Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Функция ОднОРО счучлпного лггуыентл 341 П р и м е р 6. Радиус круга Х распределен по закону Релея с параметром а: /(х) — *, ехр ~ — —,1 (х) 0). Найти закон распределения с.в. У вЂ” площади круга. Решение. С.в. У =НХ' — функция монотонная при Х>0 ~у(у)=(у/л)лх; ~~р'(у)(==, откуда 2')/лу у(у) = —, ехр ( — У,1, (у)0); 2ла~ 1 2ла~!' следовательно, с.
в. У имеет показательный закон распре- 1 деления с параметром ,†,. 3» 2ла Пример 7. Через точку а, лежащую на оси Оц, проводится прямая аЬ под углом Х к оси Оц (см. рис. 9.1.5). Угол Х распределен равномерно в интервале~ — —.; + — 21. Найти а закон распределения с.в. У вЂ” абсциссы точки пересечения прямой аЬ с осью 0$. х Р е ш е н и е.
/(ц) = 1/л(- 2 < ц <у); у=~р(х) а1дх; ф(у)=агс19(у/а); И Ь дахр (у) ! =,, —. Следовательно, 1+у /а Рис. 9.15 у(у) = /(ф(у) ) (ф'(у) 3 = 1/(ла (1+ ух/а')) ( — а» ( у < ), т. е. с. в. У распределена по закону Коши. з Пример 8. Напряжение Х распределено по нормальному закону с параметрами т„о„; стабилизируемое напряжение У определяется по формуле а при Х(а; У= Х при а<Х(Ь; Ь при Ь<Х, Найти функцию распределения с. в. У, Решение. С.в.
У вЂ” смешанная: Р(У а) Р(Х(а) = Ф((а — т„)/а„)+ 0,5; Р (У Ь) = Р (Х ) Ь) - 1 — Р (Х < Ь) = Ох5 — Ф ((Ь вЂ” Рйк)/бх), я2 Гл, 3, законы РАспгеделення Функции где Ф(х) — функция Лапласа. Функция распределения с, в. У имеет вид: 0 при у(а; 6(у) = Ф[(у — т„)/о,) + 0,5 при а<у~ Ь; 1 при у>Ь. На рис. 9.1.6 показан график 6(у).
В общем случае, если Р1т= )+с,з Рис. 9л.б функция распределения с. в. Х есть г" (х), то 0 при у а; Г(у) прн а<у(Ь; 1 при у>Ь. ~ с (у) П р и м е р 9. Стабилизатор напряжения работает таким обрааом, что ограничивает напряжение сверху: [Х при Х< а; У ш1п(Х,а) -~ [1а при а < Х. )О при у(~а; (г" (у) при а<у. $ Пример 10. Стабилизатор напряжения Х работает таким образом, что ограничивает напряжение снизу: У = п1ах(Х,а) — ~ [а при Х(а; [Х при а<Х. Найти функцию распределения с. в.
у, если задана г"1х) — функция распределения с. в. Х, Найти функцию распределения с. в. У, если задана функция распределения с. в. Х вЂ” г" (х). Решение. По аналогии с решением предыдущего примера получаем ЗЛ. ФУНКЦИЯ ОДНОГО СЛУЧАИНОГО АРГУМЕНТА 343 Р е ш е н и е. В соответствии с решением примера 8 получаем )Г (у) при а(у; (О при у(а. Рассмотрим теперь случай, когда функция у =ф(х)' ва участке (а, Ь) возможных аначений с.
в. не монотонна (рис. 9.1.7). В этом случае обратная функция х=)у(у) неоднозначна. Число значений обратной функции ф(у) зависит от того, какое у мы взяли; обозначим эти значения )у,(у), усу 'у(у) ((,(у) (зз(у) (а (у) у, Рве. 9.1.7 "(а(у) ° °, ф (у)', ... Событие у(у равносильно попаданию с.в. Х в один из неперекрывающихся отрезков, отмеченных жирной ливией на рис. 9Л.7, где соответствующая часть кривой у ф(х) лежит нин(е прямой у; в на шем случае эти отрезки будут: от а до ф1(у); от )(а(у), до Ф(у), от Ф(у) до ((ь(у) и т.
д.; последний отрезок может кончаться точкой Ь, а может и одной из точен чз(у) (это несущественно). Попадания точки Х в этн отрезки — события несовместные; по правилу сложения вероятностей г)(у) р(ус.у) =Р(Хан(а,(Ь,(у)))+ + Р(Х ен ((р,(у), )()з(у))) + Р (Х ен ()Ь,(у), ф,(у))) + . „ е1(з) еэ(") е',(у) ) 1(х)Их+ ) 1(х)((х+ ) У(х)дх+ ... в Ез(У) е4(з) Учитывая правило дифференцирования интеграла по переменной, входящей в его пределы (а именно: производная интеграла по такой переменной равна значению подынтегральной функции от верхнего предела, умноженному на производную верхнего предела минус значение подынтегральной функции от нижнего предела, умножен- 344 гл з ЗАкопы РАспРеделения Функции ное на производную ниизнего предела), получим в нашем случае а (у) = у( р, (и)) Ф (р) — У (а),— „+ + У(Фз (у)) зрз (у) — ~(зФз (у)) з)з (у) + . ° е (9.1.11) В тех точках, где ~р(х), пересекая прямую у, убывает (начало соответствующего участка оси абсцисс, для которого У(у), производная з9'(у) отрицательна; она же входит в сумму (9.1.11) со знаковз минус; в тех точках, где ~р(х) возрастает, з9'(у) (конец участка) она имеет знак плюс.
Производные постоянных а и Ь равны пулю, поэтому безразлично, фигурируют ли точки а и Ь в виде начала или конца какого-либо участка. Все члены в формуле (9.1.11) пололгительны, и она принимает очень простой вид: д (у) = ~ 1(зрз(у))~з(ч (у)~, (9Л . 12) где Й вЂ” число значений обратной функции, соответствующее данномУ У, зу,(У); зу,(У); ...; зРз(У) — зпачепиЯ обратной функции, соответствующие данному у. Задача 2. Закон распределения модул я с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы.
Задача ставится следующим образом: дана непрерывная с. в. Х с плотностью 1(х) на участке (- , + ); случайная у=щ = хсхз У " ~ величина У связана с нею соотношением: У =!Х!. Найти плотность распределоУзз(у) 0 ЩИ х пия с. в. У.. Рве. 9Л.8 Решение. Функция у- = )х! пе монотонна; ее график показан на рис. 9.1.8.
Обратная функция при данном у имеет два аначения: $,(у)= — у, $з(у)= у. По формуле (9ЛЛ2) получим: б(р)=И-р) (-1(+Лр) (1~=П-у)+ар) (у О) (9ЛЛЗ) '(отрицательной случайная величина У быть не молзет). В частности, если плотность )(х) симметрична относительно начала координат, т. с. Я вЂ” х)=1(х), формула «л. Функция ОднОГО случАЙБОГО АРГумвнтА 345 '(9ЛЛЗ) даст: д(у) = 2~(у) (у) 0). Задача 3.
Закон распределения квадрата случайной величины. Пусть непрерывная с.в. Х имеет плотность ~(х); найти плотность распределения ее квадрата. Р е ш е н и е. Функция у = х* не монотонна (рис. 9.1.9); ~9,(у)= — уу; ф,(у)= уу. Формула (9Л.12)' дает у(у) = )( — Уу) (2у) "'+ 1(Уу) (2у) "' (у ) 0). В частном случае, когда с. в, Х имеет нормальное распределение с параметрами т„= 0; о„= 1;1(х) = е " ~9/ "у' 2я, с.
в, У имеет распределение у(у) = е ""Л2жу (у > 0)'. Кривая атого распределении показана па рис. 9ЛЛО. й» =хт=р«х) -Уу 0 Уу Рис. 9ЛЛО Рвс. 9Л.9 До сих пор мы рассматривали только случай, когда аргумент функции У = ~9(Х) — непрерывная случайная величина. Теперь рассмотрим более простой по существу, но более слон«ный в записи случай, когда аргумент Х- дискретная с. в. с рядом распределения х« Некое «подобие» ряда распределения с. в.
У даст таблица Чтобы сделать из нее ряд распределения, нужно, во-первых, расположить значения, стоящие в верхней строке, в порядке возрастапия, а, во-вторых, объединить те из 346 ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФРНКЦИЯ них, которые окаэкутся равными (в силу неоднозначности обратной функции), и сложить соответствующие вероятности. Полученный таким образом ряд в будет ря„ом распределения с. в. У. Пример 11. Дискретная с.в. Х имеет ряд распре- деления Построить ряд распределения ее квадрата У Х'. 'Р е ш е н и е. «Неупорядоченный» ряд распределения имеет вид: Расположим значения с.
в. У в порядке возрастания, объединим равные и сложим их вероятности; получим ряд распределения с. в. У: где с ) Π— неслучайная величина. Найти закон распределения этого ущерба. Решение. Ряд распределения Х имеет вид: Так как аначения У возрастают вместе со значениями Х и среди них нет совпадающих (обратная функция па участке О, 1, .
„ и, ... однозначна), то ряд распределения У имеет вид: Г е -а 2 а~е а е — а ае а П р и м е р 12. Число Х неисправностей на участке высоковольтной линии в течение года имеет распределение Пуассона с параметром а, Общий материальный ущерб от этих неисправностей пропорционален квадрату их числа: У = СХ*, 9.2, получение случАйнОй Величины 941 9.2.
Получение случайной величины с заданным распределением путем функционального преобразования Здесь мы рассмотрим важную для практики работы с ЗВМ задачу о получении с.в. У с заданным распределением путем функционального преобразования другой с. в. Эта аадача часто встречается при моделировании случайных явлений на ЗВМ методом статистических испытаний (метод Монте-Карло). Задача ставится следуюгцим образом: в нашем распоряжении имеется с.в. Х с заданной плотностью ) (х). Спрашивается, какому функциональному преобразованию У=ф(Х) ее надо подвергнуть, чтобы с.в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
