Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(8.8.5) Центрированной комплексной случайной величиной называется случайная величина о о о Х = Х вЂ” т„= Х, — т„+ г («8 — т„,) = Х + ~«8, (8.8.0) о о где Х„Х8 — действительные центрированные случайные величины. Дисперсией комплексной с.в. Х = Х, + 3Х, называется м.о. Квадрата модуля соответствующей центрировап- НОЙ С. ВЛ (8,8.7) Р„= О [Х[ — М [[Х[') = М[ХХ), О О 6 где Х= Х,— ~«8.
Найдем произведение 6 6 6 6 6 6 6 6 ХХ-(Х, + 8«6)(«д — 8Х,) = Хд+ Х,'. (8.8.8) Пользуясь теоремой сложения математических ожиданий, которая доказана в и. 8.2, а именно: м.о. суммы с.в. равно сумме их математических ожиданий, получим: Р„-М[ХХ) = М[«', + «,'[-М[Х',1+ М[Х,'1- Р + Р„,, (8.8.9) т. е. дисперсия комплексной с.в. есть действительное неотрицательное число, равное сумме дисперсий действительной н мнимой части.
В соответствии с формулами (8.8.3) и (8.8.4) случайную величину Х моокно выразить через полярные координаты гг, 0 случайной точки Х на плоскости х,ОВ8 Х Нсоз0+Язшй. (8.8ЛО) 331 Гл. 3. ч11словые хлРлктеРистики Функция Пользуясь формулами Зйлера, выражение (8.8.10) можно записать в виде Х = йе", (8.8.1 1) Рассмотрим две комплексных с.вл Х = Х, + 1Х„У = У, + 1У,. (8.8.12) Ковариаиией Ко двух комплексных с.в. Х и У называется м.о. произведения центрированпой коыплекспой о с.
в. Х на центрированную комплексно-сопряженную о с.в. У: о о о о о о Кхв = М (ХУ) М ((Х1 + 1Хо)(У1 — !Уо)) о о о о оо оо — М (Х,У, + Х,У, + 1(Х,У, — Х1Уо)]. Пользуясь теоремой слоокения математических оя1нданий и вынося неслучайный мпоокитель 1 за зпак математического ожидания (см. и. 8.2) получим: Кхо = Кх,о, + Кх,о, + 1(К»,о, — Кх,у,), (8.8.13) ГДе Кх,о,— коваРиаЦнЯ Действительных с.
в. Х, и У, (1= 1, 2; )=1, 2). Ковариация двух комплексных с.в. Х и У является в общем случае комплексным числом. Особо отметим, что определенная таким образом коварнацня К, двух комплексных с.в. Х и У не ранна ковариации Кх» двух комплексных с.в. У и Х. Проводя аналогичные преобразования для Кх» получим: Кв = К,о, + Кх,в„— 1(К»,о, — Кх,р,) = К,о» (8.8 14) т. е, ковариаиня двух комплексных с.в. У и Х равна комплексно сопряженной ковариаиии двух комплексия.с с.в. Х и У. Комплексные с.в. Х и У называ1отся независимыми, если независимы их действительные и мнимые части, т.е.
лл», »(хо хо уи у») = ~ (хо х») ' /о(у» уо)'. (8.8.15); В атом случае 8.9, ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 321 и выполняется условие: м [х у] = м [х] м [у] = = (М [Х,] + рм [Х,]) (М [У,] + рм [У;]), (8.8Л7) т.е. м.о. произведепия комплексных независимых с.в. равно произведению и. о. зтпх с. в. 8.9. Характеристическая фупкция случайной величины и ее свойства Для доказательства цептральной предельной теоремы, которое будет изложепо в п. 10.2, А.
М. Ляпунов ввел м е т о д х а р а к т е р и с т и ч е с к и х ф у и к ц и й, который нашел широкое применение при решении различных вероятностных аадач. Рассмотрим комплекспую с.в. У = вн = ехр (йХ], (8.9Л)' где Х вЂ” действительпая с.в., закал распределения которой известен, 8 — параметр, 1= 7-1 — миимая единица. Характеристической уеункоивй с.в.
Х называется м.о. комплексной с.в. У: О, (р) = М [У] = М [ветх]. (8.9.2) О„(е) = ~~Р вп Р (8.9.3) 8-1 для непрерывпой с.в. Х с плотпостью 7(х1= каи интеграл: 6„(1) = ) в' "7'(х)ах. ео (8,9,4) теорие еерояеноеееи и ее ин:кенерии нрияо.кении Характеристическая функция безразмерна, а параметр т имеет размерпость, обратную размеряостп с.в. Х.
Пользуясь формулами (8.8ЛО) и (8.8Л1), можно показать, что комплексная с.в. У (8.9Л) представляет собой едипичпый радиус-вектор со случайным углом гх па комплексной плоскости. Следовательно, М [У] такяре представляет собой единичный вектор, но с неслучайным углом па комплексной плоскости, откуда 16 (р) ] <1. Для дискретной с.в. Х, принимающей зкачепия х„ х„..., хи с вероятпостямп рн рь ..., р, характеристическая функция определяется как сумма: Звз гл. а числовык хлвлктвгистики етнкцпя й ) =- ~ ~ О-( )е ""од (8.9.5) Характеристическая функция неслучайной ве.тичппы а равна О.
(1) = еи*, (8.9,6)' Выведем основные свойства характеристической фупкцип. $. Характеристическая функция с.в. 2 =аХ+ 6 выраясается через характеристическую функцию О.(1) с.в. Х формулой О,(г) М [еим~~~~[ = е' 'О„(аг). (8.9.7) 2. Кслн у с.в. Х существует начальный момент й-го порядка а„!Х), то существует к-я производная характеристической функции и выражается формулой О~х~ (г) Ы (еих) г~М [Х еи 1 (В) При ~- О получим: О~и (О) = гмм [Х"] = гми (Х).
Откуда а„(Х) = О~~~ (0) г ~, (8.9.8) 3. Характеристическая амуниция суммы независимых случайных величин Х„..., Х„равна произведению характеристических яункоций слагаемых. Действительно, пусть 2=АХ„ А=1 и заданы характеристические функции О,(г) с. в. Х„(й = $, ..., и). Требуется найти характеристическую функ- Таким образом., характеристическая функция О,(~) .;епрерывной с.в. представляет собой преобразоваьио Фурье плотности распределения и одпозпачпо опроделяс.сн этой плотностью.
Отсюда следует, что плотность распределения )(х) также одпозгы иго выражается через характеристическую фувкцн1о О„(г) обратным преобразоьаннем Фурье: 9 9. ХАРАктеРистическая Функция ззз цию 6.(1) с.в. 2. По теореме умножения м,о. (8.2.23)' получим: а р(рр-м~. р(ОХ х1)-м(Д рзрх1~- 1=1 1-1 Д М [ехр(11Х1)) = Д Охь(1). (8.9,9) Мм.1 1-1 4. Из свойств 1 н 3 следует, что если 7 ~~.", аАХА + Ь 1=1 и с.в.
Х„Х„..., Х„, ..., Х„независимы, то д, (1) = ехр (11Ь)п дхх (а11). (8.9АО) П р и м е р 1. Найти характеристические функции следующих случайных величин: 1) с.в. Х„принимахощей значение 0 и 1 с вероятностями д и р (р+ д 1) — индикатора события А, происходящего с вероятностью р; 2) с.в. Х„распределенной по биномиальному закону с параметрами п и р; 3) с.в. Х„распределенной по аакону Пуассона с параметром а; 4) с.в. Х„ име1ощей геометрическое распределение с параметром р; 5) с.в.
Х„ распределенной с постоянной плотностью па участке (а, Ь); 6) с.в. Х„ распределенной по нормальному закону с параметрами ги„ и о„; 7) с.в. Х,, распределенной по закону Коши, симмет- 1 рпчпому относительно точки а с плотностью 1(х) ,, (~)0)1 1+ (х — а) ррх 8) с. в. Х„имеющей распределение Лапласа, симметричное относительно точки а с плотностью 1 (х) !х-а! = —,',е ' (Ь)О); 9) с.в. Х„имеющей гамма-распределение с параметрами п и )р (см.
(6.4А) ); 10) с.в, Хмм подчиненной показательному закону с параметром Х с плотностью 7(х)= Ае '* ()1 ) О; х) 0). 324 Гл 8 числОВые хАРАктегистики Функции Решение. 1. Так как с.в. Х, принимает зпачения О и 1 с вероятностями д и р, то 6, ($) = еа 'д + еи 'р = д + ре". (8.9.11) 2. Вероятность Р того, что с.в. Х,=по (т= О, 1, ... ..., и) определяется по формуле Р = С„"р д" '", следовательно, п п»иСи»,и и,и ~ Си (реое)и»ди- (д+ рен)и (8 9 12) и»=о 3. Вероятность того, что с.в. Х, =/о (/е-О, 1, 2, ...) определяется по формуле Р,=а"е '//о[, следовательно, ее О (е) ч~ моо -а/ь! А=о еа П ~и(аен)А Е П е-а.еае'~ ~» е-а»к = е а(г-е~)е (8 9 13) и! А=О так как ~е (аеее)о//о! = с" ' при [аеп [( со.
о 8 4. Вероятность того, что с.в. Х,-/о (/о О, 1, 2...), определяется по формуле р, = д'р, следовательно, е е» 6 (е) ~ е""дор = [р/(1 — де»е)) ~ (дек)" (1 — де") = о=о о=-о р/(1 — ден), (8.9.14) е так как ~ (де'е)" (1 — дап) = 1. А о 5. Плотность с.в. Х„распределенной равномерно на интервале (а, Ь), определяется по формуле /(х) = 1/(Ь вЂ” а) (хеи(а, Ь)), следовательно: 6 (е) = ~ ео"е/х/(Ь вЂ” а) = (еоо — ека)/(!!Ь вЂ” Ва) = а 2 е»»<о+оно 8!о ( —, Г)~ [(Ь а) ![. (8.9.15) 8.8. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 325 6. Плотность с. в.
Х„распредолеппой нормально с параметрами т и а, определяется по формуле /(х) = (х — «!) = ехр( — з, слеДовательпо а '$~2я '( 2о 0 !х-а) ( е нх е (х — а=у 0 (1) "=е ео Ых=] ) а )/2и ах = Еу се 3 е пт Г ну— е е па за е(у а у!2и о )/2и ...;" -,-~" — "-"")' а ~/ п у — па =з~ Ыу = !)з =! хз !заз ! за! е за Н!ив е ' ) ' !]х=е ', (8.9 тб) а ']/Б~ Следовательно, 1 ( еихух ] (х — а)/а = у ~ иа У 1-) (х — а)з/а' ( Ых = аЕУ е еие ! е!!ау — ) — !(у е'"- У) *). (8,9Л8) 1+ уз юе епау ") В (6] показано, что — ) — 'ау =е "").
1+уз так как последнее подыитегральпое вырая!еиие представляет собой пормальпуго плотность с параметрами т= 0; а и интеграл от пое в бескопечпых пределах равеп единице. 7. Плотность с.в. Х„распределенной по закову Коши, симметричному отпосительпо точки а, мояспо записать в виде /( ) — 1 . 1, ( — оо ~х сан, а) 0). (8.9.ее7) иа 1+ (х — а) /а 328 ГЛ.
З. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКтЕРИСтИКИ ФУНКЦИИ 8. Плотность с.в. Х„распределенной по закону Лапласа, симметричному относительно точки а, имеет вид: (х-а~ /(х) 2ь е ( — оо(х(со, Ь)0). (8,919) Следовательно, аа 1 (' их -1х-арь„! (х — а)/Ь = У ~ аа о СО =2.) 1 ( иЬО+и — щ, а11а1 1 О1ИЬ+П, ( -Ьь-ИЬ+П, 31 и =з~,) аа О> о В первом интеграле проведем замену переменных р(ИЬ+1) и, во втором р(1 — 1/Ь) У. В этом случае о аа ,11Г1 до(1) —,~ ) е"ь/и/(1+ ПЬ)+ ~е ~ьЬ/(1 — 1/Ь)) = а о еиа/(1 + (/Ь)о).
(8.9.20) 9. Плотность с.в. Х„име1ощей гамма-распределение с параметрами и и )ь, опроделяется по формуле /(х) = А(Хх)" 'е ИГ(п) (х > 0; А > 0; и > 1), (8.9.21)' где а) Г(и) = ) х" 'е '"г/х (в~~1) (8,9,22) о — известная гамма-функция. При и цолом Г(и) =(н — 1)! (е > 1). Следовательно, СО 0 (/) ~ еи"Л"х" 'е ь/х/Г(п) ~ ) «'! ах = аУ٠— Рй ) о аа о так как интеграл равен Г(и) (см. (8.9.22) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
