Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 61
Текст из файла (страница 61)
зйкоп Больших «1псеч У«к э « ӄ— т„, У (10Л.14) и первая теорема Чебышева доказана. Эта теорема может быть записана и в другом виде: обозначая Я„= ӄ— и„, получим г„— """ О, У (10,1,15) и вообще, если случайпан величина У при псходится по вероятности к постоянной а, то это значит, что разность между У„и а при п- сходится по вероятности к нулю. Именно в такой форме мы будем записывать сходимость по вероятности во второй теореме Чебышева. 2-я теорема Чебышева. Только что доказанная 1-я теорема Чебышева относилась к случаю, когда все с.в.
Х„Х«, ..., Х„были независимы и имели одно и то же распределение, а значит, одно и то же м.о. т„и одну и ту и<е дисперсию Р,. Теперь мы рассмотрим случай, когда условия независимых опытов меняются, то есть их результаты представляют собой неограниченную последовательность независимых с.в. Х„Х„..., Х„, ... с различными, в общем случае, математическими ожиданиями гп,, и дисперсиями Р„, ((=1, 2, ..., п, ...). Обозначим снова Уэ=(1/п) Д Х~ и докажем, что если все «сы дисперсии Р»,. ограничены сверху одним и тем н«е числом Р: Р,,~~Р ((= 1, 2, ..., п, ...), (10ЛЛ6) то разность между средним ари4метическим наблюденных значений случайных величин и средним ари4метическим их математических ожиданий сходится по вероятности к нулю э), «) Мон«ет коэнккнуть вопрос: почему в этом случае мы не говорам, что среднее арифметическое ваблюдекных значений случайных величин крн и- ««сходнтсн по вероятности к среднему арифметическому нх матсмэтнческнх о«кндэнкй (так иногда н формулируется 2-н теорема Чебышева)? Потому что в данном скуп и чае как (4/к) т,' Хо так н (4/и) ~~ в«», эакнсят от и, а понятве 1=1 1=1 «схоянмость по эеронтпостнэ определено нами толы«о для постоянной величины а, не зависящей от и.
4оз Гл. !0. ИРедельные теОРемы теОРии веРОятпостеп Д о к а з а т е л ь с т в о снова проведем, применяя нера- вепство Чебышева к У.. Для этого найдем М(У,]= «М 0 (У ] = —., Х) — )' т„,; «=1 (10Л Л7) Согласно неравенству Чебышева Р())'0 — ! ~;(> )( или, учитывая (10Л.17), Р ((-' ~ Х, — — ' ~ „(Р .) ( —,', ~ ао (10.1Л8) Учитывая, что все дисперсии Р,«(! = 1, 2, ..., Л) ограничены сверху величиной Р, и заменяя в (10Л.18) все Рхч на Р, мы можем только усилить неравенство; поэтому Р( — ~х; — — хт, 0(Р )( — ',,= —,. ОО!.10) " «=1 " «=1 Р( — 'Х Х),— — Х, „, ( )Р! — 0 «)О! 2!) " «=1 " «=1 Закон больших чисел может быть распространен и на зависимые случайные величины.
Пусть Х„Х„..., Х„, ...— зависимые случайные величины с математическими ожиданиями )лх, ..., жх„и 1 Как бы нп было мало произвольное наперед ааданное е, всегда мо)кяо выбрать я таким большим, чтобы правая часть (10.1.19) стала меньше произвольного малого б; поэтому Р )2 Р( — „~ Х,— — Л...
Р )(0, ()О!20) "«=1 «! откуда, переходя к противоположному событию, получим доказываемое неравенство: 40Э 1О.!. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ О О ковариационпой матрицей (К««)/ = $М (Х«Х,)1, размеры которой аависят, разумеется, от и. Математическое ожпдаи ние случайной величины Уи=(11'и) ~з~ Х; по-прежнему «=1 и равно т„„= (1/и) ~л~ т 1 Для зависимых случайных ве1=1 личин дисперсия суммы равна сумме всех элементов ковариациоипой матрицы; отсюда и Р„и = —., )'„~ Кп. (10.1.22) «=11=1 Наложим на элементы ковариациоппой матрицы условие, состоящее в том, чтобы двойная сумма в формуле (101.22) возрастала при и- медленнее, чем и'; тогда !«п« Р„и = О.
(10.1.23) Т е о р е м а М а р к о в а состоит в следующем: если с. в. Х„..и Մ— зависимые случайные величины с математическими ожиданиями ти, ..., тии и дисперсиями Р„,..., Р, удовлетворяющими условию (10.1.23), то равность мелсду их средн м арифметическим и средним арифметическим их математических ожиданий сходится по вероятности к нулю: с и и .и 4 — Х, — — ~~ ти;~ -'О. (10.1,24) «=1 "«=1 До к а з а т е л ь с т в о, Применим к величине У неравенство Чебышева и и «з, Р( — 2Х вЂ” — 2 и и (< '. (10.1,26) 1=1 1-1 Так как по услови«о (10.1.23) при и -+-сс Р„и-1.0, то при произвольно малом е можно выбрать и настолько большим, чтобы правая часть (10.1.25) стала меньше любого б > 0 ( Х -12и„,( (..
и « "«-1 4го гл. !». пРедельные теОРемы теОРии негоятпостси а вероятность противоположного события что и доказывает сходимость по вероятности к нулю разности между 1' и — „, и«,! в формуле (10.1.24). 1=1 Помимо различных форм закона больших чисел, в теории вероятности имеются егце разиые формы так называемого «усилеииого закона больших чисел», где доказывается пе «сходимость по вероятпости», а «сходимость с вероятностью едииица» различных средних к Неслучайным средяим; в виду относительной иеважиости этих форм для техяических приложений, мы па ипх специальио ие остаиавливаемся. Докажем два следствия закова больших чисел (1-й и 2-й теорем Чебышева).
1. Теорема Бернулли. При неограниченном возрастании числа и независимых опытов, в каждом из которых событие А появл ется с вероятностью р, частота события А сходится по вероятности к его вероятности р. Эту связь между частотой и вероятностью мы уже устацавливали (без специального доказательства); теперь мы ее выведем как следствие закона больших чисел.
По определению, частота события есть отношение числа появлений событий в и опытах к числу опытов и: Р„'(А) = К„~п. (10А.26) Представим случайную величину В„в виде суммы индикаторов события А: П„= ~ Хь 1 г де Х! — индикатор события А в 1-ы опыте: 0 если в 1-м опыте событие А ие появилось, если в 1-м опыте событие А появилось, Частота (10А.26) есть пе что иное, как среднее арифметическое и паблюдеипых значений случайной величины Х вЂ” ипдикатора события А !О.!. ЗАКОН ВОЛЪШНХ ЧНСЕЛ в одном опыте.
Напомним, что м.о. инднкатора события равно его вероятности р. Согласно теореме Чебышева Я СО Рч(А) р, что и доказывает теорему Бернулли*). Теорема Бернулли относится к случаю, когда все опыты производятся в одинаковых условиях, и вероятность появления события А во всех них одна и та же и равна р.
К более общему случаю, когда вероятности р„р„... ..., р„, ... различны, относится теорема Пуассона. Пусть производится неограниченное число и независимых опытов, в каждом из которых может появиться событие А, причем его вероятность в Бм опыте равна рь Теорема Пуассона утверждает, что при кровность между частотой событий А и средним ари4метическим его вероятностей сходится по вероятности к нулю: с Р (А) — — ~~~ р11 — ч 0 (10.1.27) "1-! Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема Пуассона — следствие 2-й теоремы Чебышева. Действительно, величина Рч(А) (1/и) ~ Х1 есть среднее арифметическое индика- 1 1 торов события А в 1-м, 2-м, ..., 1-м, ..., и-м опытах. Случайная величина Х имеет м.о, т», = р! н дисперсию Р», = р1(1 — р;) (п.
3.3); дисперсии Р» при любом 1 ограничены сверху одним н тем же числом Р 0,25 (максимальным значением р,(1 — р,), достигаемым при р, = 0,5). Применяя вторую теорему Чебышева к среднему арифметическому индикаторов, убедимся в справедливости теоремы Пуассона. Закон больших чисел во всех его формах имеет большое значение в практических применениях вероятностных методов, в частности, в инженерной практике. Выше мы уже убедились, что для нахождения числовых характеристик функций случайных величин (например, ошибок приборов и механизмов) зачастую не требуется знания законов распределения аргументов, а достаточно ч) Заметим, что доказать зту теорему (как в сзм Бернулли ее доказывал) можно было бы и без ссылке вв теорему Чебышева, а просто исходя из бввомвззьвого распределения с.
в. д„, во зто доказательство было бы довольно громоздким. 412 гл. 10. пРедельные теОРемы теОРии веРОятпостен знать их числовые характеристики — ы. о., дисперсию, матрицу ковариаций. Каждая из этих характеристик есть не что иное, как математическое ожидание ка- 0 кой-то случайной величины; в частности, 1) [Х,) М (Х';], 0 О Кв =М[Х,Х,], а на основании закона больших чисел можно каждое из этих математических о»кнданий приближенно заменить средним арифметическ им наблюденных значений соответствующей С.в. При достаточно большом числе опытов; мало того, можно даже оценить о ш и б к у, вытекающу»о из такои замены (о том, как это делается, мы расскажем в следующей главе).
Теорема Бернулли позволяет нам приближенно определять вероятности событий в опытах, не сводящихся к схеме случаев, по частотам этих событий при достаточном числе опытов (гл. 11). Менее известная и менее популярная теорема Пуассона дает возможность приближенно находить среднюю вероятность события А в серии опытов, одинаковость условий которых трудно гарантировать. Важное значение в инженерной практике имеет т е орема Слуцкого, которая в определенном смысле является следствием закона больших чисел и его различных форм (мы здесь приводим ее без доказательства).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
