Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 59
Текст из файла (страница 59)
и дисперсию с.в. Т. По формуле (8.5.4)' находим м.о. случайной величины Т: ао г м(т)- ~ ~,»;м(т«) Р,. «=а «=о 9,9 ВЕРОЯТНОСТНАЯ СМЕСЬ РЛСПРВДВЛГППП 393 В пашем случае М [Т,) = 0; М [Т1[ = 1![1, следовательно, ° О / ь М[Т[=о.р + ~~ ~ ~-~р„= у — р =а(у. 9=1 1 =1 9=1 Дисперсия с.в.
Т равна (см. (8.5.10)) [9[т[=(М[Т1[)». В[У[+С9[Т1[ М[У) = — ",+ ",, ',,', В В так как 0 [Т,) = О; (М [Т1[)' = 0 [Т1[ = 1Я«9 (Г -. О). 9» Задача 2. Вероятностное р, д преобразование пуассоновского распределения. Своеобразной задачей на вероятностные смеси распределений является задача, которую мы назовем «задачеп вероятностного р, д преобразования пуассоновского распределения»„ Рассматривается с.в. Х, распределенная по закону Пуассона с параметром а.
Со с.в. Х связана с.в. У следующим образом: 1) если с.в. Х=О, то с.в. У принимает значение, равное нулю с Вероятностью, равной единице; 2) если с.в. Х=1, то с.в. У может принимать два аиачения: 0 н 1: Р(У=О[Х= 1)=9, Р(У= 1 [Х 1)=р (р+д=1); 8) если с.в. Х=л (1=2, 8, ...), то с.в. У может принимать значения О, 1, ..., т, ..., й и имеет биномяальное распределение с параметрамн Й, р: Р(У = О[Х й) -9", Р(У 1[Х=й) = йр,'-', (9.8.10) Р(У=т[Х=Й)=С«р д~ РР-=й[Х-й) =р" (заметим, что формулы (9.8.10) справедливы и для 1« = 0; 1). По формуле полной вероятности имеем Р (У = 0) = Р (У = 0 [ Х = 0) Р (Х = 0) + + Р (У = 0 [ Х = 1) Р (Х = 1) +...
+ Р (У = 0 [ Х = [г) Х Х Р(Х = [г) +...; (9.8.11) зе4 Гл о зл!сены Рлспркдглзппя сотпссцссп с.в. Х распределена по закону Пуассона с параметром а, поэтому Р(Х = й)=а"е %)!. С учетои форосул (9.8 10) получим: Р(У = 0) = 1 е '+ ае 'д+ а'е 'д'(2+... ...+ае ((~/)с(+...= ~ ее ~а/й(= о-о -а(с-о) ~~ ( )о -ао/й! -ар ю-о Р (У = яс) = ~ Р (У = т ( Х = й) Р (Х = й) = т — а-а/й! аме р о „р(( ае -Х о ~ -а т а-~» !с!ас! [)с — са) ! а=ш о =е» (ар)'" е а Ч»е» (ад)а '" — (ар)'" е ар ас(е ао »С»Е ((с — ас)! т! а=-» (ся = О, 1, 2,...).
(9.8 12) (а ]" М(У) =(У(У) =ар; Р(У=й) = и, е Например, если величина а = 100 н р = 0,1, то М (У) = 10. Таким образом, мы доказали, что при вероятностном р, о преобразовании пуассоновского распределения с параметром а получается такясе пуассоповское распределение, но с параметром ар. (Этим мы, в частности, доказали, что число пробоин в примере 3 п. 8.5 распределено по закону Пуассона.) й' П р и м е р 3. В АСУ за сутки поступает случайное число Х информационных документов (ИД), распределенное по закону Пуассона с параметром а. Каждый из поступивших ИД с вероятностью р является срочным (независимо от вида других ИД) и требует приоритетной обработки. Требуется определить аакон распределения числа срочных ИД г', поступивших в АСУ за сутки.
Решение. В соответствии с решением задачи 2 этого п. с.в. У будет распределена по закону Пуассона с параметром ар: вкгоятностная спись гаспггодклвнии ззо С помощью таблицы приложения 1, можно найти вероятность того, что в АСУ за сутки поступят 8 срочных документов: Р (У = 8) = Р е а" = Р (8,10) ~ 0,1126. П р и м е р 4. Для условий примера 3 этого пункта найти закон распределения числа Я поступивших несрочных ИД в АСУ за сутки. Решение. Очевидно, что с.в. 8 будет распределена по закону Пуассона с параметром ао, так как вероятность того, что поступивший в АСУ ИД будет несрочным, равна 1 — р = д. $» Пример 5. Показать, что случайные величины У и Я, рассмотренные в примерах 3 и 4 этого пункта, независимы.
Решение. По условию Х=У+г, где с.в. Х, У и 7 распределены по законам Пуассона с параметрами а, ар, ад соответственно (о = 1 — р). Следовательно, имеют место равенства. т (ар)о Р(Х=т)-~— ,е; Р(У=й) = р, е т) а! т-о () Р(Я=т —,й)= ~ е о (т э)о). С другой стороны, Р (Х = по) = ~ Р (У = ~.; 7 = ло — й). (*о) о=о Если с.в. У и Я независимы, то Р (У = й) г = — й) = Р (У == й) Р (г — ло — й) (необходимое и достаточное условие независимости с.в.
У и Я). В этом случае равенство (»о) примет внд: Р (Х ло) = ~ Р (У = й) Р (Е = т — й) = о=о (ар]о — ар (ае)~ о -ао о=-о 1а а1 т -а р1еа~ о т! ат — а ьта т1рзет о ат о е ~' — '= — е ~ее ' = — е-, е-а а! [т — и)! т) т1 .й~ )с) рп — и)) т) о=о ' о=о З.з. ВЕРОЯТНОСТНАЯ СМЕСЬ РАСПРЕДЕЛЕНИИ 397 Требуется определить закон распределения системы с.в. (У„У„..., У.). Р е ш е н и е. В соответствии с решением задачи 2 этого пункта с.в. У, будет распределена по закону Пуассона с параметром ар,. Для доказательства этого достаточно обозначить величину р1= р и 1 — р, = д. Но в качестве 1-го номера можно рассматривать любой (1= =1, 2, ..., и), следовательно, система с.
в. (У„У„... ..., У„) будет представлять собой систему с.в., распределенных по законам Пуассона с параметрамн ар„ар„... ..., ар„. Кроме того, в соответствии с решением примера 5 этого и. с.в. У„У1, ..., У„будут независимы. Прп этом выполняются следующие равенства: Х = ~ Уб а = „~~~ ар . ° 1-1 1 1 Пример 6. В ЛСУ в сутки поступает случайное число Х информационных документов (ИД), распределенное по закону Пуассона с параметром а. Каждый из поступивших ИД может с вероятностью р, (1=1,2,... ..., и) относиться к 1-му виду, независимо от других ИД с ~', р,.
= 1 .Требуется определить закон распределения 1-1 с.в. У,— число поступивших ИД 1-го вида (1=1,2,...,и). Р е ш е н и е. В соответствии с решением задачи 3 с.в. У, будет распределена по закону Пуассона с параметром ар~ (1 = 1, 2, ..., и); с.в. У„ У„ ..., У„ будут независимы. й 3 а м е ч а н и е. с. в. Х и У, (1= 1, ..., и) будут аависимы, так как п Х=~',Уь 1=1 Задача 4. Вероятностное многомерное преобразование р„рз, ..., р бином иального распределения с параметрами и, р ~Э~р,. 1 М Дана с.в.
Х, имеющая биномиальное распределекие с параметрами и, р. Эта с.в. Х подвергаетоя независимому преобразованию: с вероятностью р1 й,/и получается с.в. У~ (1 1, ..., т), при этом й,— такие целые по- Зал гл. к законы каспгкдкявния этнкцпк ложительпые числа, что их сумма равна и: ~)г» и. ТреГам буется найти вакоп распределения системы с. в. (У„У„... У ), Читателю предлагается доказать с помощью приемов, примененных в задачах 2 и 3 этого пункта, что с.
в. У„..., У„будут независимы и иметь бикомиальное распределение с параметрами (Йо р), (Й„р), ... (й, р) соответственно; прв этом будет выполняться равенство ГЛАВА 10 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (ОА. Закон больших чисел Математические законы теории вероятностей получены в результате абстрагирования реальных статистических закономерностей, свойственных массовым случайным явлениям. Опыт учит, что, наблюдая массовые однородные случайные явления, мы обнаруживаем в иих своеобразные закономерности, определенного типа у с т о йч и в о с т и.
С некоторыми иа них мы уже познакомились в начале нашего курса; например, с тем, что при большом числе однородных независимых опытов частота события Ра (А) становится устойчивой, приближается (сходится по вероятности) к его вероятности Р (А). Другой пример: при увеличении числа опытов, в каждом из которых с.в.
Х принимает какое-то аначение, среднее арифметическое наблюденных значений с.в. Х становится устойчивым, приближается (сходится по вероятности) к ее математическому ожиданию. Оба эти положения представляют собой частные случаи так нааываемого закона больших чисел, Фиаическое содержание этого аакона мохгет быть сформулировано так: п р и о ч е н ь большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности. В уаком смысле слова под «законом больших чисел» понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к определенным постоянным, неслучайным величинам.
С некоторыми частными формами аакона больших чисел, касающимися поведения частоты события при большом числе опытов, а также среднего арифметического большого числа наблюденных аначений случайной величины мы уже встречались ранее, ио па описательном, до-математическом уровне. В данном ЗОО Гл, !0. пРедельные теОРемы теОРии ВеРОятностей пункте мы докажем некоторые отпосящиеся с!ода теоремы. Все эти доказательства опираются иа неравенство Ь!ебышеза, которое является для пих леммой. Докажем его в первую очередь. Нера вевство !1ебы шева. Для любой случайной величины Х, имеющей мател>атичесиое ожидание т„ и дисперси>о 0„, справедливо неравенство: йи Р((Х вЂ” т„()с!)» —,,", (10.1.2) где а — любое положительпое число.
Неравенство (10.1.2) ограиичивает сверху вероятности больших отклонений с.в. от ее математического овшдания. Докажем иеравепство (10.1.2) спачала для непрерывной с.в. Х с плотпостыо 1(х). Событие А, состоящее в том, что отклонение случайной величипы Х от ее математического оя!пдакия т„ будет ве меньше, чем оп А = (!Х вЂ” т„! > а) (10Л.З)' представляет собой попадание случайной точки Х за пределы участка (т, — а; т.+ а) иа оси абсцисс сс сс Рис. 10.1Л (рис. 10ЛЛ); на рис. 10Л.1 эта зона оси абсцисс (включая крайвпе точки т,— а и т,+а) отмечены жирной линией и жирными точками и), Вероятность попадания Х в эту вону Р((Х вЂ” т„() а) м -и + ° и>х+а У(х)дх+ ~ )(х) дх = 1 — ) 1(х) дх (10.1 4) м -а х х) Дли иеирерызиой случайиой зезичииы Х Р(Х = и>х — и) = = Р(Х =и>и+ и)= О, во мы ие будем отбрасывать зваи равенства в (10.1.3), имев в виду дальнейший переход и дисиретиым и смешавиым с. з.
10.1. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧНСВЛ 401 Теперь вычпслим дисперсию случайной величины Х: + ОО 00 1»„') (х — т.„)17'(х)дх= ) ~х — т„~«Г'(х)дх, (10,1,5) Заменим в правой части (10Л.5)' вс»о область интегрирования па мнол»ество точек, для которых (х — л»„)« ~ ~с«; от этого интеграл увеличиться не может: ° юа а В,„Ъ ) 1х — т„)«7'(х) с»х + ) ~ х — и,, ~1 7'(х) Их. (10Л.6) Теперь заменим в птоавой части (10.1.6) величину !х — »л.1» на величину а, не превосходящую ее; от этого опять-таки выражение (10Л.6) больше пе станет: 17„) а» ) 7'(х) Их + а«) 7'(х) г)х, (10.1.6') Ф та-»а то есть Р„) а»Р () Х вЂ” т„~ ) а), (10Л,7) Деля обе части (10.1.7) на а» > О, получим доказываемое неравенство Чебышева (10Л.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
