Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 50
Текст из файла (страница 50)
10. Так как гамма-распределение при и= 1 превращается в показательное распределение с параметром )ь (см. п, 6.4), то для с, в. Х„получим характеристическую 8.8. ХАРАктеРпстичсс!«Ая «ьу!«кипя звт функцию в виде: О«о(1) = (8.9.24) Пример 2. Для случайных величия, фигуриру«ощих в пунктах 1, 2, 5, 6 примера 1, найти числовые характеристики с помощью аппарата характеристических функций.
Р о п«е и и е. 1. 0(!")(О)'(ь — — (о+ ре!«),'«о ]ь;= ре" [«=о — — р = М [Х«1. е«А Следовательно, М[Х,] = М [Х«1= Р' [У [Х«] = Р— Р = Рд' О,'(0) е 2 о, = †,,„,(0 + ре ) ]«=о = п(«) + Ре')" ' Реи 1«=о пР = М [Хо]; [и(п — 1)(д+ ре!) 8(ре «) + + п [д + Реп )" ' Ре" )] [«=о — — и (и — 1) Р + иР = М [Х,1. [) [Х ] = М [Хо~ — (М [Х ])' = п р' — ир' + пр — п р'=пру.
8 д (О) 1 «(«Ьаиь >аоио) (онь оиа) ~ «' (ь — ) «о («=о = (раскроем пеопредиченпость 0«0 (при (-ьО) по правилу Лопиталя) = , 1 Х (Ь вЂ” а) «Ьень «аепа + «[(«Ь)о е««ь (!а) о««а] («вонь !аепа) [ Х Ь вЂ” а Ь+а = — =М[Х]. 2[Ь вЂ” а) 2 о Апалогнчпо находим [) [Х,] = М [ ХЯ вЂ” (М [Х,])' = (Ь вЂ” а)912. 4. Оо(0)Д 1 ' [ехр(«(т — (ооо)2)(«т — (оо)]! о = т=М[Х,]; 333 Гл.
8. числовыв хАРАктеРистики Функции 0,(0)(гч = 1 ~ (ехр(!!гя — 88сг'/2) (8т — йт')8 + + ( — от) ехр (гйт — 88ог/2)) ),, = тз + ог = М ~Х,'~; О(Х,) =М[ХД вЂ” (М(Х,)) =о. ~ 8 10. Метод линеаризации функции случайных величин Выше в атой главе было показано, как, зная закон распределения случайных аргументов, мокшо находить числовые характеристики функций зтих аргументов. Во многих случаях мо8кпо обходиться даксе без законов распределения случайных аргументов, а пользоваться только аппаратом числовых характеристик и находить чпсловые характеристики функций (м.о., дисперсиго, другпе моменты) как функции числовых характеристик аргументов.
Особенно простые соотношения существуют между числовыми характеристиками функций и числовыми характеристиками аргументов в случае, когда эти функции являются линейными. В инженерной практике очень часто встречаются такие функциональные зависимости, которые, будучи нелинейными, могут быть приближенно заменены линейными в диапазоне возмоншых аначепий случайных аргументов. Например, сопротивление схемы, изображенпойг на рис.
8 10.1, определяется по формуле 11 = ЛЛЛ.1(НЛ8+ ЛЛ. + 112йэ) (8.10.1)' и представляет собой пелинейну|о функцию: Й <р(П„ЛИ Л,). 8, Однако такую нелинейную фупкРяс. 3ЛОЛ цию мол<по приближенно заменить ли- нейной (лниеари зоват ь), если диапазон возможных аначепий аргументов мал. В конкретном приборе сопротивление можно представить в следующем виде: у) г+ЛЛь где г< (1 1, 2, 3) — м.о. Случайной величины г1, (поминальное значение сопротивления Й,); ЬЛ; — ошибка изготовления сопротивления Нь 8 10 ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВБЛИЧИП 329 Зтн ошибки, в зависимости от точности иаготовлепия, колеблются в диапазоне нескольких процентов от поминальпых значений, и величину 11 в формуле (8.10.1) можпо приблия(еппо заменить линейной функцией с.в.
Л( = г( + стВ, (1 = 1, 2, 3) . Динеаризацией функции называется приближенная замена нелинейной функции линейной. Заменив нелинейную функцию случайных аргументов линейной, мы получаем возмоя(ность находить числовые характеристики функций по числовым характеристикам аргументов. Метод липеаризации функций случайных аргументов находит широкое применение в различных ияя(еперпых аадачах при определении числовых характеристик различных параметров работы приборов и механизмов, находящихся под воздействием случайных возмущений. Рассмотрим сначала задачу липеарпзацпи функции одного случайпого аргумента: У = (р(Х), где Х и у — непрерывные с.в.
Из курса высшей математики известно, что л(обая непрерывная дифферепцяруемая функция у =(р(х) может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности точки а: (8.10.2) где — Ф'( (; —,, ! -З( (. (А(О.З( С математической точки зрения ликеаризация функции одного случайного аргумента у =(р(Х) есть приближенное представление этой функцин первыми двумя членами рида Тейлора; при атом разложение проводится в окрестности точки т, = М (Х).
Зто приблиягепяе будет тем точнее, чем меньше диапазон возможных значений случайного аргумента. Применяя такую приближенную замену нелинейной функции у =(р(х) линейной, получим у = (р(х) = (р(т,)+(р'(т„) (х — т„), Такое же приближенное линейпое соотпошенпе связывает 330 гл. 8. Числовые хаРактеРистики Функций и случайные величины У и Х: У = ~Р(т„)+ 1Р'(т„) (Х вЂ” т.) (8.10.4) кли У- ~р(т.)+ ~р'(т„)Х. Выводя эту формулу, мы перешли от случайных величин Х и У к неслучайным х и у, так как, строго говоря, по случайной величине двфференцяровать нельзя. В дальнейшем мы иногда позволим себе не быть столь строгими, и переход от случайных величии к не случайным будем подразумевать пря вычислении производных.
На рис. 8.10.2 дана геометрическая интерпретация линеаризации функции одного случайного аргумента. Линеаризовапная функция р = <р(т„)+ <р'(т„) (х — т„) есть Р=)Р07/,)+ ~а гп1 )(л-ш ) Рве. 3Д0.3 не что иное, как уравнение к а с а т е л ь н о й к кривой у =ф(х), проходящей через точку К с абсцпссой и, и ординатой 1р(т„). Линеаризация состоит в том, что участок кривой у(х) для диапазона хж(а, р) приближенно ааменяется отрезком касательной. Если такая аамепа нелинейной функции у(л) линейной 1р(л4)+1р'(т„) (х — и.) удовлетворяет нас по точности, то мы можем произвести линеаризацию зависимости между случайными величинами У и Х, т. е. заменить ее линейной: о У = 1Р(т„)+ 1р'(т,) Х и найти числовые характеристики — ж„и 1)„— случайной величины У так, как зто дела)от для линейных функций (см.
формулы (8.2.9) и (8.2.18)): т„= М [У) М [1р (Х)) — 1р (л)„), (8,10.5) й„- [) [У) [1р'(ж,))'0„, (8.10,6) 830. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 331 откуда (8.10.7) с„!<р'(и.)! о„. Будем называть функцию, мало отличающуюся от линейной в диапазоне практических возможных значений аргумента, почти линейной.
Из формул (8.10.5) — (8.10.7)' следует, что м а т е м атическое ожидание почти линейной фун кции приближенно равно той же функции от математического ожидания аргумента, а ее дисперсия приближенно равна дисперсии аргумента, умпохгенной на квадрат производной функции в точке, соответс т в у ю щ е й м. о. а р г у м е н т а.
Остановимся, кстати, на одной подробности. Моягет показаться, что приближенная замена участка кривой ~р(х) участком касательной менее точна, чем замена ее участком секущей в том же диапазоне. Но мы выбираем замену участком касательной потому, что, во-первых, это проще, и, во-вторых, как правило, плотность Дх) непрерывной с.в. Х больше в областях, близких к ее математическому ожиданиго и„, чем по краям диапазона ее возможных значений; значит, наилучшее приближение нелинейной функции к линейной должно осуществляться там, где плотность аргумента максимальна, а это обычно бывает вблизи математического ожидания (как, например, для нормального закона). Пример 1. Случайная величина г' обратна с.в. Х: У=1/Х; с. в.
Х распределена равномерно в интервале (1,2). Найсти числовые характеристики с.в. у методом линеаризации и сравнить их с точными значениями этих характеристик. Решение. Находим: и, (2+1)/2=1,5; Р,=(2 — 1)е/12 1/12; ~р' (л) — 1/зз; (<р' (и„))' (1/и,')' 0,1975; и„~р'(и„) = 1/1,5 ж 0,6667; Р„(<р' (и„))' Р ж 0,01646; п„ж 0,1288, 332 Гл.
з, числОВые хАГАИТВРистики Функции Точные аначенпя характеристик найдем по формулам Ю г Р 1 П гиг= ) ф(х)Дх)сгх= ) — 1 ° ггх=~ 1п~х! 1п2= = 0,6931; ОО г Г1 аг()г) ) (гр(х)) ~(х)Кх ) —., 1 ггх= ~— 1 — —, 05 1 0 [ г ) = сгг (У] — и'„ж 0,5 — 0,6931' т 0,01955; о„= 0,1398. ~ Аналогично тому, как производилась лппеаризацнл функции одного случайного аргумента, выполняется лппеарнзацня функции от пескольких с. в. Х„ Хм ..., Х„, образующих систему. Пусть у- р(х„х„..., х„), причем функция ф диффсренцируема по каягдому из своих аргументов п почти линейяа в области нх практичоски возмохспых апачепий. Известны числовые характеристики системы: математические ожидания то т„..., и„ и ковариационная матрица К К К К1г Кгг Кгп Следовательно, с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
