Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Величины Ь, С, Т независимы, распределены нормально с характеристиками иь а„и„а„и„а,, Найти вероятность р того, что БИС пройдет контроль. Решение. Вероятность р найдем из условия р = Р ((Ь < ]) ° (С < с) . (Т < 1)). Так как с. в. Б, С и Т независимы, то р Р(Ь<]) Р(С<с)Р(Т<1). По формуле (7Л0.13) получим о х Ф вЂ” „' — Ф( — оо) Ф вЂ” ' — Ф( — оо) Х Ф вЂ” ' +05 х х Ф вЂ” '+05 Ф вЂ” '+05.й П р и и е р 2.
Рассматривается вывод межпланетной станции (МС) в аадапную область космического пространства (КП) в заданное время 1. Область КП, куда должна быть выведена МС, представляет собой эллипсоид В„подобный эллипсоиду рассеивания, полуоси которого равны двум с. к. о. по соответствующим координатам рассеивания МС в КП; координаты МС (Х„Х„Х,) относительно центра области В, в момент г представляют систему независимых, нормально распределенных с. в.
с характеристиками т, и, — т, 0; а„а„а,. Ошибка во времени Т распределена нормально с характеристнка- 256 гл. 7. системы случАЙных величин ми и, = 0; с, и не зависит от с. в. Х„Х„Х,. Определить вероятность Р того, что МС будет выведена в область В, КП в интервале времени г ~ 2а,. Решение. Искомую вероятность находим изусловия Р = Р((Х„Х„Х ) сиВз) Р( — 2а, < Т<2с1).- По формуле (7.10.33) для п = 3 и й = 2 находим З-1 Р((Х1, Хз, Хэ) ~ Вэ) = 2Ф(2) — — е-э 11,~' — ж 0,739. и т=1 По формуле (6.3.17)' й,~ Р (- 2с, < Т < 2с1) = 2Ф ~ — ~ ж 0,955.
Окончательно получим Р ж 0,739. 0,955 ж 0,706. й Пример 3. Условия предыдущего примера остаются теми же, за исключением того, что рассматривается четырехмерное пространство не- зависимых нормально распределенных с. в. (Х„Х„Х„Т)'. ю1 Требуется найти вероятность Р гб попадания этих с. в. в четы- 1 рехмерный гиперэллипсоид В„ подобный гиперэллипсоиду рассеивания указанных с. в., по- Вэ 2 ба Рис. 7д0,4 луоси которого равны двум с.
к. о. по соответствующим координатным осям. Решение. По формуле (7.10.33) при я=4; й 2 находим Р = Р ((Хм Х„Х„Т) ~ В,) 1 — В (472 — 1; 2'72) = 1 — В (1, 2) = В (1, 2). По таблице приложения 2 в [4) имеем Р ж 0,594. ~ Пример 4. Условия примера 2 остаются такими же, за исключением того, что область КП, куда должна попасть МС, представляет собой прямоугольный четырехмерный гпперпараллелепипед Вь центр которого совпадает с центром рассеивания с.в. Х„Х„Х„Т, а стороны равны четырем соответствующим с.к.
о, и параллельны координатным осям. тлр. многомерное нОРМАчьное РАОНРеделение 257 Р е ш е н и е. По формуле (7.10.13) для и = 4 получаем Р Р((Х1 Х Хр Т) е В = 2Ф вЂ” ' 2Ф вЂ” ' .2Ф вЂ” ' 2Ф вЂ” ' ж0,830. Эта вероятность получалась большей, чем в примере 3. Объясняется это тем, что область В, больше, чем область В,. Наглядно это можно иаобразить для двумерного случая: прямоугольник В, со сторонами 4о, и 4о, больше эллипса В, с полуоснми 2о, и 2о, (рис, 7.10.4). По атой нре причине вероятность Р ~ 0,706 в примере 2 больше вероятности Р = 0,594 в примере 3.
1Р 9 Теарня ырая~наееся н ее нннснернне яряяансння ГЛАВА 8 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 8Л. Математическое ожидание и дисперсия функции х, у! хз ... р ° ° ° ~2 х, уз Х вЂ” »~ 1з ~)- Рис, 8ЛД Рис. 8.1.2 В более сложном случае на вход преобразователя гр подается пе одно, а несколько случайных воздействии (Х„Х„..., Х ), а па выходе снимается несколько случайных величин (У„У„..., У,) (в общем случае 8Ф л), рпс.
8.1.2. Требуется, зная закон распределения (в некоторых случаях — только числовые характеристики) входной системы (Хо Хз, ..., Х„), найти числовые характеристики выходной системы (У„У„..., У„). Нреобразователем у может быть пе только техническое устройство. Например, в его роли моя~ет выступать некоторое производство, входами которого могут быть всякого рода ресурсы: Х, — сырье, Х, — топливо, Х,— энергия, Х, — вода, Х, — фопдовооруженность и т. п., а выходами — различного рода продукции (Уь Ум..., Уь). В круге практических, в частности, инженерных, применений теории вероятностей большое место занимают задачи, требу1ощпе нахождения числовых характеристик функций с. в. В простейшем случае задача ставится так: на вход технического устройства (ТУ) поступает случайное воздействие Х (рис. 8 1.1).
ТУ подвергает воздействие Х некоторому функциональному преобразованиго <р и дает на выходе с. в. У- р(Х). (8.1.1) Нам известен закон распределения с. в. Х (в некоторых случаях — только его числовые характеристики). Требуется найти числовые характеристики с. в. У. зл. МаткмАтичкское ожпдАпив и дкспкгсия Функции 253 Здесь в общем случае лгогут возникнуть три задачи.
1. Зная закон распределения случайного воздействия Х (или системы случайных воздействий (Х„Хз,. °,Х»)), найти закон распределения выходной случайной величины У = ~р(Х) (нлп системы случайных величин У, = р,(Х„Х„..., Х„); (1 =1, ..., й)). Это — задача сравнительно сложная, и ее мы в данной главе касаться не будем (ей будет посвящена глава 9). 2. Зная закон распределения случайного воздействия Х (илп системы (Х„Х„..., Х„)), найти числовые характеристики выхода У (яли системы (У„Ум ..., Уз)).
Оказывается, для того, чтобы их найти, в о в с е н е о б язательво знать закон распределения выхода а У (или системы (У„У,..., У,)). 3. В некоторых случаях (при особом виде преобрааования ~р) для нахождения числовых характеристик выхода пе требуется даже анать аакон распределения входа, а достаточно знать только его числовые х а р а к т е р н с т н к п. В данной главе мы рассмотрим вторую н третью задачи — определение числовых характеристик выхода без нахождения его закона распределения.
Мы улье упоминали о том, что во многих практических задачах удается находить числовые характеристики пнтеросующпх нас случайных величин, вовсе не зная кх аакопов распределении. В данной главе мы в етом убедимся. Добавим, что искусство применения теории вероятностей в прикладных аадачах в значительной мере сводится к умению обходиться числовыми характеристиками, минуя законы распределения.
Чем искуснее в споем деле специалист по прикладной теории вероятностей, тем свободнее он пользуется аппаратом числовых характеристик и зем рея<о прибегает к ваконам распределения. Рассмотрим, одну за другой, несколько задач на нахождение числовых характеристик функций случайных величин. Задача 1. Числовые характеристики функции одного случайного аргумента. Рассмотрим с. в. У, зависящую функционально от с. в. Х: У - т(Х). (8.1.2) 29О гл.
з. числОВые хАРАктеРистики Функций Предположим, что с. в. Х дискретна и мы знаем ев Ряд Распределения: где а Р«Р(Х хД(1 = 1, 2, ..., Л); ~э~ р«1 (811) «« При Х=х, У «р(х,); вероятность этого события равна рь Может показаться, что мы уже нашли ряд распределения с. в.
У: (8.1.5) Но зто нв совсем так: в ряде распределения с. в. У значения верхней строки должны идти в возрастающем порядке; кроме того, нвкоторыв из «р(х~) могут совпадать, и при построении ряда распределения с, в, У соответствующие вероятности должны складываться. Но для того, чтобы найти числовые характеристики с. в. У, такого «упорядочения» вовсе не нужно, достаточно ряда распределения с. в. У в форме (81.5).
Действительно, находя сумму произведений возможных значений с. в. У на их вероятности, получим, т„М [У] М [<р(Х)] ~ <р(х«) рь (8.1.6) 1=1 Таким образом, зная закон распределения аргумента Х, можно сразу найти математ и ч е с к о е ожидание е г о функции (8 1.2). Аналогично находится дисперсия с. в. У: « 0 [У] М [У'], « где У= У вЂ” т„. Действительно, (У вЂ” т„)' есть некоторая функция с. в. Х: ( У вЂ” т„) ' [~р (Х) — т„]', а ее математическое ожидание, согласно (8.1.6), равно О» 0 [У] = ~~ [~р(х,) — т„]'рь (8.1.7) В.1.
ИАтемАтическое ол(идлние и диспеРсия Фупкции 261 Аналогично определя1отся и начальные и центральные моменты любых порядков с. в. У: а1[У! ~~~~ [16(х1)]1р1, 1=1 (8Л.З) п р1 [У! Х [1р(х1) — газ]1рь (8.1.9) 1=1 Если с. в. Х непрерывна и имеет плотность 7'(х), то, заменяя в формулах (8Л.З), (8.1.7), (8.1.8), (8.1.9) вероятности р, элементом вероятности [(х)Ых, а суммы— интегралами, получим; 60 т„= М [У! = М [<р(Х)! = ] ~р(х) У(х) Зх, (8.1.10) ОО о ]7„= 0 [У] =М [У']- ~ (1р(х) — т„)17(х) дх, (8Л.11) СО а1 [У! = М ~ У') ~ [~р (х)Я(х) ых, (8ЛЛ2) ФО Р~ [У! = М [У'! ) [1Р(х) — тз]11(х) дх (8Л.13) М[У! ~ 1р(х)~(х)1[х= ~ (2 — Зюпх) — Йх -л/й -лм Мы видим, что для нахождения числовых яарактеристик функции У 1р(Х) вовсе пе нужно знать ее закон распределения, а достаточно знать закон Сэзх распределения аргу- 1.(а)и -яме н та.
1/2 Н р и м е р 1. Непрерывная с. в. Х распределена с плот- соз л постыл 7'(х) — —, при х е= у о у ш еи( — —,; + — [ (рнс. 8Л,З). Ркс. 8Л.З Я Л'1 Найти м. о., дисперсию с. в. У = 2 — 3 з[п Х 1р(Х). Решение. 262 Гл 2, числовые хАРАктеэистики ФункциЙ 212 л12 а, [У! ) [2р(х)[21 (х) Нх - ) (2 — 3 21В х)' —, 2[х = 1; -л(2 — л 2 2) [У! а, [У! — (М [У!)' = 1 — (1!2)2 — 3/4. Задача 2. Числовые характеристики функции нескольких случайных аргументов. Если с. в. У (выход преобразователя <р) есть функция но одного аргумента, а нескольких: У гр(Х„ХИ ...
..., Х„), и пэвестна совместная плотность [(хо х„..., хО) системы аргументов, то м. о., дисперсия, печальные и центральные моменты с. в. У определя2отся формулами: 00 ОО т„М[У[= ) 1 1 ) <р(х„...,хл)1(х„..., хл) дх,...Г2Х„, ОО ОО (8.1.14) О ОО РУ вЂ” 1 10) ~ [р (Х21 °,2 Хл) 2ИУ! О (Х20,, О Хл)2[Х2 2'ХОО (8.1.15) ОО ° 0 а1[У! = ~ 1л> ) [~р (Х„...О хл)!'7'(х„..., х„)дх2...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
