Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Этот условный закон будет нормальным с харак- теристиками 7,!О. многомвгнов ногмАльнов РАспгвдклвннн 247 Условная плотность распределения с. в. Х„при условии, что Х, х„..., Х,, х. о Х,+,— — х,+„..., Х„-х„, равна М" '" "<-о"<+в" " 1("-"*;г*,)'! -(1(((/~0„(<()-р(--.' „*'" ). (71012( Х Ф< Вероятность попадания случайной точки (Х„ Х„ ... ..., Х„) в произвольную область 27 и-мерного пространства будет определяться по формуле (7.8.10) .
В случае, если нормально распределенные с. в. независимы, а область 77 представляет собой и-мерный прямоугольный параллелепи- ~--< — — ( <т ( а 7 пед Н„со сторонами, парил- ( 1 ( ( ( Р хх лельными координатным осям, ( -ь-х-2<'-(-4' (Р то вероятность попадания слу- ь' ( чайной точки (Х„Х„..., Х„) Д< в эту область выражается через функцию Лапласа: Рнс. 7.10.1 Р((Х Х ° Х( В( П[Ф(, ) Ф(, )1 (7.10Л3) где а„(2< — координаты границ прямоугольного параллелепипеда Н„в направлении осв Ох, (а<< (2<); в«, о<— м. о. и с.
к. о. случайной величины Х<, Ф(г) — функция Лапласа. Для п-3 область Н, показана на рис. 7.10.1. Если нормально распределенные с. в. независимы (некоррелнрованы) и при этом и<, 0 (1-1, 2, ..., и), то их п. р. может быть записана в таком виде: 7 (хх, ..., х„) Ф *0 ~ — —,Х,' ( — ') ), (7.10.14( (2я)Ф<г П о< которая называется канонической (простейшей) формой нормального закона системы л с. в.
(Х„..., Х.). Найдем вероятность 2(2„ попадания случайной точки (Х„ ..., Х ) в п-мерной гиперэллипсоид равной плотно- ИВ Гл, 7, системы случАйных Величин сти Вм уравнение которого можно получить из условия: ЛЕ1, ..., х„) = сопз1, откуда (7.10 15) При п = 2 получаем уравнение эллипса равной плотности в декартовой прямоугольной системе координат на плоскости е10х1 (рис. 7.10.2): о о Центр этого эллипса находится в начале координат, его полуоси равны: а,=йо„а, йо,. Вероятность Р = Р((Х„Х,) ~ Вь) попадания случайной точки (Х„л1) в такой эллипс была найдена в и.
7.9. жз а н„ а, Ряс. 7ЛОЗ Ряс. 7Л0.2 При и 3 получим уравнение эллнпсоида, равной плотности В„в декартовой прямоугольной системе координат в пространстве трех измерений 1 + 2 + 3 Центр этого эллипсоида находится в начале координат, его полуоси равны а, = о,й; а, о11с; о, о,й (рис. 7.10.3).
Найдем вероятность попадания случайной точки ,(Х„ Х„ Х,), распределенной нормально с параметрами л11 т1 = и, 0; а„ оз, о1, в эллипсоид равной плотности В„ по формуле: Р,-Р((Х„Х„Х,) ИВ„) 1!З. МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 249 В этом интеграле перейдем от декартовых координат ео Жзз Жз К ПОЛЯРНЫМ Гз фзз фз! л! = гиз(зр„!р,) 72 О! (!' 1, 2, 3), (7ЛОЛ6) где (7ЛОЛ7) Р! (зр„!р,) = сое !р, сое зр„' и,(!р„фз) сое !р,з!о !р,; Рз (зр„зр,) = в(п зр,. дз дз дг дф дз дз дг дф д.з д 3 дг д!р дз дзр дз дф д*з д!р ди й'20 и г'1/20 диз )/20«и г )/20 д— диз $ 20«зз г )/20« д 1 - Гз ( У2)'0,0,0«!и (!Р„ ди г 1/20— 1дф ди, г 1г20— з дзр диз г )г20— здр, !р,), (7.10.18) где !и(ф„фз) — некоторая функция углов поворота; в нашем случае ш (зр„!р,) = соз зр,.
Следовательно, Р = Р((Х„Х„Х ) ее В„) «/г з г ( )/2) 0 0 0 б ~р ' б (Р) «/и з ) б "г«ЫгХ) ') !0(зРМ зР,)ЖРИ«/('г'л)~! (7ЛОЛ9) з (пи) где Рб — область изменения углов ф, и ф,. Введем обо- значение Ьз = ) ~ щ(!р» зр,) Ифзйр,/(Ул)'. (7Л0,20) РЪ) Этим преобразованием координат эллипсоид В„превращается в сферу С с радиусом й/72 (й а,/О,; 1 =1, 2, 3).
В дальнейшем мы увидим, что конкретный вид функций и,(зр„зр,) (! 1, 2, 3) нам не потребуется. Якобиан преобразования равен 2оо гл. т. систвмы случАяиьсх Вкличин Следовательно, з/~ з Рз=Ьо ~ г'е "с(г, о При неограниченном увеличении эллипсоида равной плотности (й- ) Ро=1, откуда (см. (6.4.2) и (6.4.5)) 60 -1 О -1 с Г"-з ь,-() .-'о.) -~*-и-(-,~с 'а) ~2,) о о — ( —, Г ~1 + —.)) = =, (7.10.21) где Г(х) — гамма-функция. Этот прпем поэволил нам вычислить интеграл (7.10.20), чем мы воспольауемся в дальнейшем. Таким образом, '-+ (" "'-~"=Я-гЛ "' — "-- о о С=и; йс=~Ки; =~~ — се + ) е ссс = 2Ф(!с) — — ':/се "~'„ (/2л (7 10.22) где Ф(х) — функция Лапласа.
Найдем функцясо распределения с. в. Вз ° з з 3 Х, + Х, + Хо — расстояние от начала координат 0 до случайной точки (Х„Х,, Х,). Система с.в. (Х„Х„ Х,) распределена нормально с параметрамя т, лс, то 0; ас = о, оо о. Для этого достаточно в выражении (7.10.22) положить величину й гlа: Рз(г) = Р(Л г) = 2Ф~ — ") — =е ' ' (г)0). ") -Рт -й) (7,10,23) тло, мпогомеРнои нОРИАльнОе РлспРедилвнни 251 Дифференцируя (7.10.23), найдем плотность распределе- ния с. В.
Вз: Кз (г) г", (г) 2г'в ~~~~/ (оз У2я) (г) 0). (7 10,24) Полученный закон распределения носит название заколи Максвелла. Найдем вго характеристики: з(г) М[В,] ~ г7«(г)дг ) — ", в ' ' й " оз ')Г2к о о о )г2 г<з1~ о2 ~2~ргк ж1,64о! ОВ аз[В,] ~гз[з(г)Ы Зо', о 0 [Вз! = ссз [Вз] — (М [Вз])' ж 0,371о', и [Вз[ УО [Вз] ~ж Оо606о. (7.10.25) Перейдем к системе и нормально распределенных независимых случайных величин и найдем вероятность попадания случайной точки (Х„ Х„ ..., Х„) в я-мерный гипврзллипсоид В, (из, = 0; з = 1, 2, ...,и): Рз Р ((Хи Хз ° ° .з Хз) ве Вз) = ° ~со»') Дхм хз, ..., х ) о[хЩ ...
о)х„. (вз» Введем в и-мерном пространстве (х„х„..., х„) преобразование координат вида х~/(72ос) = г ио(сро ..., ~р„,), '(7.10.26)' гдв з 1мз г = » - г, (х;/а~)з ~ ~$ ~ 2лав (7.10,27) — «расстояние« от начала координат до точки (х„..., х„)' в и-мерном пространстве, и,(~ро ..., ~р„,) некоторая функция углов поворота ~ро ор„ ..., ~р з координатных осей Ох„ Ох„ ..., Ох„.
Этим преобразованием я-мерный гиперэллипсоид превращается в я-мерку«о гиперсфвру. Якобиан првобра- 252 Гл. 7, системы случАЙных Величин зования .У г" 1('у'2)" по) и)(1р„)ра, ..., )р„1)1 (7.10.28) 1 1 где п1(1р1...,. )р„1)-некоторая функция углов )р1, ...
° ° р 1Рл-1 Таким образом, мы свели задачу нахождения вероятности попадания случайной точки (Х„ Х„ ..., Х.) в гиперзллипсоид Ва, к задаче нахождения вероятности попа- 1 Я 1,1/1 дания конца случайного радиуса вектора В ( Х Х ) 1 1 в пределы гиперсферы: Р„Р((Х„..., Х„) ~ В„) а/Уа~ ) [1' ь1Г (У2) П Ь ~~~~ Ае[х з ))е 1-1 а/Уз х[ю )' [(2 )и 'П )11' ) Ь~ ы, где Ю, — область изменения углов поворота координат- ных осей; и Ьз ~< -1)~()У2) ПС1л)(<р1, ..., р„1)1Ьр (ое) 1-1 ... н,,~[~УИ)""1П.,1. Если неограниченно увеличивать гиперэллипсовд (й- -~е ), то 11ш Р ((Х, . „., Х„) ~ Ва) $, а+ю Следовательно, ') Ьз)" ге "ог $1 откуда Ьз 1 / ~ г" 'е ' 1(г, ( з тле.
многопланов поумальпоа Рлспввдклвник 253 В атом интеграле проведем аамепу переменных; Г' $; г 6; Й' С 'й/2; Фа 46 1 ~~ 3 1 ° '- ' - ' ° г" 'е "'Ыг ~св" '"Ре 'аг/2- ! ~гр в 'аг. о О ю Полученный интеграл представляет собой гамма-функ- цию (см. (6.4,2) ), следовательно, Ф„ 2/(Г(я/2)). На основании свойств гамма-функции (6,4.4)' и '(6.4.5), получаем 2!Й-1)! при и четном (л~в2), У2"+Я Уй(п — 2)()] при и- почетном (я~в 3), (7 10,29) где '(л — 2) Н 1 3 5 7 "'(я — 2)', '(ю/2 — 1)! 1 2 3 " .
° (и/2 - 1). При в > 2 - четном имеем (см, (6,4,11)) Р ((Хм ., „Хе) ы Ва) а/га (2/(л/2- 1)Ц ) г" 'в "Иг ~Ф де/2! а'/а ) л"М 'с "сЬ/(л/2 — 1)! 1-В(и/2-1; йт/2), Ф (7ЛО,ЗО) где В(ш, а) 3 а е"'/!! — функция, описывающая распределение вероятностей случайной величины Х, распределенной по эакопу Пуассона с параметром а (и. 5.2)'.
Прв я>З нечетном вероятность попадания в гипераллнпсоид В, равна: е-т Р((Хм .,ч Х„)елВа) 2Ф(Й)- е " ',~ "—, ю.ю1"" (7,10,31) 254 Гл. х системы случайных величин где сумма определяется только для нечетных индексов т 1, 3, 5, ..., (и — 2), (и'Л-3); б»(х) — функция Лапласа.
Напомним, что в формулах (7ЛО.ЗО) и (7.10.31) величина й представляет собой отношение полуосей я-мерного гиперзллипсоида к соответствующим средпим квадратическим отклонениям: а а а1 а„ й = — — ... — ... —. (7.10. 32) а1 о» '' 01 "'' а„' При нормальном п-мерном «круговом» рассеивании все с.к.о. равны: о,=о, о,=...-а.=а.
В этом случае гиперзллппсоид В, превращается в гяперсферу С„, а вероятность того, что радиус-вектор В, (Х, + Х, + + Ха+ ... +Х')' ' не выйдет эа пределы гиперсферы с радиусом г, будет определяться вырая1ением, которое получится, если в формулы (7.10.30) в (7Л0.31) вместо величины й подставить г/о (г ~ О) Р(Ва(г) Ра(г) 1 — /7(а/2 — 1; г»/(2о»)) арп а ~ 2 (четвомй 2Ф( — / — -а»а ~ ~ "/ / а1И прв а) 3 (вачатвомд м ук *'„2,(-./ / (7.10.33) Дифференцируя выражение (7.10.33) по г найдем плотность распределения случайной величины В„ ~„(г) — — — е " ЕГ„(г) Ь„ и- ()/2)а о" (г) 0), (7Л0.34) где величина Ь„определяется по формулам (7Л0.29)' для различных и.
При и=2 получаем заков Рэлея, при л 3 — закон Максвелла. С помощью гамма-функция выражение (7Л0.34) может быть записано в виде 2»а /а(г) „е аа . (7.10.35) ()г2 )" Г (а/2) а" таз, МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЫ10Е РАСПРЕДЕЧЕННЕ 255 Можно убедиться в том, что ОФ М [В,] ) г7'„(г) г[г = а ]~2Г((п+ 1)(2)(Г(п(2), (7.10.36) о о 7 о а [В„] М [Л~] = М ~ ~~Р„Х] [ = Д М [ХД = паз, (7Л0.37) 0 [Во] а, [В,] — (М [В„])з. (7.10.38) Пример 1. Рассматривается производство больших интегральных схем (БИС). БИС проходит контроль, если ее входные параметры Ь вЂ” индуктивность, С вЂ” емкость и Т вЂ” быстродействие не превышают величин 1, с и 1 соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
