Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Ограничимся определением так называемых «грубых» моментов по группированному ряду (11.4.3). Делается это так: выбирается в качестве «представителя» 1-го разряда его середина и этому значению 444 Гл, 11, элементы мАтемАти~гескои стАтистики х, приписывается частота р1. Прнблия1енное значение Э статистического среднего т„найдем как сумму произведений всех х, па р;: т' „= — 3,5 0,012 — 2,5 0,050 — 1,5 0,144 — 0,5 0,266+ + 0,5 0,240+ 1,5.0,176+ 2,5 0,092+ 3,5 0,020ж 0,168, Статистический второй начальный момент: сгз [Х) = ( — 3,5)'0,012 + ( — 2,5)'0,050+ ( — 1,5)' 0,144+ +( — 0,5)з 0,266+ 0,5'0,240 + 1,5'0,176+ 2,5'0,092 + + 3,5'0,020 т 2,126; А абаз вычитая из я, [Х) квадрат среднего значения ~т„7, ггх) .е< 1 -4 -1 -2 -1 О 1 2 д 4 х Рис. 11УЕЬ получим статистическу1о дисперсию: П„2,098, откуда о„= ~/ Р„1,448. Полагая в выражении нормальной плотности 7(х) = [1/ (о 12л) ) охр ( — (х — и) '/ (2а') ), и — 0,168; а = 1,448 и пользуясь таблицей приложения 4 в [4], получим значения па границах разрядов: Д-4) = 0,0045; 1(-З) = 0,0256; )(-2) = 0,0895; У(-1) = 0,1986; У(0) = 0 2740; 1(1) = 0,2343; ) (2) = 0,1244; ДЗ) = 0,0435.
Гистограмма и выравнивающая ее нормальная кривая распределения 1(х) показаны на рпс, 11.4.5. Ы Б КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ Х) 11.5. Критерий согласия д» (11.5.2) В настоящем пупкте мы коснемся одной из задач третьего типа — проверки правдоподобия гипотез. Предположим, мы хотим установить, противоречат ли опытные данные гипотезе о том, что с. в. Х распределена по такому-то закону3 Для ответа на такой вопрос пользуются так называемыми критериями соглпсия, нз которых мы остановимся только на одном, чаще всего применяемом, так называемом критерии у' Пирсона. Изложим идею этого критерия сначала для случая дискретной с.в.
Х с воз»щя«ными значениями х„хм ... ..., х,. Предположим, что произведено и независимых опытов, в ка»Ядом из которых с.в. Х приняла определенное значение. На основе этих опытов составлен статистический ряд распределения с.в. Х: х1!г»!...(г»!.. (х« х: (,' )~ .~ ),!, ))).).)) Ф где р) к;/п — частота события (Х х)), и, — число опытов, в которых появялось это событие (1=1, 2, ... ..., й).
Мы выдеигаем гипотезу Н, состоящую в том, что с.в. Х имеет ряд распределения: Х ) ~ | | ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~1 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ и ~ ~ т * !*»! "!'!" !'А! ,!,!"! Р'! "!РА!' Ф а отклонения частот р; от вероятностей р, объясняются случайными причинами. Чтобы проверить правдоподобность этой гипотезы, надо выбрать какую-то меру р асхождения статистического распределения с гипотетическим. В качестве меры расхождения В между гипотетическим распределением (11.5.2) и статистическим (11.5.1) при польвовании критерием )(» берется сумма квадрат о в о т к л о и е н и й р« — р статистических вероятностей РБ от гипотетических Рь взЯтых с некотоРыми «весами» е;: Л - ~ е, (р« — р)) .
(11.5.3) , Коэффициенты е) вводятся потому, что отклонения, относящиеся к разным значениям ро нельзя считать равноправными по значимости: одно и то же по абсолютной 446 Гл. >!. элвмкнты м»темхтичвскои статистики с! = пlрь (11.5.4) то при большом числе опытов п закон распределения величины В обладает весьма простыми свойствами: он практически пе зависит от закона распределения с. в. Х и мало зависит от числа опытов п, а зависит только от числа апачеиий с.в. й и при увеличении л прнбли>кается к распределению т' (п.
9.7). При таком выборе коэффициентов с, мера расхол>дания В обышо обозначается д'> ь у' = л~ (р; — р!)'/р! >=! или, вводя Э р! = л,>п, величину л под знак суммы и учитывая, что где л; — число значений в >хм разряде (>= » Й); ~~э~ л! = п, получим 1,2,..., В = )(» = ~ч,' (и! — пр>Я(пр!). (11.5.5) Распределение т', как мы знаем, зависит от параметра г, называемого «числом степеней свободы».
При пользовании критерием (11.5.5) число степеней свободы полагается равным ч пел у разрядов Й минус число независимых условий («связей»), пало>пенных на частоты р;. Примерами таких условий могут быть: 1рр=1, »=! (11.5.6) если мы требуем только того, чтобы сумма частот была равна единице (это требование накладывается во всех случаях); или я>е Х Ф л>Р! = л>х« ! ! (11.5.7) вели мы требуем, чтобы совпадало статистическое среднее величине отклонение р; — р! может быть малозначительным, если сама вероятность р> велика, и очень заметным, если она мала. Поэтому естественно веса с! взять обратно пропорцяональнымн вероятностям рь Но с каким коэффициентом попорциональиости? Пирсон доказал (мы этого делать не будем), что если поло>нить 447 1ь» кгиткгии соглАсип х~ с гипотетическим, или же « ~чр„(х; — о»„)'р; = й„, (1 1.5.8) если мы требуем, кроме того, еще п совпадения дисперсий и т.
д. Для распределения Х' составлены таблицы (см. таблицу прилонсекия 3). Пользуясь пмп, мол«но для каждого значении 1~' п числа степеней свободы г пайтп вероятпость р того, что вели пша, распределенная по закону у', превзойдет это зпачекие. В таблице прило»копия 3 входамк являются: зпачеппе вероятности р и число степепей свободы г; числа, стоящие в таблице, представляют собой соответству1ощие аиаченпя т'. Распределение 7~' дает возможпость оценить расхождение между гипотетически»1 распределением (11.5.2) и статистическим (11.51). Если вероятность р очень мала (яе превосходит выбранного ламп зпачепия «уровня значимости» с«, такого, что событие с вероятпостью с» считается уже практически невозможным), зто значит, что опытпые данные противоречат гипотезе Н, состоящей в том, что с. в. Х имеет распределение (11.5.2): эту гипотезу надо отбросить. Если н«о вероятность р не мала, можно признать расхождепия мел<ду теоретическим и гипотетическим распределеппями несущественными и отнести их за счет случайпых причин.
Гипотезу П мол«но считать правдоподобной„пли, по крайней мере, не противоречащей опытным данным. Подчеркнем, что большое аначепие вероятпости р '(папример, близкое к единице) отнюдь пе свидетельствует о большом правдоподобии гипотезы Н. Это может говорить, например, о том, что опытные данные сознательно «подгонялись» под н~елателькое нам распределеике (плп просто о том, что число опытов п недостаточно волико, чтобы распределение величины Л стало близко к в) ° Критерий согласия )(' мок«по примепять и для непрерывных случайпых величин, если, группируя статистический ряд, приближепно заменить непрерывную с.в.
Х дискретнои с возможными зпачепкями т„х„..., хь ... ..., х„где х,— середипа рго разряда (и. 11.3): 448 гл. ы. элкмкнты млткмлтичкскон статистики и а р1 — частота попадания с.в. Х в 1-й разряд: р; = пг~п; и,— число значений с.в., попавш в 1-й разряд (1=' -1,2,...,й); ~ и;=и. 1=! Пусть мы хотим выровнять (сгладить) статистическое распределение (11.5.9) с помощью гипотетической плотности 1(х). Будем поступать точно так же, как для ч дискретной с.в. Х, ааменяя частоты р; пх гипотетическими значениями: р; = Р(Хеп(хьх;+,)) — т. е.
вероятность попадания с.в. Х в 1-й разряд, вычисляемая по х;~ г фор~уле: Р1 = ) 7 (х) Нх; вместо числа значений с. е. х~ берется число разрядов й. Во всем остальном поступаем и рассуждаем так же, как для дискретной с.в. П р и м е р 1. Произведено и 800 наблюдений пад случайной величиной Х, возможные значения которой: х,-0; х, 1; ...; х<+,=1; ...; х„=10.
Результаты 800 опытов представлены в виде таблицы: 2 ! 3 ~ 4 Зеаченяе хг 81 ~ 124 ~ 146 Часло появлений п1 25 175 Значение х 7 8 9 10 Число появлений з ~ 106 ! 80 35 ) 16) 6) 6 Требуется оцеплять правдоподобие гипотезы П, состоящей в том, что Х распределена по закону Пуассона с параметром а, равным статистическому среднему наблюденных значений с.в. ХЛ качестве уровня значимости припять сг = 0,15. Р е ш е н и е. Деля п, на и, получим группировапный статистический ряд. Собственно говоря, оп пам ие нужен, так как в формуле (11.5.5) фигурируют ~е частоты р1, а только числа и;, приводим здесь этот ряд для наглядности.
11Л. КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ т» и Найдем статистическое среднее то1 оо т„= ~хор; = 0 0,031+ 1 0,101+ 2 0,155+ 1=о + 3 0,183 + 4 0,219 + 5 0,132 + 6 0,100 + 7 ° 0,044 + + 8. 0 020 + 9 0 008 + 10 0 008 ж 3 716, Вычислим вероятности ро соответствующие вакоиу Пуассона, по формуле: 1 а -о р; — „е 0 1 2 3 4 5 0,0243 ! 0,0904 ~ 0,1680 ~ 0,2081 ! 0,1933 ~ 0,1437 6 ~ 7 10 0,0890 ~ 0,0472 0,0219 ~ 0,0091 ~ 0,0033 По формуле 111.5.51 находим аначение 71о1 ~ч~~ (ио — прае/(про) ж 15,2.
Число степеней свободы г в данном случае равно числу аначеннй случайной величины (я 111 минус едини- О Терри»»еро»»иерее» и ее где а = т„3,716. 'По найденному значению а 3,?16 рассчитываем все роятности ре. 450 гл. 11. элементы мАтемАтическОЙ стАтистики 1в Ф ца (первое условие: ~в р; = 1 и минус еще едпппца— $1 совпадение гипотетического м.о.
со статпстическшх: г— И вЂ” 1 — 1 = 9. По таблице приложения 3 находим для г=9 и )(в =-15, р = 0,1. Хаким образом, в данном примере гипотеза А( о пуассоновском распределении с. в. Х противоречит опытным данным и ее надо отбросить, так как р = 0,1 ( а достаточпо мала. 1в Пример 2. Пользуясь критерием согласия )(' Пирсона, определить, пе противоречит лп опытным данным гипотеза о том, что с.в. Х, приведенная в и.
И.4 (статистическое распределение (И.4.3)), распределена по нормальному закову с теми жс м.о. и дисперсией, уровень значимости сс = 0,1. Р е ш е и а е. Определяем число степеней свободы г распределения )(', опо равно числу разрядов й-8 минус в в в число наложенных связей: 1) ~; р; = 1; 2) лв = лв з=1 0,168; 3) о, УР,=а„=1,448; г 8-3-5.
Составим таблицу вероятностей попаданий с. в. Х, подчиненной нормальному закону с параметрами лв 0,168 и а = 1,448 в разряды ( — г) —: ( 1)+Π—:( — 1) ( — 4)+( — 3) ( — 3) —: +( — 2) Разрздн (И.5.10) 0,1780 ~ 0,0770 ~ 0,0212 0,2668 Верозтксстп р, ~ (п1 — пр~)Цпр;) 3,99. По таблице приложения 3 при г 5 и )('=3,99 находим значение р ю0,55; зто свидетельствует о том, что выдвинутая нами гипотеза о нормальности распределения с.
в. Х не противоречит опытным данным. ф Пользуясь данными таблиц (И.4.3) и (И.5.10)', вычислим значение )(в (л 500): Ы.з. ОЦЕНКА ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 451 11.6. Оценка числовых характеристик случайных величин по ограниченному числу опытов Выше мы рассмотрели некоторые задачи математической статистики, относящиеся к обработке опытных данных. Это были вадачи нахождения закона распределения с. в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
