойти илп не произойти событие А; вероятность события А во всех опытах одна и та аке и равна р. Случайная величина рь — частота событий А, то есть отношение числа Х появлений события в и опытах к общему числу В 3 ПРИМЕПЕППР ТЕОРЕМ О ХАРЬКТГРИСТИКЬХ 2ЗЗ ОПЫТОВ П р* = Хlп.
(8.3Л7) Найти м.о. и дисперсшо случайной величины р*. Решение. С.в. Х имеет бииомиальпое распределение с параметрами и, р; ее м. о. равно и„.= пр; ее дисперсия В. = пру, где д = 1 — р. Из формулы (8.3.17) следует, что М (ра) М [Х)~п = пр(п = р, (8.3.18) т. е. м.о. частоты события в и однородных опытах равна вго вероятности в одном опыте. Находим дисперсию () (р") = () (Х~~п« = прд7п» = рд(п, (8.3Л9) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
