Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 65
Текст из файла (страница 65)
При решении пекоторык задач математической статистш и мы будем расс!!атривать результаты наблюдений как случай= пые, находить их числовые характеристики, законы распределения и т. д. Если >ке в атом надобности не будет, мы осрапичимся рассмотрением результатов серии опытов как самых обычных, неслучайных величин. 11.2. Первичная статистическая совокупность. Ке упорядочение. Статистическая функции распределения Если наблюдаемая с. в.
Х дискретпа, то статистическим аналогом ряда распределения нвляетсн статистический рлд, полностью аналогичный ряду распределения с. в. Х, с той разницей, что вместо вероятностей р! Р1,Х вЂ” х>1 в нем стоят частоты соответству!ощих со- 11.2. ПЕРВИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ СОВОКУПНОСТЬ 433 бытий: р; = Р*(Х = х,). Па этом вопросе мы больше пе будем останавливаться, Гораздо сложнее (и чаще встречается па практике задача обработки опытов над непрерывной с.в.
Х. Зай11емся описанием результатов серии из и независимых опытов, в каждом из которых зарегистрировано значение непрерывной с. в. Х, и простешпей обработкой этих результатов. 11ервоо, что попадает в паши руки — это протокол, в котором зарегистрированы: помер опыта й и аначение лм которое припала в этом опыте с.в. Х.
Такой протокол мы будем называть первичной статистической совокупностью, Это — совсем еще пе обработанпый статистическпй материал. П рпие р. Измерено и = 100 сопротивлений определенного вида. В табл. 11.2.1 приведены: номер опыта й и соответствующее значение сопротивления л, (в омах). Т и 6 л и ц а 11.2Л Рассмотрение и осмысление таблицы такого типа (особенно при большом числе опытов и) затруднительно, и по ней практически нельзя представить себе, характер распределения с.в.
Х. Первый шаг к осмыслению материала — это его у и о р я д о ч е и и е, расположение в по- 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 87 85 91 94 102 80 75 102 99 101 100 120 122 101 88 80 97 92 91 94 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 82 111 115 99 96 101 115 100 97 91 87 116 121 101 123 97 95 88 104 111 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 88 90 101 95 93 92 88 94 98 99 102 101 122 99 97 95 105 112 116 118 61 62 63 64 65 66 67 68 69 ?О 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 108 95 99 92 100 118 103 102 89 90 94 106 112 122 100 92 93 82 111 102 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 84 105 110 102 104 107 120 108 107 98 96 106 110 115 95 109 Ш 103 88 108 434 ГЛ.
11. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ рядке возрастания значений с. в. Протокол результатов опыта, в котором опи перенумерованы и распсСлонсессы в порядке возрастания, будем называть упорядоченной статистической совокупностью. В табл. 11.2.2 приведены те же данные, что в табл.
11.2.1, по расположенные з порядке возрастания значений с. з. Х. Помер значения будем обозначать с (в отличие от номера опыта й). Если в таблице 11.2.1 одно и то нсе значение встречается несколько раз, будем писать его столько раз, сколько опо встретилось. Т а 6 л а ц а 11.2.2 х; хс По упорядоченной статистической совокупности типа табл. 11.2.2 можно уже построить статистическую 1(>ункцию распределения: Ра(х) Ра(Х(х).
(11.2.1) Функция г а (х) — разрывная ступепча тая функция, непрерывная слева, равная нулю левее наименьшего наблюденного значения с. в. Х и единице — правее наибольшего. Теоретически она должна иметь и скачков, где и — число опытов, а величина кансдого скачка должна быть равна 1/и — частоте наблюденного значения с. в.
Практически, если одно и то нсе значение наблюдалось 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 75 80 80 82 82 84 85 87 87 88 88 88 88 88 89 90 90 91 91 91 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 92 92 92 92 93 93 94 94 94 95 95 95 95 95 95 96 96 97 97 97 41 42 43 44 4г> 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 97 98 98 99 99 99 99 99 100 100 100 100 101 101 101 101 101 101 102 102 61 62 63 64 65 66 67 68 09 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 102 102 102 102 103 103 104 1()4 105 105 106 106 107 107 108 108 108 109 110 По 81 82 83 84 85 8Г> 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 111 1Ы 111 111 112 112 115 115 115 116 110 118 118 120 120 121 122 122 122 123 11 2 пегвнс1НАя стАтистическАя сово1<упность 435 несколько раз, соответству<ощие скачки сливаются в один, так что общее число скачков равно числу р а з л и ч н ы х наблюденных значений с.
в. Каждый скачок в точке х, равен «кратности» 1, значения ал в статистической совокупности, деленной на число опытов п. Например, для данных табл. 11.2.2 статистическая функция распределения г'х(х) ведет себя следующим обрааом: до точки х= 75 (и включая ее) она равна пулю; в ней Рх(х) совершает скачок, равный 1/и= 0,01 и сохраняет значение 0,01 до точки в=80 (включая ее); здесь она делает скачок, равный 2/и =0,02, становится равной 0,03 и сохраняет это значение до точки х= 82 (включая ее) и так далее. Вычисляя таким образом функцию /Гх(х)', получим таблицу ее значений на интервалах мен<ду скачками (табл. 11.2.3).
Т а б л и ц а 11.2.3 Р* (х) гх (х) По материалам этой таблицы строим график фун<щип гх(х) (рис. 11.2.1), )Кирпыми точками, как всегда, помечены значения функции в точках разрыва. Рис. 11.2.1, в отличие от табл. 11.2.1, уи<е дает некоторое представление о характере распределения с. в. Х; разумеется, самое общее представление, так как ясно, х(75 75(х~80 80 <х(82 82 < х ~ (84 84 < х ( 85 85 ( х ( 87 , 87 < х ( 88 88 < х ( 89 89 < х ( 90 90 < х ~ 91 91(х(92 92 < х ~ 93 93 <х(94 94 < х < 95 95 < х ( 96 96 < х ( 97 97 < х ~ 98 98 ( х < 99 99 < х <, 100 100< х(101 0 0,01 0,03 0,05 0,06 0,07 0,09 0,14 0,15 0,17 0,20 0,24 0,26 0,29 0,35 0,37 0,41 0,43 0,48 0,52 101 < х ( 102 102 ( х ( 103 103 ( х < 104 104 < х ( 105 105 ( х ( 106 106 < х ( 107 107 < х (~ 108 108( х ~ (109 109(х~, ИО 110 < х < 111 111 ( х ( (112 112 ( х < 115 115 < х ( 116 116 < х (» 118 118 ( х ( 120 120 ( х ( 121 121 ( х < 122 122 ( х ( 123 123 0,58 0,64 0,6Г> 0,68 0,70 0,72 0,74 0,77 О,'78 0,80 0,84 0,86 0,89 0,91 0,93 0,95 0,96 0,99 1,00 1ьз.
Ггупппговлнныя стлтистичкск»и1 Ряд 43~ что некоторые особенности кривой Р*(х)' случайны и связаны с выбором именно тех, а не других сопротивлений для измерения. Другие »00 опытов дали бы несколько иной график функции Р*(х), но общая тенденция сохранилась бы. При неограниченном увеличении и скачки кривой Е»(х) станут более мелкими; кривая Е*(х) станет плавнее, будет приближаться (сходиться по вероятности) к функции распределения Р'(х) случайной величины Х. Тем не менее, такой громоздкий и трудоемкий способ получения функции распределения Р(х) вряд ли может быть рекомендован (не забудем, что каждый опыт, вообще говоря, стоит денег).
На практике применяются другие, более простые способы построения законов распределения случайных величин по опытным данным. $ ».3. Группированный статистический ряд. Гистограмма Для того, чтобы составить себе общее представление о ваконе распределения с.
в. Х, незачем фиксировать каждое наблюденное зпачепне и строить статистическую функцию распределения р" (х). Этим целям лучше служат группировапный статистический ряд и гистограмма. Для построения группированпого статистического ряда весь участок оси абсцисс, ка котором расположены 'значения с.в. Х, наблюдавшиеся в опыте, делится на участки или «разряды». Длины разрядов необязательно брать равными друг другу: бывают случаи, когда на тех участках оси абсцисс, где наблюденные апачения Х располагаются гуще, удобнее брать разряды более мелкими, а там, где реже — более круппыии (нли объединять два или более равных по длине разрядов в один). Границы разрядов удобно брать «круглыми» числами.
Группированным статистическим рядом называется таблица, где в верхней строке указаны разряды: от — до (знак -. '), в нижней — соответствующие им частоты: р'! *!" ( ~ !" ° ! причем Х р» = 1 «=1 и Частота р~ события (Хы(хь х„,)) вычисляется как отношение числа ~, опытов, в которых значение с.в. Х 438 Гл. 11. зчементы мАтемлтическои стАтистики попало в 1-й разряд (х, —: х,+,), к общему числу и произведенных опытов. Сразу же возникает вопрос: а как быть, если значение с. в.
Х попало в точности на границу между разрядами? К какому разряду его отнести? Это неважно: можно отнести значение либо к левому разряду, либо к правому (ведь вероятность того, что непрерывная с. в. Х примет варанее заданное значение, равна пулю); мы остановимся на более симметричном «справедливом» правиле: если значение с. в. попало в точности на границу разрядов, разделить его поровну между соседними разрядами и прибавить по 1/2 к числам 1, для обоих разрядов. Построим группированный статистический ряд для с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
