Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 44
Текст из файла (страница 44)
е, дисперсия частоты события в и независимых однородных опытах равна роlп, где а=1 — р — вероятпость пепоявлепия события в одном опыте. ~ Задача 9. Математическое ол«идаяие и дисперсия числа опытов до )сто появлеи к я с о б ы т и я А. Производится ряд пезависимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Опыты ведутся до тех пор, пока событие А пе появится й раз, после чего опыты прекращаются.
Найти м.о. и дисперсию случайпой величины У'"' — число опытов, которое будет проведено. Решение. Представим с.в. Г'"' в виде суммы: ь У вЂ”',ь', Х $ где Х, — число опытов до первого появлепия событкя Л (включал первое появление события Л); Х, — число опытов от 1-го до 2-го появления события Л (включая 2-е); Х,— число опытов от (1 — 1)-го до 1-го появления события А (включая 1-е); Х, — число опытов от (и — 1)-го до й-го появления события А (включал й-е), Из п. 5.3 мы внаем, что с.в.
Х, имеет «геометрическое+ 1» распределение с параметрами т = Ур и В 234 гл. з. числовые ХАРАктеРистики Функции = д/р». Но точно такое же распределение с томи же па- раметрами имеет и каждая из остальных с.в. Х, (1* -2, ..., й). Отсюда м[У' ] Хц -ыр. 1 1 [) (у2»2] ~~ ч)р» (8.3.20) На рис. 8.ЗА показана зависимость 2 (т)'. Для наглядности (и только) точки соедннены отрезками прямых. После достижения результата А опыты прекращаются. Случайная величина У вЂ” число опытов, которое придется произвести. Найти м. о.
и дисперСк«О С.В. У. Решение. Допустим временно, что опыты неограниченно продолжаются и после тогзи го, как достигнут результат А. Рвс. 8,3.1 Назовем 1Е11 опыт «необходимым», если до него результат А еще не был достигнут, н «излишним», если уже был достигнут. Рассмотрим случайную величину (Г1, равную 1, если 1-й опыт необходим, и О, если излишен (индикатор «необходимости» Ого опыта): 1, если 1-й опыт необходим, ь11 = О, если 1-й опыт излишен, Задача 10. Числовые характеристики числа опытов, пуп«пего для получения заданногоо результата А. Производится ряд опытов, в общем случае — зависимых, с целью достижения заданного результата А.
С возрастанием числа опытов т вероятность достия«ения результата А, естественно, не убывает. Задана неубыва«ощая функция целочисленного аргумента л« = О, 1, 2...: 6(т) — Р(при первых и» опытах событие А появилось хотя бы один раз). 8.8 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ О ХАРАКТЕРИСТИКАХ 2ЗЗ п ли, что равносильно, 1, если в предыдущих 1 — 1 опытах результат А (г1 = не достигнут, О, если достигнут. Ряд распределения с. в.
У1; ~п О 1) ][1 п1О1 Н ~ (8 3 21) Заметим, что У, всегда равна 1 (первый опыт всегда не- обходим). По ряду распределения (8.3.21) находим: М [(.Г1] = О 6 (1 — 1) + 1 [ 1 — 6 (1 — 1)] = 1 — С (1 — 1). Очевидно, интересующая нас величина У есть общее число необходимых опытов, то есть У- ~ (Г». 1 1 Найдем и.о. и дисперсию с.в. У. По теореме сложе- ния математических ожиданий ОФ ОЭ М[У]= ХМ[~Г1! — „'Р [1 — а(1 — 1)]- Х [1 — а( Ц. 1-1 ' 1=1 1А=О Итак, М [У! 2~~ [1 — С(т)]. (8.3.22) та Е Для нахождения дисперсии вычислим сначала второй начальный момент с.в. У: а1[У]-М[У1]=М ~(Г1 Возводя сумму в квадрат, имеем < ~~.", сГ1 ) — ~ П1 + 2 ~ О'11Гг1о 1 1 1 1 1<1 ' Таким образом, Г' 1 СО а, [У] - М ~ Х П8 ~ + 2М ~Х (Г;и;1 =,'Р М [иЦ + 1-1 0<1 3 + 2 Х М [(Г101! (8 3 23) 1<1 235 ГЛ 8 о!ИСЛОВЫЯ ХАРЛНТГРНСТИ!<И ФУПКШ!и Согласно ряду распределения (8.3.2!) М]ЕУ';] = О С(1 — 1)+ 1']! — С(1 — 1)] = 1 — С(1 — 1).
(8.3.21) Найдем М[1у1(у;] при 1(у. Случайная величина (у.(у! тоже имеет два возможных значения: О н 1. Она равна единице, только если обе случайные величины равны единице: (У1= (У!= 1, т. е. если об!а опыта — у-й и у-й— необходимы; для этого требуется, чтобы более поздний опыт — у-й — был необходим, а вероятность этого равна 1 — С(у — 1). Ряд распределения с. в. КУ, (ос у) пчсет вид: О 4 1(У ]а(у — ту]! — с!у — Н ~. Откуда М [(у1(уу] = 1 — С (у — 1) (1( у). (8Л25) Сумма ~ М[(У1(У;] представляет собой двойную сумку по!= 1, 2, 3, ...
и по У=1+1, !+ 2, 1+3..л О ХМ[(У1(Уу] = Х Х М[Ид3у] (8.328) Подставим вырансения (8.3.24) — (8.3.26) в (8.3.23) а, [х ] = ~ (1 — С(1 — 1)) + 2 Ъ ~~ (1 — С(у — 1))— ~=1 \=1 1- 1О 1 ,"~~ (1 — С(т)) + 2 ~~~ т(1 — С(я1)), (8Л,27) о1=8 о1 =-о Следовательно, !у [У] а, [)'] — М [)'1] = ОО О сю )о ~~~ (1 — С(т)) + 2 ~о т(1 — С(т)) — ~ ~', (! — С(т))~ о! о о1 =-о в-о М [г ] (! — М [У]) + 2 ч', т (1 — С(т)). ~ (8Л.28) о =-о Рассмотрим ряд примеров на применение решенных выше задач.
8.8 ИРименение теоРем о хАРАктеРистикАх 237 Пример 1. Ведется наблюдение с помощью радиолокатора за группой, состоящей из пяти объектов, 1-й объект за время наблюдения обнаруживается с веролтностью р, (1= 1, 2, 3, 4, 5); р, = 0,1; р, 0,2; рб=03~ ра=Ор4; рб=0~5, Найти и.о.
числа объектов, которые будут обнаружены. Р е ш е н и е. Обозначим Х вЂ” число обнаруженных объектов, Согласно решению задачи 3, б М [Х) = ~ рб = 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 = 1,5. И П р и м е р 2. В условиях предыдущего примера известно, что события А, = (обнаружение Рго объекта) и Аб= (обнаружение )что объекта) зависимы. Кроме вероятностей рь заданы еще вероятности Ро обнаружения пары объектов: 1-го и у-го (1(7): Р,, 0,03; Рбл = 0,04; Р,, = 0,02; Р,, 0,04; Рба= 020; Р,,=021.
Найти м. о. и дисперсию числа Х обнаруженных объектов. Р е ш е п и е. М [Х) = 1,5, как и в примере 1. По формуле (8.3.10') В = ~~ рбд1 + 2 ~2Р~ (Р17 — рбр ) 1=1 1(1 = 0,1 0,9+ 0,2 0,8+ 0,3 0,7+ 0,4 0,6+ 0,5 ° 0,5+ + 2 [(0,03 — 0,02) + (0,04 — 0,03) + (0,02 — 0,04) + + (0,04 — 0,05) + (0,08 — 0,06) + (0,09 — 0,08) + + (0,09 — 0,10) + (0,08 — 0,12) + (0,20 — 0,15) + + (0,21 — 0,20)) = 1,01, у~ Припер 3.
Производвтся стрельба по резервуару с горючим независимымн выстрелами; вероятность попадания в резервуар прн каждом выстреле равна 0,2. Первый попавший в резервуар снаряд вызывает течь горючего, второй воспламеняет его. Как только произошло воспламенение, стрельба прекращается. Найти м.о., дисперсию 2яя гл. з числовые хАРАктеРистик$! Функций н с, к.о. числа Х снарядов, которое придется израсходовать.
Найти приближенно число снарядов !У, которое нужно иметь в распоряжении, чтобы их хватило для воспламенения реаервуара. Р е ш е н и е. Согласно решению задачи 9 Р„= — '. = 40; и„= У 40ж 6,32, оз' Максимальное практически возмоя<пое число снарядов, которое придется израсходовать, получим, прибавлял к М [Х) (из осторожности) не ЗО„, а 4а„и округляя до целых единиц: хвах 10 + 4 6,32 35. П р и мер 4. Проводится ряд тестов с целью локалиаации неисправности технического устройства (ТУ); после первого теста неисправность локализуется с вероятностью 0,2; после двух тестов — с вероятностью 0,6; после трех тестов — с вероятностью 0,9; четырех тестов всегда достаточно для локализации неисправности.
Случайная величина х' — число тестов, которое придется провести. Найти числовые характеристики с.в. У вЂ” м.о. и„, дисперсию Р„, с. к. о. о„. Р е ш е н и е. Этот пример можно решить, пользуясь результатами, полученными в задаче 10 этого п. В данном случае С(0)=0; С(1)=0,2; С(2) 0,6; С(3) = 0,9; С(4) = 1; С (т) = 1 прн т > 4. По формулам (8.3.22), (8.3.28): гл„= (1 — С(оп+ (1 — С(1))+ (1 — С(2))+ (1 — С(3)1= =1+08+04+0,1=23; ПР— т„(1 — тц) + 2 ~' гл(1 — С (т)) = 2,3 (1 — 2,3) + Ф=з + 2(0 1 + 1 0,8 + 2 0,4 + 3 0,1) = — 2,99 + 3,8 = 0,81, о„ = 0,9.
> П р им е р 5. Работают независимо друг от друга л = 20 накопителей на магнитных лептах (НМЛ). Вероятность выхода из строя в течение суток для каждого из НМЛ равна р = 0,2. Найти м.о., дисперсию и с. к.о. числа Х НМЛ, которые выйдут из строя в теченне суток.
з», пРимепеш»е теОРе»1 о хАРАктеРистнкАХ 289 Р е ш е н и е. Согласно решению задачи 3 М[Х! =ЕР-20 0,2 4; О [Х! = пре7 = 20 0,2 0,8 3,2; о„'е' р'.л„ж 1,79. Пример 6. Условия совпадарот с условнямн примера 5, но с той разницей, что НМЛ выходят из строя зависимо друг от друга; вероятность того, что выйдут нз строя 1-й и 7-й НМЛ для всех пар НМЛ одна и та я«е и равна Р = 0,05. Найти м.о., дисперсию и с.к.о. числа Х вышедших из строя за сутки НМЛ.
Решение. Математическое ожидание с.в. Х остается тем же, что и в примере 6: М [Х! = пр 4. Дисперсию найдем согласно решению задачи 5 (формула (8.3.11)). Поскольку все вероятности р, н Ре одинаковы: ре р=0,2 (1 1, 2, ..., 20); Ре, Р=0,05 (для всех 1Ф!), а число всех возмоншых пар НМ!! с различными номерамп (1(у) равно С,, — '=190; 20 19 1 2 формула (8.3,11) дает 0 [Х! 20 0,2 0,8+ 20 19(Р— р') = = 3,2 + 380(0,05 — 0,04) = 3,2+ 3,8 = 7,0, о[Х! = ~О [Х[ ж2,65. Пример 7. Производятся и=600 бросаний мопеты; случайная величина р« — частота появления герба: р* = Х!п, где Х вЂ” число появлений герба (и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
