Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 53
Текст из файла (страница 53)
У имела ааданное распределение3 В практике работы с ЗВМ исходной случайной величиной Х является непрерывная с.в. Х, распределенная с постоянной плотностью на интервале (О, Ц: )1 при х~(0, 1),)е) Пусть мы хотим, чтобы путем функционального преобрааования У ф(Х) иа нее получилась с. в. с заданной ф. р, 6(р). Докажем, что для этого надо подвергнуть т с. в. Х функциопальному х=н1„) преобразованию У 6 '(Х)', (9,2.2) х <х х где 6 (х) — функция, об- 1 1 ратная требуемой функ- и у рю ео). Изобразим функцшо у<у распределения 6(у) на Рпс. 9.2.1 графике (ряс, 9.2.1). Если эта функция неп~ерывпа и строго монотонна, то и обратная функция 6 (х) также непрерывна, В атом случае функция распределения с.
в. У о<к> О1т) Р(У~у)=Р(Х(6(у)) ~ )(х)с)х ~ 1 с(х=6(р), (9.2.3) что и требовалось доказать. «) Значение такой с. в. получают на ЭВМ с помощью так называемых «датчикоа случайных чисел» (или «псездослучайных кисель), 249 ГЛ, », ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ Следовательно, для получения значения у непрерывной с. в. У с функцией распределения 6(у) нужно поступать следу1ощим образом: 1. «Разыграть» на ЭВМ зпаченио х с. в.
Х, распределенной равномерно на интервале (0,1) (программа ВА1(ВО для ЕС ЭВМ, программа ВАЯВ() для ЭВМ СМ 4, операторы ВА1)ВОМ1ЕЕ, В1(П для персональных ЭВМ). 2. Найти обратную функцию 6-'(х) по отношению к 6(у) и вычислить значение у с.в. У по формуле у=6 '(х). Если с.в.
У дискретная, то ее ф.р. 6(у) представляет собой ступенчатую функцию (рис. 9.2.2) и обратная функция 6-'(х) не однозначна. Поэтому формула (9.2.2) 6<у) пп Рп-1 хР1 Рг Рз у» уа "' "1 у11 уп-1 "и Рис. 9.2.2 не может быть применена для получения значения с. в. У. Ранее в и.
З.З было показано, что Р(У вЂ” у1) = р« (1 =1,..., п) равно величине скачка ф.р. 6(у) в точке у< (рис. 9.2.2). Таким образом, участок оси ординат от 0 до 1 можно разбить на п непересекающихся отрезков: А1(01 Р1)> Аз (Рзм Р1+ Рз)1 Аз = (Р1 + Рз" Р1 + Рз + Рз)' ° ° ° 1 А1 = (Рз+ Рз + ° * + Р1-1~ Р1 + Рз + ° ° ° + Р«)~ ° ° ° ~ Ап ~ ! и-1 ~ ~ Р;; 1; (9.2.4) 1-1 при этом длина 1-го отрезка А, равна Р1 (1=1, 2, ..., Н)', Тогда можно предложить следузощий способ «розыгрыша» значения у с.в.
У, имеющей ряд распределения У ».2. ПОЛУЧЕНИЕ СЛУЧАйНОй ВЕЛИЧИНЫ 349 1. Разбить интервал (О, 1) на непересекающиеся участки Л1 (1 1, 2, ..., и) длиной р„р„..., р.. 2. «Разыграть» на ВВМ значение х с.в. Х, распределенной равномерно в интервале (О, 1). 3. Определить, какому из интервалов г»< принадлежит значение х с.в. Х. Если х «и ггь то с.в. г' = Уь Действительно, Р +Р.
+" +Р« Р(Х ~ Ь1) ) ~(х) 11х = $ р„— $ р„= р,= Р,+Р,+,. +Р1, «=1 " 1=1 = Р (У вЂ” у,) (1 = 1, 2,..., л). Заметим, что указанный способ разбиения не единственно возможный, но его можно предложить как наиболее простой. Если с. в. г' смешанная, то ее ф. р. 6(у) имеет скачки, горизонтальные участки и участки монотонного возрастании (рис. 9.2.3). На рис. 9.2.3 изобралгена функция с(у 'г г Р« лг рг т, Ряс. 9.2.3 распределения смешанной с.в. г', имеющая три дискретных значения (у„у„у,) с вероятпостямн р„р„р„два участка непрерывного возрастания: (уо уг); (уе у) и один горизонтальный участок (у„у»).
В случае смешанной с. в. г' поступают следующим образом: 1. Разбивают интервал (О, 1) на й + 1 непересекающихся интервалов, где Й вЂ” число дискретных значений с.в. г', 1 — число участков, где функция 6(у) непрерывна и строго монотонна. Порядок такого разбиения показан на рис. 9.2.3. 2.
«Разыгрывают» на ЭВМ значение х с.в. Х, распределенной равномерно на участке (О, 1). або гл. », законы гаспгкдвлкния эвикция 3. Если значение х с. в. Х попадает на интервал Ь~ (х «н Л;), отвечающий скачку функции распределения в точке у,, то полагают У = у, (« = 1, 2, ..., й). 4. Если значение х с.в. Х попадает на интервал Ль на котором 6(у) непрерывно возрастает, то полагают у С, '(х) (1= 1, 2,..., 1), (9.2,5) где 6» ' (х) — функция, обратная функции 6(у) иа )чм участке непрерывного возрастания.
Если необходимо получить апачения у„у,, ..., у. системы непрерывных с. в. (уо у„..., у„), имеющей функцию распределения 6(у„у,, ..., У.), то поступают следующим образом. На основании формулы (7.8.14') запишем: 6»н (у«! у«) = ~ Лн(У» ! У«) «)Уа! СО 6»п,»(У»)У«У») = ~ 1»п,«(У»)У«У«) "Уз ° ° ° Правило получения значений у„ у„ ..., у. системы с.в. (Уо у», ..., у.) сводится к следующему: 1.
«Разыгрывается» значение х, с.в. Х„распределенной равномерно в интервале (О, 1), н по ф.р. С,(у,) получаем у, — значение с. в. У,: У,=С, '(х,), где С, '(х,)— функция, обратная функции 6,(у). 2. Разыгрывается значение х, с. в. Х„распределенной равномерно в интервале (О, 1), и по ф. р Сн (у«!у ) — 1 получаем у, — значение с. в.
Р»' у»=6«!«(х, ! У«)~ где 6~~«~(х )у ) — функция, обратная функции Сц,(у»!у ) ° В качестве аргумента у, ф. р. Са,(у,!У,) берется то значение у„которое было получено в пункте 1. 3. Разыгрывается значение х, с. в. Х„распределенной равномерно в интервале (О, 1), и по ф. р Саь«(уз!уо у,) получаем у, — значение с. в. У,. В качестве аргументов у„у«ф р. 6«о,«(у«!уо у«) берутся значения у, и у„ полученные в пунктах 1, 2 и т. д. Если с.в. Уо У„..., 'г'„независимы, то 6(ро У«~ ° ° .. У~)= 6~(У~)'6«(У«) ..6~(У~). В атом случае задача упрощается. Разыгрывают зпаче- ол.
получении случАйион Взличипы 351 ние х, с.в. Х, и по ф.р. С,(у,) определяют значение у, с.в. У„аатем разыгрывают значение х, с.в. Х, и по ф. р, С,(р,) определя1от зпачел у, с. в. У, и т. д. Пример 1. Получить значение дискретной с. в. У, распределенной по закону Пуассона с параметром а =1. Решение. оо о-1 Р(У й) = — е ' = — (й = О, 1, 2, 3, ...). По формуле (9.2.4) находим интервалы 11.: Ь =(О, е ']; / 1-1 Л =~Д Р(У =й); ~'„Р(У=й) (1=1,2,3,...), о=о А=О 1 1 где ~~)~ Р(У = й) = ~~~ — е-'= Л(1, а); 12,=(0; 0,3679); й, =(0,3679; 0,7358); Л, =-(0,7358; 0,9197), ...
Пусть, например, в результате розыгрыша с. в. Х приняла значение х= 0,3758. Следовательно, х ш 1зо и значение у с. в. У будет равно единице (у = 1). ~ Пример 2. Получить значение с.в. У, распределенной по закону Релея с параметром о = 1. Решение. С(р)=1 — ехр(-у'/2) (р) О)'; С '(х) (-1п(1 — х)' 2)'" (0<х<1)'. Пусть например, в результате розыгрыша с. в. Х приняла значение х = 0,6738; тогда вначепие с.в. У будет у = (- 1и (1 — 0,6738) 2)п' ж 1,497. При ме р 3.
Выходное папрял1ение У стабилизатора имеет функцию распределения 0 при у(110; С(у)= Ф((у — 120)/10)+05 при 110(у~ 130; при 130о у, где Ф(х) — функция Лапласа, у выра>кается в вольтах. Преобразуя с.в. Х, распределенную равномерно на интервале (О, 1), разыграть значение с.
в. У, 352 ГЛ. 3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ Решение. С.в. У вЂ” смешанная: Р(У =110) = Ф( О ) + 0'5 0'1587 Р(У 130) = 0'5 Ф( о )- 0,1587, Графин 6(у) показан на рис. 9.2.4. Начинаем с розыгрыша значения х с.в. Х. Если зто значение попадет па интервал Ь, = (О; 0,1587], то У примет значение у = С<у> в = у~ = 110 [вольт]; если фзп пп1/,ц,в ~ х'- =Л~=(0,1587; 0,8413], то па [вольт], где Ф '(х)— функция, обратная функции Лапласа Ф(х); если х ы Л, =(0,8413; 1], то у = у,=130 [вольт]. Пусть, Рзс.
9.2.4 папрпмер, в результате розыгрыша с. в. Х приняла значение х = 0,7453, значит, х ы /1,; 0,7453 = Ф [(у — 120)/10] + 0,5' (у — 120)/10— = Ф ' (0,2453) = 0,66, п,ви п,в и, отсюда значение с. в. У будет у = 120 + 6,6 = 126,6 [вольт]. у, (у, [ у,) = — ехр ~— Решение. С,(у,]= 1 — ехр ( — у,/2) '(у, ~0), откуда у, 6, ~(х,) = — []п(1 — х,)] 2 (0(х,(1); С,(у,]у,)'= Ф(у, — у,)+ 0,5, откуда у, у,+Ф-'(х,— 0,5), П р и и е р 4. Разыграть значения у, и у, системы с.в.
(У„У,), если с.в. У, распределена по показательному закону с т„, 2, а с.в. У,— по нормальному закону; случайные величины У„У, зависимы: условная плотность с. в. У, при У, = у, равна В.з. Функция дВух случАнных АРгумкптов 353 Пусть в результате двукратного розыгрыша с.в. Х, и Х, припяли значения х, =0,3872 и х, 0,6387. Соответствующие пм значения у, и у, будут: у, = -1п (1 — 0,3872) 2 е-" 0,9794, у, = 0,9794+ Ф '(0,6387 — 0,5) ж 1,333.
~ 9.3. Законы распределения функции двух случайных аргументов Рассмотрим функци2о двух случайных аргументов у- р(ХВ Х,) (9.3.1)' и найдем функцию распределения с. в. )Р, считая известной плотность 1(х„х,) системы (Х„Хе). Сделаем гипотезу, состоящую в том, что Х>ю(х„хи+ + 2(х,). Вероятность атой гипотезы Р(Х, ен(х„х + Нх )) ж 1 еа ж 1,(х,) с2хр = ~ ) 1(х„х,) Р)хр дахр. В пРедположепии, что вта гипотеза имела место, найдем условную функцию распределения, т. е. условную вероятность события (У < У) ПРи Условии Хр хр: С (у ! х ) Р (г' ( у ) х,) = Р (рр (Х, Х,) ( у) 12(р (х, ~ х,) Зх„(9.3.2) (ер('2 н )<р) где 1„,(х,(х,)-1(х„хе)/1е(хе) — УсловпаЯ п.
Р. слУчайной величины Х,. Область интегрирования в (9.3.2)' определяется из условия, что при фиксированном значении переменной х, функция 2р(х„ х,) < у. Применяя интегральную формулу полной вероятности, получаем ее ~(У) - ~ ~(У(хр)12(хр)(ха = 2 ~*„*.2Н*,) и,. 2Е Е Е2 'А(е(н,,н.,)<р) И Теарин еерапенаееер и ее иниенернне припаиении 354 ГЛ. 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
