Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Решение. По формулам (8.4.27) и (8.4.28) находим ь — и )81 а -[- Ы0,5 — Ф (ть)) = а [Ф (т,) + 0,5) + т, [Ф (ть) — Ф (т,)[ + + — "[е ~а/~ — е 'ь/'1+ Ь[0 5 — Ф(ть)), (84.34) где т, =(а — т„)1ах; тЬ вЂ” (Ь вЂ” тх)1ох; = еа [Ф (та) + 0~5) + (пх + жх) [Ф (ть) — Ф (та)[ + [ -х /а -хь/а~ + х х [ -х /8 -хь/81 + '$~2д + Ь' '0,5 — Ф (ть)) (8 4 32) Если участок (а, Ь) симметричен относительно точки т„и двина его равна 2д, то мх ~~а+ д х ~~х ть о„ о„ д а — т„д т[та = о„ ' а о„ о„ -т, В атом случае т„= т„, о Рвс. 8.4.4 2оа а, [У[ = т~ + гьа+ 2(о„' — Д') Ф(т) — =* те-' 1', 2л 0 [У[ аа [У[ — т'„Эе(т) а-хаЧ 1 П, т'+ 2(1 — т')Ф(т) — 2т'=~, (8,4.33) ~/2я ~ 293 Гл.
3, числОВые хАРАнтеРистики Функции Прп т- 0 (о - 0) мы в пределе имеем дело с идеальным стабилизатором напряжения: У- т, и Р„- О. Прк (й - ») никакой стабилизации напряжения не будет: У Х и Р„=Р„. На рис, 8.4.4 показан график зависимости (8.4.33). о» 8.5. Числовые характеристики суммы случайного числа случайных слагаемых Задача 1.
Случайная величина Я представляет собой сумму случайного числа случайных слагаемых. (8.5.1) где Х< (1=0, 1, 2, ...); У вЂ” случайные величины, Х, 0 — не случайная величина. Случайная величина У не зависит от слагаемых Х„имеет характеристики лоо и Р„ и может принимать целочисленные значения О, 1, 2, ... ..., й,:, система с.в. Х, (1 1, 2, ...) имеет характеристики: м.о; поо (1 1, 2, ...) и ковариационную матриГо о1 цу И?В1: Кп М~Х~Х;) (1, 1 1, 2, °,.).
Если в сумме нет слагаемых (У 0), то она равна нулю потому что Хо 0 (яоо 01 Ро 0), Найти числовые характеристики с. в. Я: по, и Р,. Решение. Пусть нам известен закон распределения с.в. У: Р(У=й) =ро (й 0,1,2,,. ). Рассмотрим гипотезу, состоящую в том, что (У к). Условное математическое ожидание случайной величины Я при этой гипотеае будет: М [2[У й[ М ~~ Х 1 ~ М [Х,[ = ~.", ио (8.5.2) о<о 3 оо $ о По формуле полного математического ожидания '(8.1.20) получим: ~а а / А ло, М[2[ ~ч~~ М[2[У 'л[ р ~ ~Д т~ ро, (8,5,3) о о о о о=о О.О хАРАктвРистики суммы случАЙКОГО числА 299 Если с, в. Х< (при 1) О)' распределены одинаково, то по< = ло„(1 1, 2, ...) и выражение (8.5.3) примет вид: хо / О О< <Ф в<О Х 1Х Лох~ РО = Х [«Г<хРО= жх Х йРА = Глктт, О=о <-О О-о О-О (8.5.4) Особо отметим, что формулы (8.5.3)' и (8.5.4)' справедливы как для зависимых, так и для независимых с.в.
Х< (1=1, 2, ...). Аналогично найдем второй условный начальный момент случайной величины Е аз[Я['Г =Ц = М [Ух[У = 5) М ~~" Х, О=о М ~2'"„Х< ~ Х; = ~ ~ (т< т~ + Кц), (8.5,5) Откуда, по формуле полного и. о., 00 с<О[Я[=М[Я~) = ~~Р ~М[Я'[Г й[ р х< Г О О ~2~ ~~ ~ (т; т + Кн) ры (8.5 8) А О < О<=О Если случайные величины Х< (О = 1, 2, ...)' некоррели- рованы, то Ко = 0 при 1 Ф у; Ко = Ро В этом случае ю Г О О О с<О [Я! = ~~", ~~ ~ т<т;+ ~ )7< ры (8.5,7) А=о <=о<=о <=о Если случайные величины Х, (< = 1, 2, ...) одинаково РаспРеделены и оДинаково коРРелиРованы Ге = Г, то М [Х<) = во< = лох; 0 [Х<) К<< = В~; КЦ Кх ГРх (1 ЧЬ <), В этом случае: а,[г[ Я[.й' 4+ й77„+ й(й — 1)ЮГР„- А-О ио [У) о<„' + той„+ (ио [)'[ — т„) ГРх.
(8.5.8) зоо Гл. з. числовыв хАРАктв»11стики Фуикцип Дисперсию случайной величины Я найдем по формуле: .Р, 0 [Я[ а, [Я] — и, '- т«/)» + т»0 + гВ„(а«[)'] — т„). (8.5.9) Если случайные величипы Х, (1=1, 2, ...) одиг.аково распределены и векоррелированы, то А), и„'Ов + т«В„ (8.5 10) Рассмотрепкая задача имеет большое практическое значение. й Пример 1. Рассматривается работа вычислительного цептра (ВЦ), в который ен«есуточпо вводится случайное число У информационных документов (ИД), распределеипое по закону Пуассона с параметром а (тв Рв= ° а).
Каждый ИД содержит случайное число знаков Х, которое ие зависпт от того, сколько имеется знаков в других ииформациоппых докумептах. Известпы М [Х] = т, и Р [Х] *Р„. Определить м.о. и дисперсию числа знаков Я, вводимых в ВЦ в течение суток. г Р е ш е и и е. Очевидно, что 2 Х Х;; по формулам «=в '(8.5.4) и (8.510) получим: и, а т;, (8,5.11) О, а(т„'+ Р„)) (8,5,12) Например, если а и„= Вв = 100 (ИД), и. 500 '(аваков), о.
УК 100 (знаков), то т, 100 500 = 50000 (злаков); о, Уб, У 100(25 000+ 10 000) ж 5090 (аиаков). Заметим, что если коэффициепт вариации числа аиаков в ИД разек о,/и, 0,2, то коэффициент вариации числа знаков, вводимых в ВЦ в течение суток, будет о./т, = 0,102, т. е. велпчипа 2 су1цествеппо «мепее случайна», чем Х.
[э Пример 2. Анализируется работа по паладке сложного электроппого прибора (ЭП), которая проводится в несколько попыток. Ка»кдан попытка наладить ЗП завершается успехом с вероятностью р независимо от того, сколько до этого проводилось таких попыток и как долго опи длились. Длительность 1-ой попытки наладить ЗП 8.». ХАРАКТЕРИСТИКИ СУММЫ СЛУЧАЙНОГО ЧИСЛА 3С[ есть случайная величина Т~ с характеристиками М [Т1! т и 0[Т;! [7 (1 1, 2, ...).
Случайные величины Т< независимы между собой и не зависят от числа попыток наладить ЭП. Требуется найти математическое ожидание и дисперсию времени Т, затраченного на наладку ЭП. Решение, Очевидно, что время Т будет равно: У Т=~ Ть 1=1 где случайная величина У имеет «геометрическое +1» распределение: и„ = 1/р; 77„ = с/р». По формулам (8.5.4) и (8.5 10) получим: М [Т,' т)р, [) [Т! = Л» 9!Р + РР.
(8.5 13) (8.5 14) Р [Т! 2' — *. + — 1 = 10(час') о,ь сь» 05 с[Т! = У'0[Т! = 'У'10= 3,16(час). ~ Рассмотрим еще один пример, связанный с суммой случайного числа случайных слагаемых. Пример 3. За время пролета космического летательного аппарата (КЛА) в окрестностях кометы он подвергается «бомбардировке» различными частицами, образующими «атмосферу» (кому) кометы. Частицы в атмосфере кометы образуют трехмерное пуассоновское поле точек с параметром а(Ь) а,/Ь, где Ь вЂ” расстояние от КЛА до поверхности кометы.
Каждая частица имеет случайную массу С, распределенную по закону Релея (7.9.26) с математическим ожиданием я, Энергия соударения частицы с КЛА равна Св»/2, где и — скорость пролета КЛА в атмосфере кометы, которая считается постоянной. Вероятность р того, что частица, попавшая в КЛА, пробьет его защитную поверхность, равна вероятности того, что энергия ее соударения с КЛА Так, например, если вероятность наладить прибор в одной попытке р 0,5, а т=2 (часа); с У0 ° 1 (час), то М [Т! 2/0,5 = 4(часа). «л. ХАРАктеРистикн суммы случьпного»1ислА 303 Так как» = 0 — начало полета КЛА, то ь,т'+ ь, ~'ь,ь,' Найдем величину р ~сР ~ Р(~ 2Р~ 1 Р~б та) 1 — ехр (- Я Д2᫠— )) 1 — ехр ( — р«л/(л«о»)), (8.5.15)' где л — м.
о. массы частицы. По формулам (8.5.4) и (8.5.10)' получим: М[2) =ар; [)[Я] = р«а+ рйа ар(р+ д) ар, т. е. М[2] 0[7!. В следующей гл. будет доказано, что с.в. Я вЂ” число пробоин на защитной поверхности КЛА распределено по аакону Пуассона, поэтому М [2] 0 [Я]. ~ П р и и е р 4. Рассматривается формирование железнодорожного состава, состоящего из грузовых вагонов. Число вагонов в составе у случайное с параметрами л«„200 и с„=8. Вес перевозимого 1-и вагоном груза является с.в. Х» с характеристиками л»„50 (тонн) и о 3 (тонны). Найти характеристики (м.о.
и с.к.о.) веса Я, перевозимого составом, если вес груза каждого вагона не зависит от веса груза других вагонов. Решение. Очевидно, что т Я ~Х», «-« По формулам (8.5.4) и '(8.510) находим: М [Я] ° т, т, т«10000 (тонн)„ 0 [2] 50«64+ 1800 161800 (тонн )„ с [2] 402,2 (тонн). По «правилу трех сигмаз находим практически возможный диапазон перевозимого составом грува: т, ~ За, 10000 ~ 1206 (тонн). оеэ гл. з. числовьш хАРАктеРпстт!1си ФУпкппп Задача 2.
Случайная величина Е определяется через случайные величины У и Хо (1 О, 1, 2, ...) следу 1ощим образом: ооп1У,а) г- Х Х, (8.5.16) 1 О где У вЂ” целочисленная случайная величина, независимая от случайных величин Хо (1=1, 2, ...); с. в. Х~ представляют собой систему независимых одинаково распределенных случайных величин, Х, 0; а > 1, целое; задан закон распределения случайной величины У и числовые характеристики случайной величины Хл т„и Р, (1>0). Требуется найти числовые характеристики случайной величины Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
