Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 64
Текст из файла (страница 64)
е. совпадение очень точное. ~ П р и м е р 8. Произвести аппроксимаци~о нормального закона с параметрами т„и 1), законом Эрланга и-го порядка с параметром ь (см. (6.4.8)). Решение. На основании центральной предельной теоремы мол1но считать, что с. в. Т,„„распределенная по заиопу Эрланга и-ого порядка (п)10), будет приближенно распределена по нормальному закону с параметрами М (Тоо) = и/); 0[Топ) и!У. Следовательно, с. в.
Х с нужным пам нормальным распределением определяется через Тоо формулой Х Теч — и/)0 + и„ а величина ь определится из условия В 0 (Т( )) п~)~00 откуда й= )~п(~/и„. ~ Пример 9. Провести аппроксимаци~о нормального закона с параметрами п4 п П„с помогцьло суммы и пе- 10.2, ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 427 зависимых с. в. Х„..., Х„, распределенных равномерно в интервале (О, 1). Р е ш е н и е. На основании центральной предельной теоремы при большом и случайная величина У.=Х Х1 1 — "-1 распределена приближенно по нормальному аакону с па- раметрами Нужную нам случайную величипу Х представим как линейную функцию случайной величины у„: Х=ЕУ„+ Ь. (10.2.29)' Находим т„=а — + Ь; Р„= аз —.
Х, 2 Х 2 ' х= 12 Откуда находим козффнцненты а и Ь в формуле (10.2.29) а = У12Р,/Уп; Ь = т„— УЪР„п. Итак, чтобы получить случайну1о величину Х, распределенную приближенно по нормальному закону, надо сло1кить достаточно большое число и независимых случайных величин, распределенных равномерно в интервале (О, 1) и подвергнуть их сумму линейному преобразованию (10.2.29).
В практике работы с ЭВМ при моделировании случайных явлений получают нормально распределенные случайные величины именно таким способом Опыт показывает, что вполне удовлетворнтельпу1о точность можно получить уже при п= 6; числа и= 10 ха 12 за глаза достаточно. й Пример 10. В кассе учреждения имеется сумма 11 3500 (руб.). В очереди стоит и=20 лнц.
Сумма Х, которую надо выплатить отдельному лицу — случайная величина с математическим ожиданием т„= 150 (руб.) и средним квадратическвм отклонением о 60 (руб.). Найти вероятность того, что суммы г( пе хватит для выплаты денег всем лгодям, стоящиз1 в очереди. Р е ш е н и е. На основании центральной предельной теоремы для одинаково распределенных слагаемых прп 428 гл. га пгкдвльпыв твогкмы ткогин вкгоятноствп большом и '(а и = 20 практически мокше считать «большимь), случайная величина Р.=Х 1 1 где Х, — сумма, которую надо выплатить 1-му лицу, имеет приближенно нормальное распределение с параметрами: о„„= Упо„; и„,=п гп;, В„=пР„; или тт„—— 20 150= 3000; от„— — 'г' 20 60 268; Р (У„) 3500) = 0,5 — Ф ((3500 — 3000)/268) ж 0,032.
Итак, с вероятностью около 3$ имеющейся в кассе суммы не хватит для выплаты всем, стоящим в очереди. Пример 11. В условиях предыдущего примера: какую сумму а куя~по иметь в кассе для того, чтобы вероятность того, что ее не хватит для выплаты всем стоящим, стала равна 0,0057 Решение. Имеем условие Р(У„) а) = 0,5 — Ф((а— — 3000)(268) = 0,005, т. е.
Ф((а — 3000) /268) 0,495. По таблице Ф(х) приложения находим аргумент функции Лапласа, прн котором она равна 0,495: а — 3000 — 2,58, откуда а = 3691, Итак, сравпительно небольшого увеличения суммы а (от 3500 до 3691) достаточно для того, чтобы гарантировать выплату всем с очень высокой вероятностью 0,995. в Пример 12. Монета подбрасывается и 1000 раэ. Рассматривается с.в. Х вЂ” число выпавших гербов. Определить интервал возможных значений с.в. Х, симметричный относительно м.о. этой с.в., в который опа попадает с вероятностью 9' = 0,997. пмо Решение. Х ~~.", Хо где Х, — число выпавших гер1=1 бов при 1-м бросании: 0 в если при 1-и бросании выпала цифра, Х; = 1 — если при 1-и бросании выпал эарб.
шл, цкнтвлльпхя пввднльнхн твогвмх 4гв М [ХД = 0,5; 0 [Х;[ = 0,5 0,5 = 0,25 (1 = 1, 2, ..., 1000) гооо т„М [Х[ Д М [ХД 0,5.1000 = 500; гооо В, 0[Х) - ~ 0[Хо) =0,25 1000 250; 1=1 а„'у' К ж 15,8. На основании цептральпой предельной теоремы с.в. Х распределена нормальпо, следовательно, Р([Х вЂ” т„[<е) 2Ф[ — [=йо=0,997; Ф[ — ~=0,4985. По таблицам Ф(х)' — функции Лапласа паходим: е т 2,97; ежа„2,97ж15,8 2,97 ж47,0. О„ Искомый лптервал будет: (т„— е; т„+ е)=(500 — 47; 500+ 47)=(453; 547). Итак, с очепь болыпой вероятностью У = 0,997 моноло утверждать, что число выпавших гербов будет заключено в пределах от 458 до 577 (об этом уже говорилось в п. 1.1). ~ ГЛАВА 11 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 11Л. Предмет и задачи математической статистики Ранее в книге мы уя<е говорили (правда, довольно бегло) об экспериментальпых, статистических аналогах таких понятий теории вероятностей, как «вероятность события», «функция распределения», «плотность вероятности», «математическое оя«ндание» и т.
д. и о том, как можно по статистическим аналогам приближенно оценивать интересу«ощие нас характеристики. В данной главе, опираясь иа ун«е апакомый читателю математический аппарат, мы рассмотрим зти вопросы более под обно. $ атематической статистикой называется наука, занимающаяся методами обработки опытных данных, полученных в результате наблюдений пад случайными явлениями. Любой такой результат можно представить как совокупность значений, принятых в результате и опытов какой-то случайной величиной или системой случайных величин.
Поэтому все изложение здесь будем вести на языке случайных величин. Перед любой наукой ставятся, в порядке возрастания сложности и важности, следующие задачи: 1) описание явлений; 2) анализ и прогноз; 3) выработка оптимальных решений. Стоят такие задачи и перед математической статистикой. Пример задачи первого типа: в наше распоряжение поступил статистический материал. Как его упорядочить, представить в наиболее удобном для обозрения и анализа виде3 Какими формами таблиц, графиков лучше всего воспользоватьсяг Пример задачи второго типа: как, на основании статистических данных, оцепить, хотя бы приближенно, интересующие пас характеристики, например, и.
о., дисперсию и с. к.о. случайной величины, пад которой велись <!.!. 3АдАчи млтвмлтнчвскоя стлтнстнкн 431 наблюдения? С какой точностью, при данном количестве опытов, будут оцениваться эти характеристики? Пример задачи третьего типа: назначить число опытов и, достаточное для того, чтобы разпнца между частотой события р« и его вероятностью р с достаточно большой вероятностью не превзошла заданной величины е, или для того, чтобы ошибка от замены математического ожидания средним арифметическим (опять-таки с достаточно высокой вероятностью) была не больше заданной. Одной из характерных задач третьего типа является задача проверки правдоподобия гипотез. Ставится опа так: в нашем распоряжении имеется совокупность опытных данных, относящихся к одной или нескольким случайпыи величинам, Спрашивается, противоречат ли зти данные той нли другой гипотезе? Например, гипотезе о том, что случайная величина Х распределена по закону с плотностью 1(к), или о том, что две случайные величины Х, У пекоррелировавы и т.
п. Все такие аадачи решаются по определенной схеме: выбирается какая-то мера отклонения Л экспериментальных данных от гипотетических, являющаяся функцией наблюденных в опыте значений; находится (точно или приближенно) закон распределения с. в. Л и, па основе этого закона, вычисляется вероятность того, что с.в. Л примет значение не меньшее, чем то зпачение г„ которое фактически зарегистрировано: Р(Л)г). (11 1.1) Если эта вероятность очень мала, то можно считать событие Л ) г, практически невозможным, а опытные данные п р о т и в о р е ч а щ и м и гипотезе; последпю<о нужно отвергнуть. Если же она не мала, то опытный материал и е и р о т и в о р е ч и т выдвинутой гипотезе (хотя и не подтверя<дает ее). Таким образом, в результате проверки правдоподобия гипотезы мон<ет быть сделан один из выводов: 1) отбросить гипотезу, как протяворечащую опытным данным; 2) не отбрасывать гяпотезу, считать ее приемлемой. Напомним читателю, что назначение той вероятности, которую следует считать «очень малой», в значительной мере условно и носит на себе неизбежно черты произвола; но не носят ли ее на себе в той или иной мере все решения, которые мы принимаем в нашей практической деятельности? Нн одно нз них мы не принимаем 432 ГЛ.
!!. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИ1СИ послушно, с закрытыми глазами, слепо доверлясь какойто тсо!ши, Размышляющий, оцепнза!ощпй, сопоставляющий человеческий разум всегда должен первенствовать в любой задаче выбора решения. Теория должна подсказать человеку разумный выбор, оцепить последствил каждо!о варвапта выбора, и в этом ее основное назпачопно. Математическая статистика пе представляет искл>очения. Опа помогаот экспериментатору лучше разобраться в опытных данных, полученных в результате наблюдений над случайными нвлепилми; оценить, значимы нли не значимы наблюденные факты; припять илн отбросить те плн нные гипотезы о природе явления. П настоящей главе мы рассмотрим вкратце и в самом элементарном виде задачи всех трех типов: способы описаш>я результатов опыта; способы обработки опьппых данных и оценки по ним интересующих пас характеристик случайного явления; наконец, способы выработки разумных решений.
Сдолаом одно аамечанне, относящееся ко всей главе. В пой мы будем одни н те нсе величины рассматривать то как случайные, то как иеслу сайкые. Пусть читателя по смущает этот кажущийся парадокс. Дело в том, что до опыта, нова оп еще не выполнен, значения случайных величин е!це неизвестны. После тово, как опыт у>Ее произведеп, этн случайные величины проняли вполне определенные значения н, значит, уже пе случайны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
