Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 41
Текст из файла (страница 41)
2[х,л ОО '.О (8,1.16) [22[У! = ) <л> )' [у (х„ ..., хл) — тл!' 7'(хп ..., х„) 22Х2 ... 2[хл, 00 ОО (8.1.17) Пример 2. Точка У, изобраи1аю1цая объект иа круглом экране радиолокатора, распределена равномерно в пределах круга радиуса г (рис. 8.1.4). Найти м. о., дисперсив и третий центральный момент расстояния Б от точки (2' до центра экрана. Регпепие. В примере б и. 7.5 было показано, что координаты точ- У ки (У внутри круга радиуса г имеют плотность распределения 1 Рис. 8Д.4 [( ) —, ( 2.[ рл ° л) р пие Ь вырахсается череэ декартовы координаты Х, У точен 2О так: Ь УХ'+ У', Следовательно, М [1 ! * ,),) У х'+ у' — 22[х 2[у, где область К вЂ” круг радиуса г, 1л> лг 2С4 Гл.
з. чпсловыв х»Р»ктк)'истинн Фуикпий Х)»«),,ьм (х»+1~ ° ° 1 хн) ох»... дх« ) )и-») ) ) <») ) ~~(хи ..., х„)Х вЂ” 00 — ао )- -ОР Х)и...,» (хи,, ~ х»! х»+1~, хп) с[х» .. ° с[х» Х Х й~.),..., (хы-)... „х«) с[х»+) . дх~. (8 1 18) «Внутренннйь й-кратный интеграл, стоящий в фигурных скобках, представляет собой условное математическое ожидание М[У[х»+„...,х„] случайной в ел и чипы У, вычисляемое при условии, что случайные величины Х,+„.. „Х„приняли определенные значения х„„..., х.: М [У [ х»+ ), ..., х«[ 00 СО ~ оо ~ )р (х,, ..., х„) ~), „,» (х„, х» [х»+и °, хо) Х х Ых,... Ых».
(8.1.19) Следовательно, безусловное м. о. М [У) будет определяться через условное М [У[х»+„,, х„) по формуле: О СО М [У[ = ) ) -ы ) М [У[х„+„...„х„) х -4Ф -ОФ Х ~»~.)„„м(х»~.)« ..., хо) с[х»~.) ... «[хи, (8.1.20) которая носит название интегральной 1)ормулы полного математического ожидания. По формуле, аналогичной (81.19), можно найти условный начальный момент [-го порядка М [У ~х»+и ... х„) с, в, У, вычисляемый при условии, что с.в. Х„+„... ..., Х„ приняли определенные значения х„+„ ..., х„: и) [У [х»ч.п ..., х„[ = ОО ОО = ~ (») [ [1)(хм...,хп)['Л,...,»(х), ~х»[х»«)~...~хо)Х Х с[х»...
«[х», (8.1.21) а безусловный начальный момент [-го порядка с. в. К ЗЛ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЯ(ИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ФУНКЦИИ 265 будет определяться по формуле 00 ОО а~ К] = ~ <и-и ~ а~ [У[х„+„..., х„] х ОО 60 х /~+ь „, (хз~„..., х„) Их„+,... Их„. (8Л.22) Обратим особое внимание па способ вычисления дисперсии случайной величины г' через второй начальный момент: 0 [У) сс, [У) — лз'„, (8.1.23) где величины а,Щ и т„определяются по формулам (8.1.22) п (8Л.20) соответственно. В различных инженерных приложениях бывает удобео выражать индикатор У события Л (см. формулу (3.3.1) и.
3.3) как функцию нескольких с. в. Х„Х„..., Х„: 1 — если событие А имело место; Π— в противном случае. Например, событие А состоит в том, что техническое устройство работает нормально; при появлении собьпия А его индикатор равен единице: У = у,(Х„..., Х„) = 1, где Х„..., Х. — случайные параметры, связанные с работоп устройства (температура, давление, влажность и т.
и.). й[ы знаем (п. 3.3), что индикатор события А есть дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения О [ 1 = )( ( ~ ° ° Р) ° 1 Р (А) / Р (А) ° Откуда (в соответствии с формулой (8.1.14)) получим Р (А) = йй [О'[ = М [у (Х„Х„..., Х„) ао СО ) (и> ) )((х„.. „х„)1(хп ..., х„) Нх,... Нх„(8.1.24) т, е. вероятность события А равна математическому ожиданию индикатора этого события А. Аналогично тому, как было определено условное математическое ожидание (8ЛЛ9), определяем условную вероятность события А: Р(А[ха+и ..., х„), вычисляемую при условии, что случайные величины Х„„, ..., Х„ зее гл з.
числОВые хАРАктеРистики Функций приняли определенные значения х11п ..., х„: Р(А)ХА+„..., х„) (Аг ~ тг(Хгг, .1 Хп) г1, 1(Х1г °, г Хм )ХА+1г ..г Хп)Х гп гх Х 1(Х1... 1(ХА. (8А.25) Тогда безусловная вероятность события А вычислится по формуле, аналогичной (8А.20): Р (А) пг хп ) ( -ю ~ Р(А~х,+„,.„х,)~А.Рк„„,(хА+ы ..., Х,)х -Ох Ох хдхп+г... дх„, (8,1.26) которая носит название интегральной формулы полной вероятности. Частным случаем этой формулы является ранее выведенная формула (ЗА.7). П р и м е р 3. Выпуск предприятием продукции У может быть приближенно определен по «производственной функцииз вида 1' = аггХ1 + АХхг где гт„гг,— ие случайные параметры, с.
в. Х, — трудовые ресурсы, с.в. Х,— основные фонды; с.в. Х, распределена равномерно в интервале (а, Ь); с. в. Х, распределена равномерно на участке 211, центр которого равен сХ,. Найти математическое ожидание с. в. У. Р е ш е н и е. По условию примера 71(хг) = 1,г(Ь вЂ” а) (х, ~(а, Ь)); ~1(х,~х,) ~ (хз ~ (сх, — Л; схг + Л)).
$ По формуле (8АА9) найдем условное математическое ожидание с. в. У при условии, что с. в. Х, х,: пх +А Лх -г-х'х М П'~хг! = ~, Ахх =(дг+ сдх) хг. сх -А э.з теОРемы О числовых хАРАктеРистпкАх 2Е7 По формуле (8.[,20) найдем ь ь Нз, Г(в, + се,) з,нл, [~1 =~ 1~1~1)ь, = ) = (д1 + Нзс) —. з ь+е 2 8.2. Теоремы о числовых характеристиках функций случайных величин Во многих задачах инженерной практики чпсловыо характеристики с. в. 1' = 1р(Х„..., Х„) могут быть определспы как некоторые функции числовых характеристик системы с.
в. (Х„..., Х„). В этом случае ие требуется знать закон распределения системы аргументов 7'(л„... ..., х.), а достаточно знать лишь числовые характеристики этой системы. В данном пункте мы дока1кем ряд теорем о числовых характеристиках функций с. в., которые могут быть использованы в инженерных приложениях. Пекоторые иэ нпх были уже доказаны ранее (см. п. 4.2), здесь мы их повторим для полноты. 1. Ыатематическое озсидание неслучайной величины с равно с: (8.2Л) М [с] = с.
2. Дисперсия неслучайной величины с равна нул1о: 0 [с1 О. (8.2.2) 3. Математическое олсидание произведения неслучай ной величины с на с. в. Х равно произведению этой неслучайной величины на м. о. с. в. Х: М [сХ] = сМ [Х], т. е. неслучайную величину с монпш выносить эа знак математического ожидания. 4. Дисперсия произведения неслучайной величины с на с. в.
Х равна произведению квадрата этой неслучайной величины на дисперсию с. в. Х; 0[с Х) =сх0[Х]; (8.2.4) 0 [сХ] = М [(сХ вЂ” М [сХ))1) = М [(сХ вЂ” сМ [Х))'1 М [с' (Х вЂ” М [Х])'1 = сзМ [(Х вЂ” М [Х])1) = с'0 [Х], 263 ГЛ 8 ЧНСЛОВЫВ ХАРАКТВРИСТНКИ ФУПКЫНЯ т. е. неслучайную величину можно выносить иг-под анака дисперсии, еогеедя ее е квадрат. Извлекая квадратный корень из (8.2.4) и беря его арифметическое (положвтельпое) значение, получим а[сХ] [с[о[Х], (8.2.5) т. е. неслучайную величину можно выносить из-под анака среднего квадратичного отклонения ее абсолютным еначением.
5. Теперь мы докаиьем одну из важнейших теорем теории вероятностей: теорему сложения математических ожиданий. Сначала докажем ее для двух случайных величин Х, и Хь'. М [Х, + Х,[ - М [Х,[ + М [Х,), (8 2 6) т. е. льатематическое ожидание сумльы двух случайных величин равно сумлье их математических ожиданий. Начнем со случая непрерывной системы с. в.
(Х„Х,) с плотностью [(х„хь) (это проще по эаписи, чем случай дискретных). Сумма Х, + Х, есть функция случайных величин Х„Х,; согласно (8.1.14) ее ы. о. равно: СЮ М [Х, + Хг) ] ] (хь + хг) 7 (хы аз) ь[хьсьхе = ОР О ° О ] ] х)7'(х„хг) ахьь[хе+ ] ] х87'(х„х ) йхьйх . (8.2.7) Но первый из двойпых интегралов в правой части (8.2.7) есть не что иное, как М [Х,), второй — М [Хе[, и теорема (8.2.6) доказана. В случае двух дискретных случайных величин, заыеняя в (8.2.7) двойные интегралы — двойныыи суммами, по 1 и по 1, непрерывные аргументы х„х, — отдельными значениями х', ', х',", а элемент вероятности )(х„хь)ь[х,ььхь — вероятностью Р[Х, х,, Хе — х, )ь и ьо 0)1 применяя почлепно сумьшровапие, докажем ту же теореыу. Предлагаем читателю проделать это самостонтельно *) .
Специально подчеркнем, что теореыа слольепия математических ожиданий справедлива для любых случайных ° ) Мок)во доказать, что теореме сложения матеметическвх ожиданий слраведлвеа в для смешанных случайных величин. З.э. ТЕОРЕМЫ О ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ 269 величин: аависимых н независимых, к ар рел иранав а н н ы х н не коррелироваин ых.
Применяя метод математической индукции (переход от н к и+ 1), нетрудно доказать, что теорема сложения математических олГиданий справедлива и для суммы любого (счетного) числа случайных величин: и 1 $$ М~ ~ Х~ = ~э М[Х), $=1 $=1 (8.2.8) т. е. мател1атическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их мател$атических ожиданий. Иначе говоря, знак суммы ~э~ и знак математического ожидания М можно менять местами. 6, Математическое ожидание линейной 9$ункции с.
в. Х„..., Х„равно той же линейной Грункции от математических ожиданий этих с. вл $1э+ Х аГХ11 = во+ Х $11М [ХГ[, (8.2.9) $=1 а $=1 где а$ (1= О, 1, ..., и) неслучайные величины. Доказательство. Применяя последовательно фор- мулы (8.2.6), (8.2.3) и (8.2.1), получим: и и М а, + ~Р$а,ХГ~ М [а [+ М~ ~ аГХГ $1 1=1 и и = 'Гв+ Х М [аГХ,[ - ав+ Х аГМ [Х,[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
