Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 48
Текст из файла (страница 48)
В» (8.6 10) Пример 2. С целью увеличения времени Т безотказной работы вычислительной системы (ВС) ее компо- 312 ГЛ. З. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКУЕРИСУИКИ ФУН1ЩИП нуют из двух независимо работающих ЭВМ, время безотказной работы которых равно Т, и Т,. Случайные величины Т, и Т, распределены по законам Эрланга й, и й, порядков с параметрами А, и 2,, соответственно. ВС считается работоспособной, если работает хотя бы одна из ЭВМ.
Следовательно, Т= шах1Т„Т,1. Найти числовые характеристики с.в. Т. Решение. По формулам (8.6.7)', (8.6.8)' имеем в а М [шах(Т„Тз)) = — '+ — „' — М [ш1п(Т„Т,И, (8,6Л1) 1 3 М [(шах (Т„Тз))'[ = — М [(пз1п(Т„Т,))з[, (8.6.12) ь1(/с1 + 1) ь (ь + 1) 1 3 где М [ш1п(Т„Тз)) и М [(ш[п(Т„Тз))з) определяются по формулам (8.6.5) и (8.6.6) соответственно. Если случайные величины Т, н Т, распределены по показательным законам с параметрами 2, и 2,, (Й, = й, = 1), то 8.7. Числовые характеристики модулей функций случайных величин Задача 1.
Случайная величина у [Х-л[, (8.7Л) где Х вЂ” непрерывная с.в. с плотностью 1(х), а — неслучайная величина. Требуется найти числовые характеристики т„и )7„с.в. У. Решение. Функция 1а — Х при Х(а; Р=[Х- [-~ ' (8,7.2) (Х вЂ” а при Х) а М [шах(Т, Тз)) 21 М Яшах (Т„Т,))') "1 Р [шах (Т„Т,)) 1 1 1 + — — —; 2 Х +Ь~' 2 2 + з 2$ (х, + л,)" 1 3 з,' (л, + 2,)' ЗЛ, ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МОДУЛЯ 313 следовательно, ОО о т„= ~ [ х — а [ 7' (х) с]х ~ (а — х) 7'(х) Ых + М Оо СО СО + ] (х — а) ] (х) Ых = а [2Р (а) — 1] + 2 ] х7 (х) с]х — т„; (8.7.3) осе [у] = ] [х — а]'1(х) Нх= ~ (х — а)'7(х)ах 00 00 ссз [Х] — 2атк + ае, (8.7.4) где сс,[Х] — второй начальный момент с.в.
Х, т„— ее м.о. й П р и м е р 1. Ремонтная бригада располагается в точке а линейного участка газопровода, длина которого 1 (рис. 8.7 1). Известна плотность распределения 7(х) а Х х 0 Рис. 8.7Д Рнс. 8.7.2 случайной точки Х на газопроводе, где возникает неисправность. Кривая распределения 7'(х) приведена на рис. 8.7.2 е). Найти характеристики с.в, à — расстояния до места расположения неисправности, которое необходимо проехать ремонтной бригаде. Решение.
Случайная величина У определяется по формуле (8.7 1), а характеристики — по формулам (8.7.3)' и (8.7.4). Если неисправность на газопроводе возникает с постоянной плотностью вероятности в любой его точке, то ~(х) 1~1 при х ен (О, 1); О при х(1; Р(х) = х/1 при хен(О, 1); 1 при х> 1. е) Эта кривая распределении имеет нелинейный характер, тзк как некоторые участки газопровода чаще выходят из строя, чем другие. 344 ГЛ. З. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ В атом случае (2а ] (' а» а — »а+»~/2 т„= а»г — — 11 + 2] — дх — —, У 'г» ],]» 2» а (О ( а ( 1).
Найдем величину а „, при которой т„достигает минимального значения: дт„/да (2а — 1)/1 0; а,»а = //2; т,„ //4. Ф Заметим, что если ремонтную бригаду располагать па одном из концов линейного участка газопровода (а =-О или а 1), то в атом случае т„1/2, т. е. среднее расстояние увеличится в два раза. Найдем остальные характеристики: аз(У] = аз(Х] — 2ат„ + аз Р/3 — о] + аз; Ру = аз (У] — т, 'Р/3 — а] + аз — (а' — /а + )з/2)з/!з, При а = 0(или а 1); Рта = Р/12; оза = ]/У12.
Мы видим, что при расположении ремонтной бригады на одном из концов линейного участка газопровода среднее квадратическое отклонение расстояния от места расположения бригады до места расположения неисправности также увеличивается в два раза по сравнению с минимальным. й Задача 2. Рассмотрим модуль ра з пост к с.в. У= ]Х, — Х,], где Х, и Х, независимые непрерывные с.в., имеющие и.р. /,(х,) и /з(х ), Требуется найти числовые характеристики с.в. Г. Решение.
Рассмотрим гипотезу, состоящую в том, что Х, ю (х,; х, + дх,)'. Ее вероятность — элемент вероятности: Ях)дх. Условное м.о. случайной величины У при Х, х, было найдено в предыдущей вадаче 1 ((8.7.3)), где вместо величины о нужно подставить величину х,: аа М [У] Х х ] — х (2Р»(х ) — 1] + 2 ] хА(х,) дх, — т,, 'а (8.7.8) 8Л. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МОДУЛЯ 3!5 По формуле полного математического ожидания (8.1.20) получим со М [У) ) М [У[Х, х8[~8(х8)охх оо оо со ~ о 2 [ ос,'о,с!,Ьон,;-2 [ [[*,!,(*)с*~С,(*,)~,— со со х8 — Ягха — Я8хы '(8.7.6)' Из симметрии условий примера относительно величин Х, и Х, следует, что со Г оо со ) ~ ) хА(х,)Их,~/8(хх)ох = ) х,78(х,)7' (х,)Ых.
со оо ос Тогда со М [У[* 2 ) х8Р,(х,)18(х,)г[х8+ оо + 2 ) х,й'8 (х,) ~, (х,) Нх, — тх, — и„,. (8,7,7) со Так как выражение случайной величины У симметрично относительно Х, и Х,, то формулу (8.7.7) можно переписать в другом виде: оо М [У) 2 ) х,Р (х ) ~,(х,) Ых, + со /со с.с [ ([,с,о)н~)с,ь,)с*,— —,, (сссс со ос Второй начальный момент случайной величины У можно найти непосредственно: Уа [Х,— Х [8 (Х вЂ” Х,) Х',— 2Х Х + Х,'. Так как случайные величины неаависимы, то аа[У) ° М[У8[ М [Х',— 2Х,Х + Х~~] = Р, + Рха + (т,, — т„,)8.
(8,7,9) Рт-ах[У) -т'„. ~ 816 гл. з. числОВые хАРАктеРистнки Функции 1 те 2~х1 — ' — Нх1+ 2 ) ) х,— Их —,Ихг — 2— о О й1 По формуле (8.7.9)' находим а,[г) Р,1 +Р„, Р/6, откуда Ру а, [)') — тут Р/18; оу — — 'г'Р„= 1/(3 'г' 2). Время Т = У/Р, следовательно, М [Т) = М [)'[/и = 1/(Зи); П [Т) - О [Г)/" - 11/(18Р1); п[Т) =)/Р[Т) = 1/(3 У'2 и), [и Пример 4. Рассматривается система п неаависн- мых одинаково распределенных нормальных с. в. (Х„ Х„..., Х„) с характеристиками: ти,.
О; о„, = и Требуется найти характеристики: м.о. и дисперсии- следующих функций этих с.в.: и а) у„= ',рх,', 1 1 (8.7 10) П р и м е р 3. Анализируется поиск информации па магнитной ленте. Начало записи располагается с равной вероятностью в любой точке Х, на магнитной ленте длиной 1 м (рнс. 8.7.3). Головка лентопротяжного механизма в момент начала поиска с равной вероятностью находится в любой точке Х, магнитной ленты.
Скорость перемотки ленты постоянная ,х х и равна и. Определить и. о. и дисперсию времени Т перевода Рис. 8.7.8 головки из точки Х, в точку Х,. Рещение. Очевидно, что в данном случае 11 (х,) 11 (х,) 1/1 (х, ен (О, 1); х, ~ (О, 1)); Рассмотрим с.в. У= [Х, — Х,[ — расстояние между Х, и Х,. По формуле (8.7.8) находим зл, числовые хАРАктеРисти1Б1 мОдуля 317 а 2„= — ~~ Х, =У„(п; и~ » 1 В.- ХХ, '"-(У.)"; в 1,1/3 » 1 б) (8.7,11) (8.7.12) в) (8.7ЛЗ) г) Р вше низ. а) Обозначим Х» = Уи найдем характеристики У,: тгч М (У»] М [ХЯ аз; 0 (У»] М [(У» — т„»)'~ = М [УЯ вЂ” 2тз»М [У»] + + т„', М [У~»] — т„',, В соответствии с формулой (6.3Л2)' М [УЛ М [ХИ За', откуда 0 (У»] = 0 [ХЯ = За — 4 = 2а».
Следовательно, М ]У„],'Я М [Х»1 па', » 1 (8.7Л4) 0 [Уз] ~'.~ 0 [Х»~ = 2иа4. » 1 (8.7,15) б) с.в. З„связана линейной зависимостью со с.з. У„: 2„У„/и, следовательно, М(2„] = М(У' ]/и=а', 0 [2„] = 0 (У„](из = 2а»/и. (8.7Л7) (8.7Л8) в) Закон распределения и числовые характеристики с. в.
Л„были определены в п, 7.10 ((7Л0.36) — (7Л0.38) ), Если а = 1, то распределение случайной величины У„ называются )(' (»хи квадрата) — распределением, тогда М ()(4] и; 0 (тз] 2п. (8.7.16) 313 ГЛ. З '!ИСЛОВЫЕ ХЛГАКТЕРИСТИКН ФУНКЦИЯ (8,7.19) (8.7.20) г) с.в. У„связана со с.в. В„линейной зависимостью 1г„= В„/Уп; следовательно, М(У.) = М()(,л~п1 о(у,) =()(в.)~ . ~ Случайные величины У„, 8„, Л„и у'„, рассмотренные в этом пункте, находят широкое применение в математической статистике. 8.8. Комплексные случайные величины При изучении различных случайных явлений в ряде случаев бывает удобно пользоваться к о м п л е к с н ы м и случайными величинами, Комплексной случайной величиной называется с.в. вида: Х = Х, + 1Х„ (8.8Л)' где Х„Х,— действительные случайные величины, У-т — мнимая единица. Случайная величина Х, нааывается действительной частью, а случайная величина Х, — мнимой частью комплексной с.
в. Х. Комплексная случайная величина Х Х, — 1Х, (8.8.2) называется сопряженной с комплексной с.в. Х. ~1 / Комплексную с. В. Х ИОИВО Рас. 8.8Л изобразить случайной точкой с координатами (Х„ Х,) нли случайным вектором Л на комплексной плоскости х,Ох, (рис. 8.8.1). Случайная величина Л вЂ” длина случайного радиуса- вектора В, нааывается л1одулем (или абсолютной величиной) комплексной с.в. Х: Л =)Х) )/ Х', + Х, '= )l Х Х. (8.8.8) Случанная величина В является действительной.
Случайный угол О, который случайяый радиус-вектор Н образует с положнтальпым направлением оси Ох„называется аргументом комплексной случайной величины 8.8. КОМПЛЕКСНЫЕ СЛУЧАВНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ З1Е Х. Действятельная с.в. 0 определяется из выражения: х, 0 = агсьй — ". (8,8,4) Х Математическим ожиданием комплексной случайной величины Х = Х, + ~«6 называется комплексное число то = тк + ~т„,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
