Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 55
Текст из файла (страница 55)
+ а . При композиции бипомиальных законов с параметрами (п„р); (им р); ..., (и, р) снова получается биномиальный закон с параметрами (я, „р), где л<, п,+и,+...+и . Мы доказали важные свойства закона Пуассона и биномиального закона: «свойство устойчивости». Закон распределения называется устойчивым, если при композиции двух законов одинакового типа получается закон того же типа (различаются только параметры етого закона). В п. 9.7 мы покая;ем, что таким же сзоиством устойчивости обладает нормальный закон, 9.5. Закон распределения функции нескольких случайных величин. Композиция нескольких законов распределения Рассмотрпы вадачу об отзаскзнип закона распределения с.
в. У, представляющей функцию системы с.в. (Х„ Х„..., Х.) с плотностью ~(хо х„..., х„): У ~р(Хо Х„..., Х„). (9.5Л)' Сделаем гипотезу, состоящую в том, что подсистема с. в, (Хм Хп ..., Х.) лежит в пределах влемептарного 2.2. Функция несколъкик случьппъ|к Величин дс3 (и — 1)-мерного параллелепипеда, пркмыка)ощего к точке (х„х,, ..., х.): ~(х, х +а)х) (х,х +На) Р (Х„Хз,, „Х,) ен (': ° 'з+ ~х:) (з.а+"„) И ~ Гз,з, .,а (хз, 2'з,, ха) г(хзг)хз ° 2(хз~ где 12,2, .„2(хз~ Хз: ' ' ' Ха),) 1(Х1 Х2 ' " ' хз) 2(Х1' Тогда, применяя тот же прием, что и в п. 9.3, получим: О а)2)-Г -»(( ( )н,,,....ха~..,....*аз*,)х Х 1 л.,,з(х.„..., ха) г)хз...
2(хз. (9.5.2) Последнюю формулу можно записать в векторном виде: С(у)=,1 !( ) Гх (9. ), з) (212) а) где х =(х„хз,..., х„). Если случайные величины не зависимы, то формула (9.5.2) принимает вид: 0 аа а)2)- à — Г ( Г ),<*за.,)),<..) ... ... Г„(х„) Ктз... 2(х„. (9.5.4) Задача 1. Закон распределен и я суммы и е с к о л ь к и х ел у ч а й н ы х е е л и ч п п. !(усть (Х„ Х„..., Х„) — система непрерывнык случайкыл величин с плотностью Г(х„хз, ..., х„), а с. в. У равна ил сумме: Г' = ~Х). (Ч.,).5) гл, а здконы гдспгвдвлвкия Функция 364 Функция у х,+ ~, х; (прп х(=сопв4; ~=2, ..., л)' является монотонной функцией аргумента х,. Следовательно, применяя тот )ке преем, что и в случае суммирования двул с,в.
(и. 9.4), получим о Р$ С(У) ) ( -1) ) 1П2, ° °,и (Х1 ~ Хдг ° ° ю Хп) а)Х1 Х /А, „,п(х,..., хп) ((хд... ((хп. Из соображений симметрии последнюю формулу можно переписать в виде: и У- Л Х( 1 1 о» оо ((оод) Д (У) ) (и-1) ) ) 21)1,1„,.,1-1,А+1...„п (ХД(Х1~ ' ' ' оо оо ,, ° 2 Хд 1~ ХА.(.1~ . ~ Хп) 2(ХА) 11 2,. А-1,1+!„,,п(хду, . ° хд-1 хд+1) ., х,) (гх1... 22хд-121хд+1 ... ггхп.
Дпфферепцируя последнюго формулу по у, получим: оо ° о и О(О)-1 -О ) ( *„...,О-„2-О(*ь"„...,*.)П Х(Гх1 ° ° . 2(хд-1(гхд+1 ° . ° (Гхп (9.5Я) Если случайные величипы независимы, то оо оо и 2(о)- ) -») ((*.)...) — (*-)! у — Ьп)... оо 40 ... ~„(хп) 0х ... дхд 1йхд1.1... с)х„. (9.5.7) Формула (9.5.7) выражает композицию и ааконов распределения и может быть ааписапа в символическом виде а-~,«Ь....
~.. (9,5.7')' Задача 2. Закон распределения линейной функции я случайпыл величин. Найдедг функцию распределения и плотность распределения зов Гл. а зАБОны РАспРеделенпя Функций Формулы (9.5.9) и (9.5.11) 11оя1по объединить в одну « «1««1- ««, 1 - 1 «(««,— <А «Р ««~/ „ Г -«« «« «г а х„..., х„) с'х, ... 1(хл (9 5 12) Исходя пз симметрии аадачп, формулу (9.5.12) можно переписать в виде: «« «1«1- «",1«-»11<*„".*.-„««"- -«« -«Ю — ~~", а1х1+ Ь аы хз+„. хР 1/х1 . 1(ха-11/хи+1 ..1/хА 1=1 (й=1,2,..., и). (9.513) Если с. в.
Х«(1 = 1, 2, ..., и) независимы, то «« « б(у) = в1дпаз ) Р-и ) /1(х,)... /Д, 1(х1 1) Х / А Х Л~ р/пА — ~ Х Й1х1 + Ь ль 11 Р1(ха+1) ° «! ... /„(х,) 1(х1... Нха 1г/хь+1... 1(х„. (9=1, 2,..., и). (9.5.14) Пример 1. Рассматривается работа и ТУ, которые включаются последовательпо: сперва работает ТУ„ватем ТУ, и т. д.
Время Т безотказной работы ТУ, распределено по показательному закону с параметром А., и не аависнт от времени работы других ТУ (1'=1, 2, ... и). Время Т1.1 безотказной работы такой системы получится сложением времен работы отдельных ТУ: «« Т,„,=Х ть Найти закон распределения и числовые характеристики с.в. Т1„„т. е. произвести композицию и показательных ваконов распределении с параметрами А„).„..., )„.
9.5. ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ СЛУ~1АВНЫХ ВЕЛИЧИН 367 Р е ш е н и е. Введем следуАощие обозначения 7,,=7,+Т;, 7! Аь = 7! 2+ 73, ..., 71 ! ... А = 7$2,. А-1+ ТА, Закон распределения каждой из введенных с. в. представляет собой композицию законов распределения. Методом математической индукции мох.но доказать, что п.р. суммы и независимых с. в. Т„Т„.. л Т„, распределенпых по показательным законам с параметрами й„й„..
л Х„ имеет внд л -А;! ~оо() =( — ()л-'П), ,'~, ' «~0); (9.5Л5) = и(; —,) А=! АЯ! ф. р. случайной величины Ткч определяется так: С(л! (С) = д Йл! (!) НГ л =(-~) - пй,Х 3- ь,П (х,.— ХА) (г ~ 0). (9.5.16) А=! А ул! Закон распределения с.в. Тко называется о бобщеппым аа коком Эрла ига и-го порядка. Для обобщенного закона дрланга л-го порядка и. о. и дисперсия равны: 7 л 1 л М(7,„,) -М~~ Т,~-,"» —,'; ! 0[Т(„!) =Р~ ~' ТА~ ~' —,. (9,5Л7) А-1 Обобщенными законами Эрланга и-го порядка удобно аппроксимировать различные законы распределения неотрицательных случайных величин, Зев ГЛ. 3, ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНПЯ ФУНКЦИИ При Л, = Л, =... Л„=Л получаем закон Эрланга и-го порлдка (и 1, 2, ...), рассмотренный в и.
6.4: яга>(1)- е "= ЛР(л — 1, Л1) (1>0), Л (Хс) > ->з с Ссл>(1) ) ЛР(п — 1, Лс) с>1 = 1 — гс (и — 1, Лг) (1) 0), (9.5.18) где Р(й а) а е %>; В(т, а) = ~~ Р(>с, а). Ес а В соответствии с формулами (9.518) можно доказать следующие свойства функций Р(й, а) и сс(я>, а): — Р(й, а); Л(й, а) =~Р(Л, а)с[а; а а 00 1 — Л(й, а) = ) Р(>с, а) с[а; ) Р(й, а) сса >с> (оо, а) = 1; о о с>Р (>с, а) с>' а — — з)1 (Ус, а) = Р(й — 1, а.) — Р()с, а) (/с ) О). с>а > (9.5.19) ,Числовые характеристики с.
в. Тс., распределенной по закону Эрланга и-го порядка, равны: М [Тса>[ - -1 0 [Тса>) = —.,; о [Тса>[ = — ". (9.5.20) Закон Эрланга л-го порядка тесно связан со стационарным пуассоновскпм потоком с интенсивностью Л. Случайная величина Тсам распределенная по атому закону, 'ссн тс тз тз рвс. 9.5.2 представляет собой интервал времени, содержащий и интервалов менсду событиямн в этом потоке (рнс.
9.5.2). На рис. 9.5.3 иаображено семейство ваконов Эрланга и-го порядка для и 1, 2, ..., 5, б и Л 1. При п 1 мы получаем показательный закон. 9.9. ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ СЛУЧАИИЫХ ВЕЛИЧИН 3ев 77 Рис. 9.5.3 в инженерных приложениях часто используют я о р м ироваппый заков Эрл апта и-го порядка, по которому распределена с. в. Т1,1' (9.5.21) Применяя формулу (91.10) для п.р.
линейной функции с. Ел получим: лс (л>,1>" 1 — Ы й>„>(г) = пд1„>(лг) 1 > е "' (1)0). Обозиачим Х„Ы, тогда Х. (Х")" ' 1„ У1п>(1) — " " С и' - ЛпР(П вЂ” 1, )1пГ); (л — 1)1 а „> (Г) = ) у(„> (1) 1(Г = 1 — Л (л — 1, Х Г).
9 (9.5,22) В следующей главе будет доказапо, что при увеличепии п закон Эрланга и-го порядка неограничепно приблия<ается к пормальпому. Определенным «неудобством» при примепении закона Эрлапга пго порядка является увеличение м.о. и дисперсии с.в. Т1„, с увеличением и (см. (9.5.20)). Поэтому в70 ГЛ. К ЗАКОНЫ РЛСНРГДГЛГННЯ ФУНКЦН<Г Формулы (9.5.22) определяют плотность и ф.
р. и о рмированпого закона Эрлапга и-го порядка; числовые характеристики с. в. ТГЯ = Т<„,!и найдем вынося 1!п из-под знака м.о. и (lп' из-под знака дисперсии: 1 - 1 - 1 М[Т<90) =М(Т«О)/и = —; [)[Т<„>) = —,,; о[Т«О[ = —. т ЯЛ" (9.5.23) Из этих формул видно, что с увеличением и м.о. случайной величины Т<., не меняется, ее с.к.о. Неограниченно у м си ьп< а ется; соответственно, коэффициент вариации стремится к пулю. Па рвс. 9.5.4 рас. 9 5д изображено семейство нормированных законов Эрлаяга длян 1,2,3,4,5,6в)< — 1.
Плотность с. в. Т<„, (или Т,„,), распределенной по вакону Эрлапга л-го порядка, представляет собой частный случаи гамма-распределения (и. 6.4) при и целом. Следовательно, характеристическая функция с. в, Т<, будет определяться по форт<ухе 7л б«о(х) = <Х вЂ” <х<" эл. Функция песке!!ъких сзучлипых вечпчия зт! а для с. в. Тоо — по формуле Х„ 6<и>(х) (й ' )П „— / " )".
(9.5.25) (!,и — ах>" (и — схЯ/ Предел этого выражения, как известно из курса математики, )ппби(х) = Ип! ( ". ) = е ! !"~~! = е!"~~. (9.5.26) и и ~ю !,и !х/Х/ Следовательно, при я — ° с. в. Т<„, «стремится» (точнее — сходится по вероятности) к неслучайной величипе 1/й ~Т<и! — 1/Й, так как предельное выражение для У характеристической функции совпадает с характеристической функцией песлучайпой величины (8.9.6).~ П р и мер 2. Найти закон распроделепия суммы трех независимых с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
