Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Если случайные величины Х„, У,..., И'„при возрастании и сходятся по вероятности к соответствующим нем а й а случайным величинам х, у,..., ич Х„...х; У„у;... тв ю ...; И'в 1о, то любая рациональная Функция Л(Х„, У, ..., Ит ) сходится по вероятности к неслучайной величине Л(х, у, ..., и1) (если Л(х, у, ..., »о) пе обращается в бесконечность). В частности, лгобая степень Л" (Х„, У„, ..., И'„) при й ) О сходится по вероятности к Л" (х, у, ..., и1)1 Л» (Х„, У„, ..., И'„) — Л» (х, у, ..., 1о). (10.1.28) Одно иа инженерных приложений атой теоремы следу»ощее. Входные воздействия на техническое устройство (ТУ) представляют собой случайные величины Х„, У„,... ..., И'„, сходящиеся по вероятности при увеличении и к неслучайным. Выходная величина ТУ определяется по формуле Л(Х„, У, ..., )У,.), где Л вЂ” рациональная функ- ззл.
центглльнля пгедельнля теоРГмл 443 цвя. В этом случае прв достаточно большом и в качестве выходкой величины ТУ можно приближенно рассматривать неслучайную величину гг(т, у, ..., ю). Заметим, что никаких ограничений на зависимость (или независимость) с.в. Х„, У„, ..., И'„при этом не накладывается. 10.2. Центральная предельная теорема У„- ~ Хь (10.2.1) где, например, Х, — отклонение, Х, — отклонение, воздуха; вызванное влиянием температуры; вызванное влиянием влажности Одно из важнейших положений теории вероятностей — так называемая центральная предельная теорема.
Как и закон больших чисел, она имеет ряд форм. Во всех формах закона больших чисел устанавливается факт сходимости по вероятности каких-то случайных величин к постоянным, не случайным — при увеличении и — числа опытов или числа наблюдаемых случайных величин. В данном пункте мы рассмотрим другую группу предельных теорем, а именно теоремы, определяющие условия возникновения нормального распределения (закона Гаусса).
Такие условия часто встречаются на практике, что и объясняет широкую распространенность нормального закона в случайных явлениях природы. Кое-что об этих условиях (на чисто описательном уровне) мы уже говорили раньше (гл. 6), там, где впервые встретились с нормальным распределением.
А именно, нормальное распределение возникает тогда, когда суммируется много независимых (или слабо зависимых) случайных величин, сравнимых по порядку своего влияния на рассеивание суммы. В практической деятельности инженера такая обстановка встречается нередко. Пусть, например, рассматривается отклонение у. выходного параметра большой интегральной схемы (БИС) от номинала. Это отклонение (при известных допущениях) может быть представлено как сумма и элементарных отклонений, связанных с отдельными причинамп: 444 Гл. !0, ИРедельные теОРемы теОРии ВГРОятностея Х, — отклонение, вызванное ошибкой ввода какого- либо параметра; Х, — отгглоневие, вызванное недостаточной чистотой матерпала изделия; и т.
д. Число и этих элементарных отклонений весьма велико, как и число п причин, вызывающих суммарное отклонение У; обычно слагаемые Х„Хг, ..., Х„сравнимы по порядку своего влияния па рассеивание суммы. Действительно, если бы какая-то из случайных величин Х„Х„..., Х„оказывала существенно болыпее влияние на рассеивание суммы, чем все остальные, было бы естественно припять специальные меры для того, чтобы устранить главную причину рассеивания; поскольку такие меры не предпринимаются, можно предполо>кить, что оставшиеся случайные слагаемые сравнимы по порядку своего (равномерно малого) влияния на рассеивание суммы.
Нормальный закон широко распространен в технике; в большинстве случаев ошибки измерения параметров, ошибки выполнения команд, ошибки ввода различных величин в техническое устройство распределены по нормальному (или близкому к нормальному) закону; такая ошибка обычно может быть представлена в виде суммы многих «элементарных ошибок» Хь каждая из которых связана с отдельной, прантически независимой от других, причиной. Именно в применении к теории ошибок был впервые обоснован Лапласом и Гауссом нормальный закон. Нормальный закон широко распространен в биологии: вес, размер и другие параметры представителей растительного и животного мира во многих случаях имеют нормальное распределение, так как их разброс вызван суммарным воздействием многих факторов, среди которых нет доминирующих по своему влиянию.
Центральная предельная теорема в различных ее формах устанавливает условия, при которых возникает нормальное распределение и нарушение которых ведет к распределению, отличному от нормального. Различные формы центральной предельной теоремы различаются между собой условиями, накладываемыми на распределения образующих сумму случайных слагаемых Х„Х„..., Х„. Чем жестче эти условия, тем легче 10.2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 4»5 (8.9.4) ) Ох (2) = ~ е г (я) дх, (10.2.3) где 1 = У вЂ” 1 — мниман единица.
Характеристическая функция случайной величины У„равна произведению и характеристических функций слагаемых (см. 8.9.9): Овп (») = (Ох (»)) (10.2.4) Разложим функцию 6„(1) в окрестности точки 1= 0 в ряд Маклорена с тремн членами: 0,(2) 6„(0) + 0„(0) 2 + 16„(0)/2 + сг(2)] 22, (10.2.5) где производные берутся по Ю; сс(2)'- 0 при 2- О. ° ) Заметим, что этот аппарат бмл создан Л. »1. Ляпуновым спецвально для доказательства центральной предельной теоремы, доказывается теорема; чем они шире, тем труднее доказательство. Здесь мы докаязем одну из самых простых форм этой теоремы, а именно, ц е н т р а л ь н у ю и р едельную теорему для одинаково распределенныхх слагаемых. Теорема.
Если Х„Х„..., Х„, ...— независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение с математическим ожиданием и и дисперсией о', то при увеличении н закон распределения суммы Рп = 2г Х» (10.2.2', »=1 неограниченно приближается к нормальному. Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем доказательство для случая непрерывных случайных величин (для дискретных опо будет аналогичным). Применим для этого аппарат характеристических функций* ). Согласно свойствам, доказанным в и.
8.9, характеристическая функция суммы (10.2.2) равна произведению характеристических функций слагаемых. Случайные величины Х„Х„..., Х„имеют одну и ту же плотность 1(х), а значит и ту же характеристическую функцию 6,(2). Не нарушая общности, можно перенести начало отсчета всех случайных величин Х„Х„..., Х„в их общее математическое ожидание и; это равносильно их центрированию и, значит, тому, что м. о.
каждой из пнх будет равно нулю. Напомним, что характеристическая функция каждой из с.в. Х» (й=1, 2, ..., и), по определению, равна (см. 4$З ГЛ. «О. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН Найдем значения 6„(0); Ох(0)' Ох(0) Полагая в формуле (10.2.3) г-О, имеем: ОО 0„(0) = ~ ~(х)[х-1 по свойству плотности распределения 1(х).
Продифференцируем (10.2.3) по 1: Ю 6„(Г) = ) [хе ™[(х) дх = 1 ) хен"Дх) 0[х. (10.2.6) Полагая в (10.2.6)' г = О, получим: К(0) 1 ) х~(х) ох = 1М [Х[, 00 где М [Х) — математическое оя«иданне с. в. Х с плотностью 1(х)', В пашем случае все случайные величины Хо Х„..., Х„имеют плотность Ях), а ил об1цее и. ш равно нулю; поэтому 6„(0) = О. Проднфференцируем (10.2.6)' епге раз: ) 0„(г) = — ~ х'-е ")'(х) «[х.
Ы Полагая г = О, получим 6„(0) = — ~ х«/(х) сх„ а вто есть не что иное, как дисперсия цептрированной с.в. Х с плотностью 1(х) (со знаком «минуса). Следовательно, 0,(0) = — О«. Подставляя в (10.2.5) О. (0) = 1; д„(0) = 0 и О„" (0) — о', получим О. (4) = 1 — [О'/2 — 00 (г) )4«. («) Обратимся к случайной величине г"„. Мы хотим доказать, что при увеличении и ее закон распределения 10.2. ЦептРАльнАЕ ПРедельпАя теоремА 417 приближается к нормальному. Для этого перейдем от пес к линейно связанной с У„ «нормированной» случапной величине Я„ - У„/(оУп)'.
(10.2.7) Эта величина удобна тем, что ее дисперсия но завысит от п и равна единице при любом п. В этом нетрудно убедиться, рассматривая 7„как линейную фупкцрпо независимых случайных величин Х„Х„..., Х„, каждая из которых имеет дисперсию о*. Если мы докажем, что с.в. Я, имеет нормальное распределение, это будет означать, что и с.
в. Ун, лппойпо связанная с 2., распределена нормально. Вместо того, чтобы доказывать, что закон распределения с. в. Я прн увеличении и приблпярается к нормальному, докажем, что ее характеристическая функция, однозначно определяющая плотность, прпблпя«ается к характеристической функции нормального закона с теми же, что у 7., параметрами: гпе„= 0; о,„= 1 (8.9.16). Найдем характеристическую функциго с. в. 7. Из свойства (8.9.7) характеристической функции (и.
8.9) имеем: 0е (С) = 'Эрн (1/(о Чlи)) (10.2 8) где 00„— характеристическая функция с. в. У„. Из (10.2.4) и (10.2.8) имеем: 0,„(2) =10„(1/(о 'У' ))1", Или, пользуясь формулой («)', 0ео(1) = [1 — [2 — с«(1/(и У'и))) 12/(ио')~, (10.2.9) Прологарифмируем это вырал«ение: 1п 6,„(1) п !п [1 — [ —.
— «А (1/(а )ги))) 101(о«п)~. Введем обозначение [2 — с»(с/(о Уп))) е»г(иар) = и. (10.2.10) Тогда !и О,„(1) = п 1п(1 — к). (10,2,11) >4 Теории еероиенос сн и ее ннненернне ириио енин 4!8 ГЛ. Сз. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Будем Неограниченно увеличивать и; при этом неви- чипа х, согласно (10.2ЛО), будет стремиться к пулю. Разложим 1В(1 — х) в ряд по степеням х и ограгигчпмся одним членом разлоясеяия (остальпые при п- » стапут пренебрежимо малыми): 1В(1 — х) = — х. Тогда 1гпг 1пб,„(/) = 1!пг и ( — х) =1!Пг [ — /0/2+ и(г/ (О 'Г' гг))/г/Ог) »» э»» »»»» — !г/2+ 1по а(//»(О у гг)) /г/Ог.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
