Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 56
Текст из файла (страница 56)
в. Х„Х„Х„кап!лая из которых распределена равномерно ка интервале (-а; а): /<(х!)= 1/(2а) при х, и( — а, а); (!=1, 2, 3), Решение. Обозпачим !" = Х, + Х, + Х,. Найдем первопачально закон распределения с. в. У!х Х! + Х„ т. е. Рис. 9тьс Рис. 9.5.9 О. при )//(> 2а; /! (./ с! /! (х!) с/х., — - ! к! прп (у~( а. за Сумма Х, +Х, = У!х распредолепа по закону равнобедренного треугольника (закону Симпсона) на участке (-2а, 2а) (рис. 9.5.5), проведем композпциго двух равномерных заколов распределения, По ФоРмУле (9.4.5) получки 372 гл. а ЗАБопьг РАспгедвления Фуггкц!1н Рассмотрим с.
в. г' Уьд+ Х,. По формуле (9.4.5) проведем композицию закона Симпсона и равномерного распределения: 00 У(У) = ~ Угл(У вЂ” хз)/з(хз) агз = ОО 0 прн )у)) За; прп а((у((За; 16а при (у(( а. Ва" Кривая распределения у(у) состоит из трех отрезков парабол (рис. 9.5.6). ~ 9.6. Закон распределеяия мин1гмума (максимума) двух случайных величин. Закон распределения порядковых статистик В атом пункте мы рассмотрим прежде всего такое функциональное преобразование с. в., которое заключается в выборе максимальной (минимальной) нз двух величии. Задача 1. Закон распределен и я м инни ума двух случайных величин.
Дана пепрерыв- Ж ная система с. в. (Х„Х,) с п.р. Дхо х,). Найти функцию распределения с. в. у: )' = пп'и (Хп Х ) = Х, прн Х, (Х„ Х, прп Х )Х,. Рес. 9,6.! Р е ш е и и е. Найдем снача- ла Р [)' ) у) = Р (Х, ) у; Х, ) ) у). Область Р(у), где Х,) у и Х,> у показана на рис. 9.6.1. Вероятность попадания точки (Х„ Х,) в область Р(у) равна Р(У) у) = ( а(у) — Р((Х„Х,) Р(у))— Р(со, оо) — Р'(у, оо) — У(со, у) + Р (у, у) ( — Р,(у) — У,(у) + Р(у, у), В.б. МИНПМУН 111АКСНВ)УМ) СЛУ'1АИНЫХ ВЕЛНЧПН Я3 Отсюда д«(у,, «) д«(«, у,) д1 д у у, ду У вЂ” ) ) 1(х„хВ) с)х1о)хВ + д ( «1 О ОО 11=У У + —,, ~ ~ 1(х1, хВ) 11х1йхВ д«В д ЮО М вЂ” ) ~(У, х,) 1)хВ+ УВ У -щ + ~ ~(х„У)1)х1. Плотность распределения с.
в. у) У У у(~ ) (, (у) + ~В(у) — ~ ~(у, х,) о)х — ~ ~(х„у) В(х1. (9.6.2) Если с. в. Х„ХВ распределены одинаково, то 6(у) 27(у) — Р'(у, у); у(у) 2!(у) — 2 ) ~(у, хВ) 1(хВ (9.6.3) где Р(х„х,) — функция распределения системы с. в. (Х„Х,), Р1(х,), 71(х1) — функции распределения с. в. Х, и Х, соответственно. Следоватольпо, а(у) Г,(у)+ 71(у) — Г(у, у).
(9.6Л) Для определения п. р, у(у) нужно найти пропаводную правой части (9.61): И'1(«) — ~1(У) =- ( 1)(У, х,) о'хВ; д«В (у) — 11 (У) = ) 1 (х1, У) 1Кх1, СО Для отыскания д' рассмотрим полный дифферен- дР(у, у) ду циал функции Р(у„у1)1 дд(у у ) др( ) «1 В ГЛ. 9. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНПЯ ФУНКЦ)!Н 374 Если с. в. Х„Х, независимы, то Р(х„х,) = Р,(х,)Р,(х)); Л *)=У( )У( ) а(у) = Р,(у)+ Р,(у)- Р,(у) Р,(у), у(у) = г,(у)(1 Р,(у))+(9(у)(1 Р,(у)). (96.4) Если с. в. Х„Х, независимы и распределены одинаково с п. р. Л, (х) = 1, (х) = 1(х), то 6(у) = Р(у)(2 — Р(у)); у(у) = 21(у)(1 — Р(у)).
й (9.6.5) Пример 1. Рассматривается работа ТУ, состоящего па двух блоков Б, и Б„совместная работа которых беаусловно необходима для работы ТУ. Времена работы блоков Б, и Б, представля)от собой независимые с. в. Х, и Х, распределенные по показательным законам с параметрами Х, и А,. Требуется найти закон распределения с. в. У вЂ” времени работы ТУ. Р е ш е и и е. Очевидно, что У = ппп(Х„Х,). По формулам (9.6.4) находим: ). У -) 99 — ) ))/ — ) 9 б(у) = 1 — е' + 1 — е ' — (1 — е ' )(1 — е ') = =1 — е ' (у)0), ().)+"9)в т. е.
минимум двух независимых случайных величин, распределеннььх по показательпым законом с корал)етрами Х) и )»„распределен тоже по показательному закону с параметром Х) + ).. $» Задача 2. Закон распределения минимальной из и независимых случайных величин. Дана систелга п независимых с. в. (Х„Х„... ..., Х„) с и. р. 1,(х,), 1)(х)), ..., 1„(х„). Найти ф. р. и плотность с. в. У = ппп(Х„..., Х„), Р е ш е н и е. По определению ~(у)- Р(У(у) =1 — Р(У~у) = =1 — Р((Х,~у)(Х)~у)... (Х„~у)) = » » =1 — Д Р(Х)>у) =1 — П(1 — Г)(у)), (9.6.6) где Р;(у) = Р(Х)~у) — функция распределения с. в. (максимки) слгчляпых величин 375 По формуле (9.6.6) находим 4)ункцию распределения с. в. Тоо . С'"'(г) =1 — Д (1 — Т,(г», где Г,(1) = 1 — е "' (С ) О). Отсюда 6~ (О 1 П(1 1+с ')=- 1 ! -3ч~ ~,[мч 1 — Це '=1 — е (я ) О), где Х'"'- ~ Хь 1 1 Таким образом, закон распределения с.
в. Тоо — минимальной из п независимых с. в., распределенных по покавательным законам, таяние является показательным; при атом его параметр (У"') равен сумме параметров А, этих показательных распределений. Из етого следует, что Х,(1 1,2,...,п); П я д (у) = — ''~' = ~' 1, (у) Ц (1 — Г, (у»1(1 — Г; (у». (9,6.7) 1=-1 Если величины Х„..., Х„распределены одинаково, то у(у) п/(у)(1 — Р(у»" ', 6(у) — 1 — (1 — Г(у»".
(9.6.8) П р и м е р 2. Рассматривается работа автоматизированной системы (АС), состоящей из и подснстем. Для работы АС необходима работа всех п подсистем; время безотказной работы 1-й подсистемы Т, распределено по показательному аакону с параметром )., (1= 1, 2, ..., и) и не зависит от времени работы других подсистем. Определить заков распределения времени Тьо безотказной работы АС. Р е ш е н и е.
Очевидно, что Тоо т!п(Ть Т„..., Ть ..., Т„). зте гл. з, законы глспгвдклзнсся фгнкцин Монспо показать, что закон распределеппн с.в. Тс"' при достаточно боссьсполс и будет сходиться к показательному закону, даясе если с.в. Т, (с = 1, 2, ..., и) не распределены по показательным закопан. 11окаясем зто па примере одинаково равномерно распределенных с.вл 0 прк с<0; Рс(1) Р(г) Р(Тс<С) 1~п пРп 0< с < и; (1=1,...,и).
1 при к<с В этом случае 0 при с<0; а~~(1)=1 П(1 Р(г))=1 (1,<п) пуп о<г<п; с прп и< с. При и - получаем (О прп с<0; 11ш 6 " (с) = -с (1 — е прп 1) О, а вто есть ф. р. показательного закона. Таким образом, можно сделать вывод, широко применяемый в инженерных приложениях: если какое- либо устройство состоит из достаточно большого числа элементов и, работа которых безусловно необходилса для работы устройства, то закон распределения времени Тоо безотказной работы устройства близок к показательному с параметром, определяемым по усорлсуле п )Р~-1/М [Тоо] = ~ 1/М(Тс), с=с где М [Тс) — среднее время безотказной работы с-го элемента.
Поток отказов такого устройства будет близок к пуассоновскому с параметром Хс"с. в Задача 3. Закон распределения максимальнойной из двух случайных величин. Дана непрерывная система с.в. (Х„Х,) с плотностью /(хнхс). Требуется найти закон распределения с.в. У = шах(Х„Х,). Решение. По определению, (т(у) Р(1'<у) Р(гаах(Хы Хз) <у) = р(у, у), (9.6.9) З З.
МИНИМУМ (МАНСИЫУМ) СЛУ~[АЙНЫХ ВЕЛИЧНН 377 где Е(х„х,) — функция распределения системы (Х„Х,). х х Е(х„х,) = ~ ) 1(х„х,)йх[[)х;, У(у у) = ~ „' 1(х[, х1) [) 1[)х[, Г Дифференцируя это выражение, как делали раньше, по- лучим: у(у) = ~ 1(х» у)Ы + ~ 1(у х)дх (9.610) Если случайные величины Х„Х, распределены одинаково, то у (у) = 2 ) 1(х„у) с[х[.
Если случайные величины Х„Х, независимы, то б(у) = У[(у)У1 Ы; У (У) = 11 (У) г 1(у) + 11 (У) г 1 (У) Если случайные величины Х„Х, незавпспмы и распределены одинаково, то 6 (у) = (У(у) ) '; у(у) = 21(у) Р'(у) . (9 6.13)' Пример 3. Работа ТУ не может быть начата раньше того, как будет окончена сборка двух его блоков Б, и Б,. Время сборки блоков Б, и Б, прадставляет собой систему независимых с.в. Х, и Х„распределенных по показательным законам с параметрами )[, и Хз. Требуется найти плотность с.в. х' — времени окончания сборки обоих блоков ТУ. Решение. Очевидно, что У [пах(ХИ Х,).
Плотность распределения с.в. У определяется по формуле (9.6.12) у(у) =7[[е ' (1 — е 1")+ йзе ' (1 — е ' )(у)0). Этот закон не является показательным. Задача 4. Закон распределения максимальной из и независимых случайных ве- зтв гл, а законы глспвадклкппя этпнпип л и чи н. Дана непрерывная система с. в. (Х„Х„..., Х„)' с плотностью 1(х„х„..., х„). Найти закон распределения случайной велпчипы У = шах (Х„..., Х„). Решение. По определению С(у) = Р(У<у) Р(шах(Х,, ..., Х„) <у) Р(Х,<у, Х,<у, ..., Х„< у)=Р(у, у, ..., у), (9,6.14) где г'(хо х„..., х.) — функция распределения системы (Х„Х,, ..., Х„). Дифференцируя, найдем плотность распределения: п Ю т у(у) — = ~ ) ( -п~ ~(х„...,х, „у,х;,, еп (у] э=1 а ..., х, ) с1х,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
