Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Решение. Обозначим У шш(У, а), (8.5 17) Тогда У *„~ Х„ В соответствии с решением задачи 1 этого п. (см. '(8.5.4)' и (8.510)): т, ° т, т„; Р, лооЮо+ т„По. Величины ло, и Р, была определены в задаче 1 я, 8,4 ((8.4,6) и (8,4.7) ): то М [ш[п(У, а)) ~ йро + а ~ р„, (8.5.18) О=О О «+1 о о со [У) М [(нйп(У,а))о) = ~~ хор„+ ао ~ р„, (8,5,19) А=О Й о+1 По ао [У[ — и,'о где ро Р(У й) (й 0,1,...,Ь)- закон распределения случайной величины У. ~ Рассмотрим инженерное приложениа этой задачи. П р и м е р 5.
В ВЦ еясесуточно поступает случайное чпсло У информационных документов (ИД), распределенное по закону Пуассона с параметром а; обработке подлежит не более а ИД; каждый ИД имеет случайное число знаков Х1 с характеристиками ло. и Р,. Требуется определить числовые характеристики случайной величины Я вЂ” числа знаков, вводимых в ВЦ в течение суток, зл ХАРАктеРистики суммы случАйнОГО числА 305 Решение. По условию рА Р(Г'=й) =и"е '",>»[. Откуда (см.
(8.412)) а т,= ~ йр +а ~ рз=иЛ(а — 1;и)+а[1 — В(а,и)], з=о з= +1 (8.5.20) где В(а,и) -Р(У(а) — распределение случайной величины У, подчиненной закону Пуассона с параметром а. В соответствии с формулой (8.4.14) имеем и>Я и'Л(а — 2, и)+иЛ(а — 1, и)+а'[1 — В(а, и)], (8.5.21) откуда П, и, [>>] — тт изЛ (а — 2> и) + иВ (а — 1, и) + + аз [1 — В(а,и)] — и'[В(а — 1,и)]'— — 2аиВ (а — 1, и) [1 — В (а, и)] — ат [1 — В (а, и)]'. (8.5.22) Приведем численный нрнмер: т„и 100 (ИД в сутки) т,* 500 (знаков); с„100 (знаков); а=и 100.
Характеристики потока поступающих в ВЦ доку ментов и распределение числа знаков в ИД такие же, как и в примере 1 этого пункта, но в нашем случае вводится в ВЦ в сутки не более 100 ИД (а 100), В п. 10.2 будет показано, что при больших значениях параметра и имеет место приближенное равенство (10.2.27): В(т, и) = Ф((т+ 0,5- и)/)и)+ 0,5; Ф(х)'- функция Лапласа; проведем расчеты: Л(и — 1,и)м0,5+ Ф~ + ' )= 0,5+ Ф( — — '~)ж Р>а ж 0,5 — 0,02 0,48; В(и,и)ж0,5+Ф~ + ' ) 0,5+Ф(1'О)т а ж 0,5 + 0,02 0,52; Л(и — 2,и)ж0,5+ Ф(" + ' )-0>5+ Ф( — т'о)т а ж 0,5 — 0,06 — 0,44. 300 гл. 8. числОВые хлгактегпстпки Фтнкппп Следовательно, т, = 100 0,48 + 100 (1 — 0,52) = 48 + 48 = 96; ст,[У) 100'0,44 + 100 0,48 + 100' 0,48 = 9248; Р„ = аз[У) — т~ = 9218 — 9216 = 32.
Таким образом: т, = т, т„= 96 500 48000 (знаков); Р, ттР, + т,Р„= 250000 32+ 96 10 000 ж896 10" о, 1/Р, ж 2993; коэффициент вариации 2993 — * = — = 0 0624. т 40000 Мы видим, что по сравнению с условиями примера 1, среднее число вводимых в ВЦ знаков снизилось относительно мало (было 50000 — стало 48000), но коэффициент вариации изменился сильно (был 0,102 — стал 0,0624), т.
е. общее число знаков стало почти не случайным. $» 8.6. Числовые характеристики минимальной и максимальной ив двух случайных величин Задача 1. Случайная величина У определяется как минимальная из двух с.в.: У ш[п (Х„Х,), где Х, и Х, независимые непрерывные случайные величины с плотностями ~,(х,) н 1,(х,). Найти числовые характеристика случайной величины У. Решение. Рассмотрим гипотеау, состоящую в том, что случайная величина Х, попала в элементарный интервал (х„х, + с[х,)," вероятность этой гипотезы есть элемент вероятности 1,(х,) 11хь Найдем условное и.
о. случайной величины У при этой гипотезе по формуле '(8.4.3), заменяя в ней величину а на хи 1(х) на ~,(х,) и Р(х) на Р,(х,)1 М[У[хз1 ) хА(х)1[х1+ ха[1 — Р1(хз)1. ОЭ ВВ. ХАРАКТЕРИСТИКИ МИНИМУМА И МАКСИМУМА 3О7 Тогда по интегральной формуле полного математического ожидания (8.1.20) получим: М [Ц = М [ш! о (Х„ХВ)] = ) М [)' [ хх[ 1В (хз) пхз = У Х — [ [[ .ы*,и*,) и*.) а*.- 0 СО + ~ хз [1 РА (хз)[ ~В (хз) Ыхз пх1 + л хз бЭ ОΠ— ) х,РВ (х,) ~, (х,) Ых, — ) хаг, (хз) 7В (ха) г[х .
(8 6.1) По формуле (8 1.22) найдем а,[Г]: ах [К[ = М [(ппп(Х,, ХВ)) [ = СВВ [Л1[ + ВВВ [ХВ[ х — ~ х",рз (х,) у, (х,) Нх, — $ ххах, (х,) ~В (х,) с[х„(8,6,2) где а,[Х,], а,[ХД вЂ” вторые начальные моменты случайных величин Х, и Х, соответственно. Дисперсию найдем по формуле 0 [)') аз [У[ — (М К[)В, Если случайные величины Х, и Х, распределены одинаково, то Ю М [г'[ = 2лз„— 2 ) хг" (х) 7'(х) ох, (8.6.3) 00 ОО ВВВ [Ц 2иа [Х) — 2 ) хзг" (х) 7'(х) Ых. > (8.6.4) ОР Пример 1. Для повышения надежности срабатывания автоматической парашютной системы установлено два радиовысотомера, работающие независимо друг от друга. Оба высотомера настроены на срабатывание на высоте Ь; ошибка измерения высоты распределена равномерно в пределах зоны нечувствительности радиовысотомера ~Л, систематических ошибок нет.
Надел(ность работы каждого высотомера равна р = 1 — о. Автоматиче- 3О3 Гл. з, числовые хАРАктеРистики Функции ская система срабатывает, как только один из высотомеров покажет значение высоте, равное Ь. Требуется определить математическое ожидание и дисперсию высоты У, на которой срабатывает автоматическая парашютная система. Решение.
Рассмотрим две гипотезы: Н, автоматическая парашютная система срабатывает при исправной работе обеих высотомеров, Н, — автоматическая система сработает при исправной работе одного из высотомеров. Очевидно, Р(Н ) = р'((ро + 2ро); Р(Н,) = 2ру~(ро + 2рф. Обоаначим с. в.
Ун, — высоту срабатывания парашютной системы при наличии гипотезы Н,. Следовательно, Ун, — ш(п (Хм Хо), где Х„Х, — независимые, одинаково распределенные с. в., распределенные равномерно в интервале (Ь вЂ” Ь; Ь + Л). Для упрощения вычислений введем центрнрованные случайные величины о о Х, Х,— Ь; Х, Х,— Ь. Плотность и функция распределения центрированных слу- чайных величин: ~(х) (~(2Л) при х ен ( — Л, Ь); О при х( — Ь; Р(х) = (х+ Л)/(2й) при хан (- Ь, Ь); прн х) Ь. В этом случае о о ий и (Х, Х ) = пп'и (Хо Хо) + Ь, По формулам (8.6.3), (8.6.4), находим Ь +л М [ш(п (Х„Хо)) 2 0 — 2 ) х — — Ых = — —, 2Ь 2Ь 3 ' -'Ь и о а+ь 1 Ьо М [(ш(п(Х„ХЬ))о) = 2 соо [Х) — 2 ) хо — — Их -Ь з.о, хАРАктегистики минимумА и мАксимумА 399 Следователько, о о Ь. М ~Ун,] =М[ш!п(Х„Хо)) =М[га[п(Х„Хо)+й)-й- —; до М [Уйо1 М [(ш(п (Х„Хо))') = йо — 2 — й -)- —; О [Уяо] = М [У',] — (М [Уяо])о Очевидно, что М [У~,] й; П ~У~,] = — „ так как при гипотезе Н, работает только один высотомер.
Следовательно, М[У) М~У~,] Р(Н,)+ М[Уво] Р(Н,) о й —— З,оо -[- 2Рт' М!У') М[У)г,] Р(Н,)+ М[УЦ Р(Н,) Д о 2ЬЙ р = — + й' — —.— 3 3 ',Р+2Р, откуда до дз о П [У[ М [Ут) (М [У[)о Р 3 9 го+ 2Рт' Обычно вероятность срабатывания высотомера в парашютных системах довольно высока, поэтому величина р'/(р'+ 2рд) близка к единице.
Например, если р 0,9999, то ро/(р*+ 2рд) 0,9998, Поэтому с достаточной точностью можно считать, что Д Ь. До 2 2 М [У) й — — т„— —; С) [У[ = — —, = Р„.— 3 " 3' 3 3 " 3' где и, и Р,— математическое ожидание и дисперсия высоты срабатывания каждого высотомера. )ь П р и и е р 2. Лнализируется работа вычкслптельной системы (ВС), состоящей из двух блоков, работаоощих пезависпмо друг от друга. Время безотказной работы Т, и Т, блоков — независимые случайные величины, распределенные по законам Эрланга й, и й, порядков с па- ЗЩ ГЛ. З. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ раметрами Х, и А, соответственно. Для работы ВС безусловно необходима работа каждого блока.
Требуется найти характеристики времени Т беаотказной работы ВС. Решение. Очевидно, что Т=ш1в(Т„Т,). В и. 6.4 было показано, что плотность и функция распределения случайной величины То распределенной по аакону Эрланга к, поРЯДка с паРаметРом )1ь опРеДелЯютсн по формулам /1(г) = ) 1 Р11)"1 ' е и 1(й; — 1)14 А1-1 Р1(1) =1 — ~ (Лф)" е 1 /и! (1 = 1,2).
В=О Воспользуемся формулой (8.6.1) и найдем интеграл вида ) ТР,(т)/,(1) и= СО Ь;1 Ь -1 Заметим, что М (Т1) = л1/А1; М (Тз) = лз/Аз. Следовательно, по формуле (8.6.1) получим: М (ш!в (Т„Т1)) 11-1 (" — ')'(~ +" ) ' 11-1 С помощью аналогичного приема получим: М ((ппп (Т„ Тз))1) = 11-1 „„,.„,„,," Л, ° ~,. ) зя.
хАРАкткгистики минимумА и мАксимумА 3!$ В частности, когда случайные величины Т, и Т, распределены по показательным законам с параметрами д, и А, (й, 1, х, 1), получим: М [пйп (Т1, Тз)] — —; М [(ш]п (Т„Т8))8]- ь1+лз' " ' (А,+ь,)8' 0[ш1п(Т„Т8)] —,. ф» (ь,+ ь,)' Задача 2. Случайная величина У представляет собой максимальную из двух случайных величин: Т шах (Х„Х,), где Х„Х8 — независимые непрерывные случайные величины с плотностями 1,(х,) и 1,(х8). Найти числовые характеристики случайной величины г.
решение. Применяя прием, использованный в задаче 1 этого пункта и пользуясь формулами (8.417) и ,(8.4,18), получим М [1'] М [шах(Х, Хз)] я8,, + т, — М (ш1п(Х„Х )] ОФ ОЭ ) х,Р8 (хг) 1, (х,) сЬ, + ) хз]г, (х,) 18 (хз) Щ (8,6,7) ЮР СО М [УА] М ((шах (Х„Х8))8] пз [Х1] + аз [Хз] — М [(ш1в (Х1, Хз))~] ° ) хгРА(х,)~1(х,)дх1+ ) х8'Р1(х8)~8(хз)Ыхз. (8.6.8) Если случайные величины Х„Х, распределены одинако- во, то ЕФ М[)'] М [шах(Х„ХА)] 2 ) хР(х)1(х)Ых; - (8.6.9) ОО М [У'] М [(п1ах (Х„Х,))'] 2 ] ззР(х) Дх) Ых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
