Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Х и У находят по формуле: Кщ г„„ = ~/"Ъ„Б„ Пример 1. Произведено 20 измерений входного напряжения Х и выходного напряжения У (в вольтах) па входе и выходе технического устройства (ТУ); результаты сведены в таблицу: Ф т„= — ~ хо 1=1 К, можно вычислять и по муле: я т„= — ~'„у1, (И.6Л9) 1=1 равносильной (И.6Л8) фор- 110. ОценкА числОВых хАРАктеРистик 457 9 10 — 37 х,. — 15 — 22 3 15 48 3 Н вЂ” 3 5 7 — 17~ — 15~ 15~ — 4 — 39)1 х~ — 4 — 9~ 21 ~ 55 — 12~ 1~ 13~ 5 — 13~0 3 ~ 11 ~ 19 (11.6.22) На(1ти оценки для числовых характеристик системы с.в.
(Х, У1. гп Рис. 11,6Л Решение. На рнс. 11.6.1 приведены ати статистические данные в виде точек на плоскости хОу. По формуле (11.6.6) находим оценки т„и т„: 9О 9О О ~и~ хо т 0,150; то — — 29 ~и~ у1 0 200, 1=1 1=1 453 Гл. !!. элементы мАтемАтическон стАтистики По формуле (11.6.14) находим несмещенные оценки для дисперсий и с. к. о.: 1О Бх = „— ~' (х! — и„)' 559; о„= )/ Б„ж 23,6; 1=1 Ь„ж 83,1; о„9х11, По формуле '(11.6.20) находим оценку для ковариации: 1!! ! 1хах 20 К„„= — г, х!у! — т т ~ — т 198 ~20 АЬ1 х э~19 1 1=1 откуда, по формуле (11.6.21) находим оценку для коэффициента корреляции с.
в. Х и г'! г,„К.„/Ы, .О„= 0,921. Мы видим, что между Х и У существует довольно тесная (причем положительная) корреляционная зависимость, что видно и иа рис. 11.6.1. 11.7. 'Точность и надежность оценок числовых характеристик случайной величины В предыдущем пункте мы показали, что подходящими (состоятельными и несмещенными) оценками для математического ожидания т и дисперсии 1) случайной величины Х являются л! и Й (11.6.16).
Эти оценки как функции п случайных величин Х„Х„..., Х„сами представляют собой случайные величины. Разумеется, ваменяя т и П их оценками И и .О, мы совершаем какую-то ошибку; интересно оценить эту ошибку и найти вероятность 6, того, что ока не превзойдет какого-то е (эта величина е характеризует т о чность оценки, а вероятность 6,— ее надежность). Здесь мы изложим только элементы теории точности и надежности оценок; при этом будем предполагать, что число опытов я не слишком мало (порядка десятков).
Чтобы оценить точность и надежность оценки, нужно знать ее закон распределения. На наше счастье, он во многих случаях оказывается близким к нормальному. мл. точность и нАдкжность оценок 459 Действительно, среднее статистическое значение с. в. Х: 1,')', Х и представляет собой сумму сравнительно большого числа и независимых случайных величин и, согласно центральной предельной теореме, имеет распределение, близкое к нормальному, с математическим ожиданием М [т~ = —,~' М [Х[[ = — п т = )п (11.7.1) 1=1 и дисперсией 0[т~ = —,~' 0[Х)] = —, п Р= —,. (11.7.2) М М 7=1 и, значит, средним квадратическим отклонением: о [т] = уР(п = о! уп, (11.7.3) где о — с.
к. о. случайпой величины Х, Для того, чтобы приближенно найти параметры нормального закона, по которому распределяется оценка т, можно, пе вдаваясь в излишние тонкости, приближенно заменить в формулах (11.7.1), (11.7.3) неизвестные нам параметры и, Р их оценками т, Р. Получим: М [а! З[ О [а! —; [й! )7 — [)7 7 4) Допуская, что с. в. л7 имеет нормальное распределение с параметрами (11.7.4), найдем приближенно вероятность того, что оценка йг отклонится от своего математического ожидания меныпе, чем на з: Р([и — л1[(з) ж 2Ф[=1[„(11.7.5) (а [т)/ где Ф(х) — функция Лапласа.
Пример 1. При обработке результатов и = 20 независимых опытов получены оценки математического ожидания и дисперсии т = 4,52 и Б = 2,35. Найти вероятность того, что, полагая т= )и =4,52, мы не совершим ошибки, большей, чем з = 0,3. 460 ГЛ. 11. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ СТАТИСТИКИ Решение. По формулам (11.7.4) находим: М [т] ж 4,52; 0 [1и] ж 2,35720 = 0,1175; о [т] ж 0,343. По формуле (11.7.5) имеем: Р (] т — т [ ( 0,3) = 2Ф (0,310,343) ж 2 0,3093 ж 0,618, Итан, вероятность того, что ошибка от замены т на т не превзойдет 0,3, пе настолько велика, чтобы считать это событие практически достоверным. ~ При ив р 2. Тот же вопрос, что в примере 1, но число опытов и = 100 (т = 4,52, П = 2,35).
Решение. О [т] = 2,35/100 = 0,0235; о [т] ж 0,1533. Р ([ т — ги ] ( 0,3) - 2Ф (0,3/0,1533) ж 2 0,4748 ж 0,95, Итак, «надежность» того, что, заменяя т на И, мы совершим ошибку нв больше е 0,3 при и=100 опытах примерно равна 0,95. Если нам требуется ббльшая надежность или большая точность при той жв надежности, придется увеличить число опытов и. ~ Теперь займемся точностью и надежностью оценки Б для дисперсии П. Как мы знаем, эта оценка — несмещенная, и ее математическое ол«идапие равно В, Запишем эту оценку в виде: / п В = ~~ (Х« — т*)' (и — 1). (11.7.6) 1 1 Моя1но показать (мы этого делать пе будем), что при и ) 20 оценка П, независимо от распределения с.в.
Х, распределена приближенно нормально, с параметрами и л(л — 1 * где ]4, и ]7 — соответственно четвертый центральный мо мент и дисперсия случайной величины Х. Величину [44 можно в принципе приближенно заменить ве оценкой р«.' [««А[4, (~~э„(Х« — т*)' и„(11.7.8) но такая оценка при малом числе опытов дает большие !!л. тОчнОсть и нхдежность ОценОк 461 ошибки. Если закон распределения с. в. Х известен, то величину 1г, можно подсчитать.
Например, для нормально распределенной с.в. Х 1г,=ЗР', откуда (см. (11.7.7)) 0 (Р) = — Р' — Р' = — Р', и и(з — 1) Заменяя в последнем выражении величину .Р ее оценкой Р, получим: (11.7.9) о[.Р) ж ~/ — Р. з — 1 Если с.в. Х распределена равномерно на интервале (а, 5), то (б )4 16 )3 !"! 66 откуда О (Р) = о„',"„ + 1, 2 Рз; (Р) = ) "О (Р). (11.7.10) В случае, если закон распределения с. в.
Х нам неизвестен, рекомендуется в практических задачах пользоваться приближенным равенством (11.7.9) . П р и м е р 3. Для условий примера 1 найти приближенно вероятность р того, что, полагая Р = Б = 2,35 мы не совершим ошибки больше, чем е = 0,50. Решение. По формуле (11.7.7) находим М(Р) т Р = 2,35.
Воспользуемся второй формулой (11.7.9) для приблия!енного определения с.к. о, случайной величины .0: о [Р] = 72/(л — 1) Р = 0,762. Найдем вероятность того, что нормально распределенная с.в, Р отклонится от своего м.о. Р меньше, чем на 0,5: р = Р((Р— Р((0,5) = 2Ф(0,510,762) ж 0,488, Таким образом, вероятность того, что ошибка от замены дисперсии Р ее оценкой Б не превзойдет 0,5, равна р - 0,488; эту вероятность нельзя считать большой.
~ 402 ГЛ. «Ь ЭЛКМКНТЫ МАТКМАТИЧЕСКОИ СТАТИСТИКИ 11.8. Оценка вероятности по частоте В данном п. мы рассмотрим вопрос об оценке вероятности события по его частоте в серии из и опытов. Начнем с того, что сколько-нибудь удовлетворительное представление о вероятности р события А мол<но получить только из о б ш и р н о й с е р и и опытов, прн болыпом и (см.
хотя бы пример, приведенный в и. 1.3, где частота события Л = (появление герба> очень медленно, как бы «нехотя», приближается, сквозь ряд случайных колебаний, к его вероятности р = 0,5). При сравнительно малом и задача оценки вероятности по частоте, о точности и надежности этой оценки, является довольно сложной, и мы не будем на ней останавливаться *).
Рассмотрим задачу при достаточно большом п и решим ее приближенно, как выше (в п. 11.7) решали задачу об оценках числовых характеристик случайной величины. Пусть произведено п опытов, причем в Х из иих событие А произошло, а в (и — Х) — не произошло. Частота события А выражается формулой ре = Х!и. '(11.8.1) Так как опыты независимы, то с. в. Х распределена по биномиальному закону с параметрами и и р. Мы знаем (п.
5.1), что м. о. случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, равно пр, где ив число опытов, р — вероятность «успеха» (появление события А) в каждом опыте, а дисперсия с. в. Х равна ярд, где «7=1 — р. Теперь представим с.в. Х в виде суммы п случайных величин: (11.8.2) «т где Х; — индикатор события Л в 1-м опыте: 1, если в 1-м опыте А произошло« Х;= О, если в «ам опыте А не проиаошло, (( = 1, 2,..., и), *) Желающие могут познакомиться с нею по любой книге, специально посвященной математической статистике, напри.
мер, (40). $Ь8. ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ ПО ЧАСТОТЕ 4СЗ Из центральной предельной теоремы мы знаем, что при достаточно болыпом и сумма и независимых случайных величин распределена приблизительно нормально; аначит, с.в. Х можно считать распределенной по нормальному закону с параметрами пр н упру. Ее линейная функция р*=Хlп имеет также нормальное распределение с параметрами: п8 =М(Р*) Р, и = ~/П (р*) = ~Ъ„~~' = ~Грд(п. Из того, что математическое ожидание частоты р" события А равно р, следует, что рз является н есме щенной оценкой для р (то, что зта оценка состоятельна, следует из теоремы Бернулли (п.
10.1))'. Чтобы оценить точность приближенного равенства р = р*, найдем вероятность того, что ошибка этого равенства не превысит е: Р(~р* — р~(е) =2Ф(8~о,) = 2Ф вЂ” . (11.8.5) Пример 1. Найти вероятность того, что при и=* =600 бросаниях монеты (см. пример в и. 1.3) ошибка от замены вероятности частотой не превысит 8=0,05. Решение, В данном случае р=д 0,5; Р (! р* — 0,5 ! ( 0,05) 2Ф (0,05 24,5(0,5) ж 0,986. Итак, с довольно высокой вероятностью 0,986 можно утверждать, что при п = 600 бросаниях монеты ошибка от замены вероятности частотой не превысит 0,05.
> В данном примере наша аадача облегчалась тем, что вероятность появления герба р нам была известна зара нее (так что, собственно, незачем было заменять ее ча стотой). В большинстве практических задач вероятность р заранее неизвестпа; из положения можно выйти, заменив в формулах (11.8.4) и (11.8.5) вероятность р ее приближенным значением р*, а вместо д поставив дз " 1 — рэ, Формула (11.8.5) приближенно запишется в внде: Р(~ р* — р~(е) т 2Ф вЂ” ", (11,8.6) ~УРР/' Пример 2. Произведено п 400 опытов с целью определения вероятности р события А. Из этих 400 опы- 464 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
