Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Случайная величина .(" н Л.=$/ ХХ,-, (9.7.1 1) А=! где М [Ху] = 0; 0[Х(,] =а', Закон распределения и числовые характеристики с.в. Л„были определены в п. 7.10 (см. (7.10.33)— (7Л 0.38) ) . й Задача 6. Закон распределения модуля по рм ел ь по распределенной с. в. Ре(пенне. Пусть с.в. Х имеет нормальное распре- деление с параметрами т, о; случайная величина у определяется так: 'г'= ]Х]; (9.7Л2)' находим: ~(У) = Р()'<у) = Р(]Х] <у) = Р( — у <Х<у) Р(У) р( у) Ф (» — ~ ) Ф( — Р— ие) (9.7ЛЗ) где л( = М [Х]; о9 = 0[Х] и Ф(л)' — функция Лапласа Плотно' ь распределе ия с.в.
у буде: (у-ен) (-33-т39 К(У)-=е + —,е " (у) 0), (9.7.13) а ]/2к О ]незя О Теория оерооеноеоео и ее нниенерные ириооиение ззв ГЛ. З, ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИН Нсло т=0, то 6(у) = 2Ф~ — ") (у ) 0)„(9.7.15) (у) О). ~ (9.7.16) з' г д(у) = е о Р'Ез Задача 7. Логарифмически нормальное распределение. Говорят, что неотрицательная с.в. У имеет логарифмически нормальное распределение, асли ее натуральный логарифм 1ЕУ Х (9.7 17) имеет нормальное распределение. Требуется найти закон распределения с.в.
У: У ег (9.7.18) Решение. Пусть параметры нормального закона, по которому распределена с.в. Х, равны и, О. Найдем соответствующее логарнфмически нормальное распределение. Функция з* монотонна, поэтому плотность с.в. У найдем по формуле (9.1,7): Р(у) = 7(1пу)~ " ~, (9.7.19) где 7(.) -= .р~(- —.~). ( — т) ) о ~/2л 1 2о' Следовательно, л(у) =ехр — " (у>0).
й (9.7.201 Задача 8. Ограниченный нормальный закон. При контроле качества изделия по параметру Х, распределенному по нормальному аакопу с характеристиками М (Х) ль и 0 [РХ) Оз, отбраковываются изделия, имеющие аначение параметра Х меньше величины а или больше величины (1. Найдем закон распределения с.в. У вЂ” аначення контролируемого параметра изделия, прошедшего контроль, и с.а. Я вЂ” не прошедшего контроль, с.7. еункцнн норы РАспРеделеннОГО АРГуыентА 387 Р е ш е н и е. Вероятность р того, что изделие пройдет контроль, будет: где )(х) = ехр ( — (х — т)'l(2о'))йУ2л; Ф(х)' — функция Лапласа. По интегральной формуле Бейеса (3.4.9)' получим плотность распределения с.в. у — значения параметра Х Рис.
9.7.! сн Рис. 9.7.2 для изделия, прошедшего контроль: — ехр~ —, ! Нри у ы(а, )3), 7 (Р! ! ( (Р— т)') Юд(У) = Р рс ~/2и ~ 2о~ 0 при у ф (а, р). (9,7,21) ~з* 388 гл. г, законы глспэндвлапия этпкцнн Аналогично найдем плотность распределения с.в. Я— значения параметра Х для изделия, не прошедшего контроль.
Эта плотность у,(г) отлична от нуля только впе промежутка (а, р), а именно ! (г)/(р, + р,) при г<а; у (,) 0 при а <г(р; )Я~(р, + р,) при г) р, (9.7.22) где р, Р(Х(и) Ф~:1+ 05; р, Р(~(Х) = 0,5 — Ф[ — 1. Заметим, что у~+ р, 1 — р есть вероятность того, что изделие не пройдет контроля. На рис. 9.7.1 и 9,7.2 показаны графики п.р. у„(у) и у,(г). 9.8. Вероятностная смесь распределений. Закон распределения суммы случайного числа случайных слагаемых В инженерной практике нередко встречаются задачи, в которых аакон распределения случайной величины сам является случайным и зависит от того, какое из полной группы несовместных событий (гипотез) Н„Н„..., Н.
имело место. Требуется найти «полный» закон распределения случайной величины с учетом того, что оп с какими-то вероятностями может быть тем нли другим. Пусть, например, имеется техническое устройство (ТУ), состоящее из и элементов. В ТУ с вероятностью р~ работает 1-й элемент (и только оп один). Заданы вел роятностир„, р„° ° ., р,б ~~.",р, 1.Если работает 1-й эле- ~-1 мент, то связанный с ТУ случайный параметр Х имеет заданное распределение (функцию распределения г',(х) или плотность 7',(х) ).
Требуется найти полный (гусредненныйэ) закон распределения параметра Х с учетом случайности номера работающего элемента. Другой пример: поступающее к потребителю изделие может принадлежать тому или другому из заводов О.э. ЕЯРоятностпАя смесь РлспРеделепий 389 производителей: З„З„..и 3.; если опо принадлежит 1-му заводу, время Т его безотказной работы — случайная величина с плотностью 1,(г). Известны вероятность р, того,что изделие принадлежит ваводу 3; 1= 1, 2, ..., я; и ~1 р1=1 . Требуется найти полную (эусредиенпуюэ) 1-1 плотность распределения Д1) времени Т безотказной работы изделия. Решим поставленную задачу в общем виде. Имеется случайная величина Х; об условиях опыта, в результате которого опа принимает то илн другое аначепие, можно СдЕЛатЬ я ВэаИМОИСКЛЮЧаЮщнл ГИПОТЕЗ: Н„Н„..и Н„.
Вероятности гипотез известны: Если имеет место гипотеаа Нь функция распределения с.в. Х равна Р",(х). Требуется найти полную (эусреднеп- нуюэ) функцию распределения Г(х) случайной величи- ны Х с учетом случайности ее закона распределения. По определению Р(х) Р(Х<х), Найдем эту вероятность по формуле полной вероятности с гипотезами П„Н„... Н„: и и )Р(х) — ~ Р(Н1) Р1(х) = ~ р,Р1(х).
(9.8,1) Ф-1 1-1 Если с.в. Х непрерывна, то, дифферепцирун (9.81)', по- лучим выран1епие для ее плотности: и ~(х) = Р'(х) У,' р111(х). (9.8.2) 1=1 Нетрудно убедиться, что функция распределения (9.8.1) и плотность (9.8.2) обладают свойствами функции рас- пределения и плотности: Н(х) пе убывает при возраста- и пни х; Г( — ) 0; Р(+ )=1; Дх)>0; ) 1(х)г)х=1, ОР Возникающее таким образом распределение называ- ется вероятностной смесью распределений. зео гл.
з. злконы глспгкдзлзння фгнкцсси Найдем математическое ожидание и дисперсисо смешанного распределения (9.8.1) илп (9.8.2). По формуле полного математического ожидания находам: в М [Х) = ~ рзоо с=! (9.8.3) где аз~ [Х] — второй начальный момент с.в. Х прп гипотезе Нь Дисперсия с.в.
Х вычисляется по формуле 0 [Х] аз[Х] — (М [Х])'. (9.8.5) Пример 1. В партии изделий, состоящей из ]т' экземпляров, № изготовлены заводом 3„№ — заводом 3, (№+№ =Ж). Время беаотказной работы изделия завода 3, имеет показательное распределение с параметром )со завода 3, — показательное распределение с параметром )сь Найти плотность Дг) времени безотказной работы изделия наугад выбранного из партии в У иаделпй.
Р е ш е н и е. Имеем две гипотезы: Н, — изделие принадлежит заводу 3„ Н, — изделие принадлежит заводу 3,. Вероятности гипотез Асс рс Р(Нс)=,~, +ч', рг=Р(Нг)= ч +ч. 1 а 1 Я где и,— условное м. о. случайной величины Х при условии, что имела место гипотеза Н,. Может показаться, что и дисперсисо случайпой величины Х молсно найти точно таким же способом; но зто не так (з ее выражение входят условные математические олсидания, различные при разных гипотезах), что касается второго начального момента а,[Х], то он, как м.о. квадрата с.з. Х, находится аналостсчпо (9.8.3): по формуле полного математического оясидания а, [Х] = М [Х'] = ~ рсасп[Х], с=с Смешанная плотность У(С) = Рс)ссе ' + Р.,)с,е "Р (Г) О). (9.8,6) Распределение (9.8.6) в общем случае уже не будет по- казательным.
й з.з. ввгоятпостнля смвсь гаспгвдвлвния Задача 1. Закон распределения сумм ы случайного числа случайных слагаемых. Рассмотрим с. в. Я, представляющую собой сумму случайного числа случайных слагаемых; 2=~', Хн (9.8.7) где случайные величины Х; независимы мел ду собой и имеют одиьаковую плотность /(х), а дискретная с.в. у не зависит от величин Х, (/ = О, 1, 2, ...) и принимает неотрицательные целочисленные значения О, 1, 2, й, ... Известно распределение дискретной с.в. У: Ра —— Р (У = й) (й = О, 1, 2, ...), Требуется найти закон распределения с.в.
Я, Решение. Сделаем гипотезу, состоящую в том, что с.в. У приняла значение й ~ О. В этом случае условная плотность с. в. 2 представляет собой композицию й плотностей 7'(х); обозначим эту композицию /"'-/ /'.. ° /. Если с.в. У приняла значение О, то в сумме нет нн одного слагаемого: Я= О, и это значение обладает отличной от пуля вероятностью; в кем функции распределения С(г) случайной величины 2 имеют скачок, равный р,. При г, отличном от О, функция С(г) непрерывна. Найдем ее выражение. По формуле полной вероятности С(г) = Р(Я(г) = ~р Р'ю(г), (9.8.8) где р/м(г) — функция распределения суммы й независимых случайных величин с плотностью /(х).
Итак, случайная величина У вЂ” величина смешанного типа; она имеет одно значение О с отличной от нуля вероятностью р„ а при Я ) О представлнет собой вепоятпостную смесь распределений с плотностями )" (х); производная С(г) равна я (г) С'(г) = ~~", р„)/ю (г). ° (9.8.9) Пример 2. Рассматривается работа ремонтной бригады. За ограниченное время 1 приема заявок па опре- 392 ГЛ. З. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ делеиный вид ремонтных работ поступает случайное число заявок У, распределелпое по закону Пуассона с параметром а; прием заявок за время 1 неограничен. Закоп распределения времени Т, ремонта по 1-й заявке — показательный с параметром ««(1= 1, 2, ...).
Случайные величины Т, независимы, одияаково распределены и не зависят от числа принятых заявок У. Найти закон распределепия и числовые характеристики времени Т вы- У полнения всех заявок, поступивших за время 1: Т = ~«т«. «-о Решение. Вероятпость того, что за время 1 поступит ровно л заявок яа ремонт, равна: р„= а'е-'/л«(й = О, 1, 2...)'. Если пе поступит пи одной заявки (й=О)', то время ремонта будет равно нулю: Т, = О. Если поступит «« заявок, время ремонта будет распределено по закову Эрлапга й-го порядка (см. (6.4.8)): 11" (1)= р(р1)' 'е "'I(«« — 1)! = РР(л — 1, ««1) (1>0, й>0), где Р(л, а) — табличная функция пуассоповского распределения (прилон«епие 1). Случайная величина Т является смешаппой, принимающей апачение 1=0 с вероятностью р,; при 1>0 Г(1) пепрерывна и имеет производНую Р (1) = Х Р»| (1). «=1 В данном примере с.
в. Т представляет собой с у м м у случайного числа случайных слагаемых Т = ~ Т», где Т, = О, а с.в. Т, (й> 0) распределена по «=о закону Эрлапга й-го порядка. Таким образом, закон распределепия с.в. Т представляет собой при 1> 0 вероятпостпу«о смесь закопов Эрлапга 1-го, 2-го, ..., й-го, ... порядков с вероятностями Р«1 Р« ° ° Р« ° ° ° Найдем м.о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
