Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 51
Текст из файла (страница 51)
в. г' может быть приблилгенпо пред- Разлоягпм функцию ф(х„х„..., х„) в ряд Тейлора в окрестности точки (лго т„..., т.) и ограничимся линейными членами разложения. С геометрической точки арепия зто равносильно замене уравнения поверхности ф(х„ х„ ..., х„) в п-мерном пространстве касательной плоскостью к втой поверхности: 1Р (Х1, Хгг..., Х„) т ф(игг,...
г т,) + Р + .й фг» 0ИМ ° ° ° г Лгг) (Хг — Игг)» 1 1 8,10. ЛННКАРИЗАЦИЯ ФУНКЦНН СЛУЧАЙНЫХ ВКЛИЧЙН 333 ставлена в виде линейной функции системы с. в. (х„..., х„): ).= р(х„...,х„)= и Р ж 1р (т, ..., т„) + ~з 1р„, (т1, ..., ти) (Х1 — т1) 4=1 и а 1р (тп ..., Лзи) + Д <рх1 (т„...1 ти) Хс (8 10 8) 1=1 Применяя к этому выражени1о формулы (8.2.9) и (8.2.13)' получим: (8.10.9)' т„= <Р(взе ..., Лзи); Р„ж,~~~ (~ ) Р1+ 2 «~~~д ) ( — ) Кп, (8.10ЛО) где для краткости введено обозначение: (") — 1р„1(т„..., л8„), Р1 = Кп = о; (8Л0.11) 81 и Формулу (8Л0.10) можно записать через средние квадратические отклонения и коэффициенты корреляции: а„'ж ~~~~~ ( — ) о,'+ 2 «~~( —,) ( — ) г11п~пв (8.10.12) 1 8 1 и~ 1<1 ~1а за к= ~" где ги = — — коэффлциепт корреляции случайных величин Х< и Хь Если случайные величины Х„..., Х„некоррелированы, то (8ЛОЛЗ) П р и м е р 2.
Определить числовые характеристики сопротивления схемы, изображенной на рис. 8.10.1, если номинальные аначения сопротивлений М ]В,] г, = 800 ом; М ]Нз] — г, 900 ом; М (118] = г, 1000 ом, ошибки в изготовлении сопротивлений распределены равномерно в интервале ~1818 номинального значения сопротивления и не зависят от ошибок изготовления других сопротивлений. 334 ГЛ, В. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ Решение. ф(В22 В22 Вз) В2В2В2~(В2В2 + В2В2 + В2В2) ) Р [В2] (2 800 10 ~)'/12 ж 21,3 (ом)', Р [В,] = (2 900 10 ')'/12 ж 27,0 (ом)', Р [В,] (2.1000 10 з)'/12 ж 33,3 (ом)'. По формуле (8Л0.9) находим: 800 900 1000 М [В] — ф(гз гз 'з) 800 900+800 10оо+ 900 1000=298('м) Определим значения частных производных ~-",).-~ „„' „- дф ') / (Лз)22) дат ] (Лзяз+ 7)зяз+ )72)72) (900 1000) 81.10 (800 900+ 800'1000+ 900 1000)2 2422.102 (-.).
~ „„' „!.=. -'=.— "= д'р ~ / (2)2222) ~ (800 1000)з 0,64 дяз/т ~(Л я .(-)з я .( я )) )2 ] 586.1022 5,86 т 0,109; ( ) / дф) / (Л,)72)з дпз/т [ ("зяз+ ЛРз+ Лзнз)з т (800 900) 0,722 1022 5,86 4022 5,86 10 По условию сопротивления независимы (Ке = О); по формуле (8.10Л2) находим Р [В] = ]' /ф Р [В2] ж 0,138'21,3 + 021092 27 + + 0,0885'33,3 ж 0,406 + 0,321 + 0,260 ж 0,987 (ом)з; о[В] = 7 Р[В] = 0,993 (ом).
заметим, что если коэффициент вариации каждого сопротивления в схеме, изображенной на рис. 8ЛОЛ равен: "з 'з 'з зле, липвлвизлция фтпкции слтчаипых вкличии зуб то козффицпепт вариации сопротивления всей схемы будет ~ — ']"' = ' ~' = о,ооззз, м1н! 2зз что свидетельствует о меньшем относительном разбросе сопротивлеыпя схемы по сравпепию с отдельными сопротивлениями. Если бы рассматриваемая схема состояла из номинально одинаковых сопротивлеяий: М [Л11 М [Л2] М [Лз] 900 (ом)„ то мы получили бы еооз Р[Л;] = 27 (ом)' (] = 1, 2, 3); М[Л] — — 300(ом)„ 3 900 Р [Л] = 3] — т ] Р [Л,] = 3 —, 9 3 1(ом)', о[Л] = у'0[Л] = $ (ом); = — = 0,00333.
м]л] =зоо Мы видим, что характеристики схемы практически остались теми же, что и для схемы с разными сопротивлениями. з гллвл э ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 9Л. Закон распределения функции одного случайного аргумента В предыдущей гл. мы познакомились с методами определения числовых характеристик функций с. в. и показали, что для их отыскания пе требуется знать законы распределения этих функций, а достаточно знать законы распределения аргументов. Как было показано, во многих случаях инженерной практики прн нахождении числовых характеристик функций с.в. можно обойтись даже без законов распределения аргументов — достаточно знать лишь числовые характеристики этих аргументов.
Однако нередко в инженерных приложепиях возникает и задача определения законов распределения функции с. в. Обычно это требуется при определении вероятности попадания этих функций в различные области их возможных значений. В этом пункте мы будем решать следующую задачу. Имеется непрерывная с. в. Х с плотностью ~(л); с.в. У выражается через с.в.
Х функциональной зависимостью (9.тЛ) У= р(Х). Требуется найти аакон распределения с. в. У. Рассмотрим сперва случай, когда функция ф(Х) строго монотонна, непрерывна и дифференцируема в интервале (а, 6) всех возможных значений с. в. Х. Функция распределения 6(р) с.в. У определяется по формуле 6(р) = Р(У(р). (9,1.2) Если функция у(л) монотонно возрастает на всем участке возможных значений с.в. Х (рис. 9.1.т), то событие (У < у) эквивалентно событию (Х ( ~) (у) ), где ф(р) х есть функция, обратная функции ф(л)=у. Иа строгой монотонности ~р (х) следует однозначность 93. ФУнкЦНЯ ОДНОГО слУчАЙИОГО АРГУментА 337 функции ф(у).
Имеем ФЬ) 6(у) — Р()'(у) Р(Х(ф(у)) = ) У(х)с)х, (9Л.З) а Дифференцируя зто выражение по величине у, входящей в верхний предел интеграла, получим п.р. случайной величины )' у (у) = — У,) (ф (у)) —" ) (зр (у)) зр' (у). (9.1.4) Если функция ~р(х) па участке (а, Ь) возможных зяачепий с.в. Х монотонно убывает (рис.
9.1.2), то событие У«Р( у<у =(дгю х>угу) Рис. 9Д.2 Х<(р(у) Рис. 9ЛЛ ( т" ( у) зквивалептпо событию (Х ~ ф (у) ). Следовательно, ь 6 (у) ) ) (х) г)х. (9 1.5) Ф(з) дифференцируя 6(у) по переменной у, входящей в нижний предел, получим п.р. случайиой величины У: У(У) = У вЂ” 1(Ф(У)) зр' (У) '). (9Л.8) Так как плотность ие может быть отрицательной, то формулы (9.1.4) и (9.1.6) можпо объединить в одну: у(у) )(ф(у))ф'(у)!. (9.1.7); Если с. в.
Х дискретпа и имеет ряд распределения х '! '! ! '! " '! "! (9.1.8) ),!" (;!" ! .! «) В формулах (9Л.З) и (93.3) диапазон зозмознвых зпзчепий с. в. Х может быть ( — а«, а«), т. е. а = — а«; б а«. 338 ГЛ, 9, ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ то воаможиые значения У=а(Х) определяются из выражения у,=~У(х,) (1=1, 2, ..., п); при этом имеет место равенство Р(У = у9) = Р(У = Р(х;)) = рь (9.1.9) Задача 1. Закон распределения линейной функции одного случайного аргумента. Частным случаем мопотонной функции является линейная функция у =ах+ Ь, где а, Ь вЂ” неслучайные величины. Пусть У есть линейная функция непрерывной с, в. Х с плотностью /(х): У =аХ+ Ь.
Найдем, пользуясь формулой (9.1.7)', плотность распределепия у(у) случайной величины У. В дапном случае обратная функция ф(у)=(у — Ь)/а; ее производная ~у'(у) 1/а; модуль производной 1/~а~. Формула (9.1.7) дает у (у) = / (~ ) †. )ь (9 1.10) Пример 1. Случайная величина Х распределена по показательному закону /(х) = Зе '* (х > 0).
Случайная величипа У линейно выражается через Х: У=2 — ЗХ. (") Найти плотность распределения с. в. У. Р е ш е н и е. В данном случае обратная функция С ф(у) =(2 — у)/3. Условие егз 91 гу<2> х~ 0 в формуле («) для > 21 у переходит в условие у = 2 — Зх < 2; по формуле (9.1.10) получим (е'" ю при у<2„ График плотности у(у) показан на рис.9.1.3. Рис. 9.1.3 Пример 2. Найти п.р. линейной функции У = аХ.( Ь нормально распределенпого аргумента Х с характеристиками т„ и о.. Решение. По формуле (9.1.7) имеем у (у) = [1/ ( У 2ло„! а 1 ) ] ехр (- (у — (ат„+ Ь) ) '/(У 2о а) Ч, зл. ФУпкпик ОДНОГО слУчАЙнОГО АРГУментА 339 а это есть нормальный аакон с характеристиками т„ ая4+3; Р„азо„', о„=]а]о.. Таким образом, в результате линейного преобразования нормально распределенной с.в.
Х получаем с.в. У, также распределенную по нормальному закону. ~ Пример 3. Непрерывная с.в. Х распределена по закону Коши в простейшем (каноническом) виде: 1 /(') =. (т+")' с.в. У свяаана с нею зависимостью: У=1 — Х'. Найти плотность распределения с.в. У. Решение. Так как функ- Ряс. 9Д.4 ция у=1 — х" монотонна (монотонно убывает) на всем участке (-, ), применим формулу (9.1.7). Решение оформим в виде двух столбцов; в левом будут помещены обозначения функций, принятые в общем решении задачи; в первом — конкретные функции, соответствующне данному примеру, б(р)=/("р(р))] "р (р)] Пример 4.
С. в. Х распределена по тому же аакону Коши /(х)=1/(я(1+х')]; с.в. У есть величина, обратная Х: У= 1/Х. Найти ее плотность я(р). Р е ш е н и е. График функции у = 1/х покааан на рис. 9.1.4. Эта функция терпит разрыв второго рода (пе- /(х) р = <р(х) х= ф(р) ! ]/ (р)1 ю](з ~ТГ: А') я(у) = 1/[Зл(1+ + у (1 — у) ) 7/(1 — д)з~. ~ ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРГДЕЛВНИЯ ФУНКЦИИ мо рескакивает с — на + ) при х = 0; но обратная функция х 1/у однозначна, поэтому можно применять ту же формулу (9.1.7), которая выведена для монотонной функции. Решение снова оформим в виде двух столбцов (слева — общий, справа — частный случай): / (х) у = >р(х) х = >[>(у) ! "[>' (р) ! а (у) = / (>[>(р)) ! ]>' (и) ! т. е. обратная величина У=1/Х тоже, как и Х, имеет распределение Коши.
~ П р и м е р 5. Скорость соударения молекул Х распределена по закону Релея с параметром о: /(х) = —,елр ~ — —,,1 (х>0). о> 1 2аэ) Количество выделяемой энергии У прн соударепии мо- лекул определяется по формуле У= >р(Х) с/(1 — е ) (с)0 — неслучайная величина). Найти п.р. с.в. У. Решение. При х~ 0 функция >р(Х) монотонна. Решение примера снова располагаем в виде двух столбцов (слева общий случай, справа — частный конкретный случай): (х/а') ехр ( — х'/(2ат)) (х > О); у = с(1 — ехр(- х')) (0<у<с); х = (- [п [(с — р)/с))'" (О < у<с); с/[2 (с — у) ( — [и [(с-у)/с])"'] (0<у<с); — 9( — ) (0<у<с), [» а(р)-/ЙЫ)! ]/(р) ! / (х) и = >р(х) х >]>(у) [>[' (р)! 1/[л (1 + х')]; у = 1/х; х = 1/р; 1/уз б (У) = 1/[л (1 + 1/У>) Уз] = = 1/[л(1 + у9)]„ зз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
