Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 45
Текст из файла (страница 45)
1.3). Найти и. о. случайной величины р*, ео дисперсию и с. к. о. Пользуясь «правилом трех сигма», найти диапазон практически возможных значений с.в. Р«. Проверить, укладывается лн частота появления герба при в=660 бросаниях, полученная в примере из п. 1.3, в этот диапазон. Решение. Согласно решению задачи 8 данно»оо п. имеем: М [Р*! = Р = 0,5; 0[Р ! — — 4 17 10 О,з О,Е ж о[Р*[ = у!) [Р*! Ер 2,04 10 '; Зо [р*! ж 0,0612. ~р Терри ееро еноеяеи и ее инженерние приложения 290 гл 3.
числовые ХАРАктеРистики Функпнй Диапазон практически возможных значений с. э. р~: 0,5 ~ 0,061, т. е. от 0,439 до 0,561; результат р» = 0,505, полученный в примере иэ и. 1.3, в этот диапазон укладывается. й П р и м е р 8. Для уточнения определения массы тела на точных весах производят л = 40 взвешиваний и осрсдняют нх результаты: где Х~ — реаультат 1-го взвешивания. Систематической ошибки весы не дают. Среднее квадратическое отклонение одного взвешивания равно о -3 (мг). Найти средпее квадратическое отклонение случайной величины у— среднего арифметического из л = 40 взвешиваний. Р е ш е н и е. Согласно решению задачи 7 данного пункта (формула (8.3.16) )' пэ = — — ж 0,474 (мг). й С„З Пример 9.
Сколько раэ нужно произвести взвешивание тела в условиях примера 8 для того, чтобы среднее квадратическое отклопенне с. в. У не превышало ,0,1 (мг)7 Решение. Имеем: отсюда г л )о — , 'п > 900. Итак, достаточно н 900 взвешиваний. $» П р и и е р 10. В партии из Ж изделий имеется К доброкачественных и (Ф вЂ” К) дефектных. Из этой партии наугад выбираются я изделий без возвращения. Определить м.о. и дисперсию числа Х доброкачественных изделий среди я выбранных.
Решение. Очевидно, с.в. Х имеет гипергеометрическое распределение с параметрамн а К; Ь У вЂ” К; в. В соответствии с формулами (8.3.12) и (8.3.13) получим: зл. числовыв хзглктвгистики глзных егпкции 29( Р(Х)= ' ' +и(и — 1)~ л К (К вЂ” К) )К(К вЂ” 1] К 1 Л'~ ~Ф (У вЂ” 1) Кз 1 пК()т — К) / и — 1'1 Если рассматривать с.в. У вЂ” число дефектныл изделий среди и выбранных, то У=и — Х; М(У)=и — М(Х)= и (К вЂ” К) 0 (У) = 0 (Х). 8.4. Числовые характеристики часто встречаюп(ихся в инженерной практике функций случайных величин Задача 1.
Числовые характе р и с тики м инимальной из двух величин: случайной Х и неслучайной а. Имеется непрерывная с. в. Хс плотностью 1(х); с. в. У связана с Х зависимостью: У ппп (Х, а), (8.4.1) где а — неслучайная величина. Найти числовые характернсти- р ки — м,о. и дисперсию — с.в. У. Решение. Соотношение (8.4Л) можно записать в виде: Х при Х(а, (8.4.2) ГраФик функции у=ш(п(х, а) покааан на рис.
8.4.1. По формуле (8ЛЛО) для непрерывной с.в. с плотностью Дх) находим м.о. случайной величины У: ОО О т„М (У) ) ш1п(х, а)1(х)Нх= ) х1(х)Ых+ ° О ОО ОО О + а) 1'(х)Нх ) х('(х)Их+ а(1 — Р(а)), (8.4.3) а ОФ где (г(х) - функция распределения с. в. Х, я 202 ГЛ. а ЧНСЛОВЫВ Х)>вантивиотини Фтпнцип По формуле (81.12) находим второй начальный момент с.в.
У> ОФ а, Щ М [:Р[ ~ (ш>п(х, а))11(х) <[х СЮ а са а ) зз) (х)([х+ аз ~1(х) <[х ) за) (х) ((х+ а»(1 — г" (а)). '(8,4.4) Откуда 0 [У) аз [У'3 - и'„. (8.4.5) Найти характеристики и„и Р„напряжения У на выходе ограничителя. Решение. По формуле (8.4.8)' ( — )Ч ° ) е ~2я 1 2а» "[-'-)-' ")- а ' а < > т~> а — о т (Ф (т) + 0,5) + — ехр ( — — )1(, (8.4.8) 3/2яя Если с.в. Х дискретна и имеет ряд распределения Р(Х х») (< 1, 2, ..а и), то а (а) а я>т ~~'„) шш(х<, а) р< = 3 х<р<+ а ~ р<, (8,4.6) <-1 <-1 <-(а)+1 где (а)'-номер максимального иа возможных значенпй с. в. Х, которое не больше <и х<,> ( а.
Аналогично найдем (а) и а [»') = ~ ха<р<+ аз ~ р». [в (8,4,7) < 1 <-(а)+1 Пример 1. Напряжение Х, подаваемое на вход ограничителя, распределено по нормальному закону с параметрамн и, и о„. Ограничитель работает по принципу У ш[п(Х, а).
ел, числовыв хАгАкткгистпки газных акпкции ЗЗ где т (а — т„)/о.; Ф(х) — функция Лапласа. Дисперсию находим через второй начальный момент: 0 ( (* — ,) ] †.~,У2. [ е о ~/2я ! 2ех д Х 2о +опт т + а' [0,5 — Ф(т)] — " " е т, (8.4.9) ~/Ы (а)0 и целое).
(8.4.12) в Р„= а, [У] — т„' = от (1 + т') [Ф (т) + 0,5] + — е 2я ,в ~е — т(Ф(т)+ 0,5) + =е ' ~ . (8.4.10) ~/2я Если т,=а, то т 0; т т„— о„/У2я; Р„о„'(и— — 1)~(2я). ~ П р и м е р 2. В ВЦ эа смену поступает случайное число Х информационных документов (ИД), подчиненное аакону Пуассона с параметром М [Х] т„. Число ИД У, обрабатываемых в ВЦ в смену, не может превышать величины а (целое число): У=пил(Х, а). Найти харак- теристики случайной величины У. Решение. По формуле (8.4.6) а ь ь "~х -ю мх -т т ~~ й — е "+а,~ — е" * ы ,й~ ы а=о А а+! й-1 А=о т„В (а — 1, т„) + а (1 — В (а, т„)), (8.4.11) аь где Н (я, а) 7, — е-'*.
м Заметим, что мы доказали равенство а Х ',", т„— е " т„.й (а — 1, т„) 284 гл. а числовыв хлглкткгпстикн э1пкпип Е1"„ Если а=О, то т, а — ", е "= О. Для пахождения вели- А О чины а, [У) найдем (с учетом равенства (8.4.12)) следующее выражение: о а иА Х""„" "- * йо о -1о„~ ~(й 1+ 1) х -т 1А — 1)! А О А=1 „,А-1 о АА-1 А=1 1=1 = и'„В(а — 2, и„) + т„В(а — 1, т„), (8,4,13) где а>1. Следовательно, А ИХ -О1 О1„щ а [У[-,~ йв — е "+а' д, — е й~ е'о И А1 А о+1 т„'В(а — 2, т„) + т,В(а — 1, т„)+ а'(1 — В(а, и„)). (8,4 14) Откуда 0 [У[ еоо [У[ — ио т'„В (а — 2„т„) + т,В (а — 1, и„) + + ао(1 — В (а, т„)) — то [В(а — 1, т„))1 — а'[1 — В(а, и„)]'— — 2т„аВ (а — 1, т )[1 — В (а, т„)[ (а > 1).
~ (8.4.15) Задача 2. Числовые хара к тернета к и ма ксимальной из двух величин: случайной Х н неслучайной а. Имеется непрерывная с. в. Х с плотностью 1(х). С.в. Я связана с Х аависи мастью Я = шах (Х, а) [Х при Х> а. (8.4 16) Рис. 8.4.2 График функции Я = щах (Х, а) показан на рис. 8.4.2, где а имеет тот же смысл, что и в вадаче 1 этого пункта. Найти числовые характеристики: и. о. и дисперсию Я. 8А, ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗПЫХ ФУНКПНЯ 995 Р е ш е н и е. По аналогии с решением задачи 1 этого пункта имеем: т, М[2[ = а ) )(х)(>х+ ) х7(х)(>х = ар(а) + ) х7'(х) 3>х, (8.4.17) а, [Я) = а>Р(а) + ) х>/(х) ((х. (8.4.18) и Если с.
в. Х дискретна, то (а) п л>,=М[2[=а~ р;+ ~ хрк (=1 1=(а)+1 (а) и с(1 [2) = аз ~ р( + „ч) х'";ро 1=1 $=(а)+1 (8.4.18) (8.4.20) а ОФ ЯО ° а т, а ~ 7'(х) ([х + ~ х7'(х) ([х + а~ 7'(х) ([х — а ~ ) (х) ([х + Оа а а а а а + ) х7'(х) ((х — ) х7'(х)(>х = а + та — та. (8.4.22) Аналогично найдем величину а>[7[ через у>ко пайдениу(о величину и>[У) (см. (8.4.4) ): О СО аз[Я[ а' ~ 1(х)([х+ ~ха/(х)([ха а а' + и)а + о„— а, [У[. (8.4(.23) Дисперсию найдем по формуле О [2) а, [я[ — тз. (8.4,21) П р и м е р 3.
При сборке электронной схемы применяется реаистор, имеющий случайное сопротивление, распределенное по нормальному аакону с параметрами т. и о.; при этом отбирается только такой резистор, у которого сопротивление не менее заданного а. Таким образом, сопротивление отобранного резистора 2 шах(Х, а). Найти числовые характеристики случайной величины Я вЂ” резистора, отобранного для установки в схеме. Решение. Выразим величину и, через у>ко найденную величину га„(см. (8.4.3) ): 288 гл. з, числовык х»гькткгистики оьч(кции Учитывая, что с. в. Х распределена нормально с параметрами т.
и о„, имеем: т, = т„+ о„[т(Ф (т) + 0,5) + ехр( — '~ )/У2п] (8 4.24) а„[Я] = аь (Ф (т) + 0,5] + (т„' + о~) (0,5 — Ф (т)) + + (2оит„+ о„'т) ехрЫУ2к, (8.4.25) где т=(а — т„)/о„, Ф(х) — 'функция Лапласа. Задача 3. Случайная величина у определяется следующим образом через случайную величину Х: у а при Х<а, Х при а<Х<Ь, Ь при Ь< Х.
(8.4.26) График втой зависимости представлен на рпс. 8.4.3. Рис. 8.4.3 Зная закон распределения случайной величины Х, найти числовые характеристики случайной величины у. Р е ш е н и е. Если случайнан величина Х непрерывна, то т„аР (Х < а) + ~ х) (х) ([х + ЬР (Ь < Х) = а ь аР (а) + ) х)(х)([х + Ь [1 — и" (Ь)], (8 4 27) а ь а, [У] = а'Р(а) + ) х-"7'(х)([х+ Ь'[1 — Р(Ь)]; (8.4.28) и О [У] = а,[У] — т', где 7'(х) — плотность чины Х.
Если Х дискретна, (а) ти —— а~ р( >=> (а) аь[ц=аз2; р; (аа распределения случайной велп- то (ь> и + ~ х(р> + Ь Х рн (8.4.29) (=(а)ь) (=(Ы+ ь (и) и + ~ч"„х';р( + Ь' ~ р(, (8,4.30) (=(и>+) (=(ь>+( зл. числОВые хАРАктегист1ппг РАзпых Фгпкш1п 297 где (а) — помер максимального пз возможных значений случайной величины Х, меньшего (или равного) а, (Ь)— номер минимального из возможных значений случайной величины Х, большего, чем Ь; рь = Р (Х = хь). 8» П р и м е р 4. На вход стабилизатора подается напряжение Х, имеющее нормальное распределение с параметрами т„, о„. Стабилизатор работает по алгоритму (8.4.26). Найти характеристики на выходе стабилизатора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
