Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения (2-е изд., 2000) (1186207), страница 36
Текст из файла (страница 36)
(7,8.7) ') Так обозначается л-кратный янтеграл. т.е ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛРЧАЯНОГО ВЕКТОРА 2н5 Элементом вероятности для системы (Х„Х„..., Хя)' в точке (х„х„..., х.) называется величина !(хо хм ..., х.) Их,дхе... <Ь„'(7.8.8)' приближенно '(с точностью до бесконечно малых высших порядков) равная вероятности попадания в элементарную область п-мерного пространства с размерами дхя Ыхя...дх„, примыкающую к точке (х„хь ..., Хн): !(х» ..., Х„) ОХ,...ЫХ ж ж Р (Х, ен (х„х, + дх,), ..., Х„ен (х„, х + й„)). (7.8.9) Вероятность попадания случайной точки (Хь Х„ ... ..., Х„) в произвольную область Р я-мерного пространства выражается и-кратным интегралом по области яр: Р ((Хм, „„Х„) ен Р) ~ (ю ) !(хм ...т х„) сЬ1...ИХ~.
(7.8 10) Чтобы найти и. р. любой подсистемы (Х„Х„.. ч Х,)', входящей в систему (Х„..., Х„, ..., Х ) (нумерация произвольна), надо проинтегрировать совместную плотность 7(х„..., хн) (и — Й) раз по аргументам (х,+«, ... ..., Х„), относящимся к остальным случайным величинам: !,л„„,ь (хп х„..., ХА) но оо ) « -ю ) !(х1« ...„Хд, ..., х„) сЬА+т ° .р)х„. (7.8,11) В частности, плотность распределения одной с.в.
Х„ входящей в систему, равна !А (ХЬ) ) Ш-М ) ! (ХЫ я «, Хи) ЫХ, и ЫХА 1 бха+т* е е Ихое (7.8,12) Условной плотностью распределения лзобой подсистемы (Х«, Хя, ..., Х,), входящей в систему (Х„Х„.. ч Х„) (нумерация произвольная), называется плотность распределения этой подсистемы, вычисленная при условии, что остальные с.в. приняли определенные вначения: Хр+р хьр ~ Херр хо+я ° ° ~ Х х, Условная плотность под- В Т«ории нерея«ио«еея н «е инм«нор ие нрняоиеиня 226 гл, а систкмы слдчаипых вкличин Рзр(ха[ха) ~ Яд(ха[ха)д[хз; -СЮ "з Ра~д,з (ха [ хд, Хз) = ) 1з/д з (ха [ хд, .га) ддха', -ОО (7.8.14') Законы распределепия системы и зависимых с. в., являющиеся функциями мпогпх аргументов, чаще всего пеудобны в практическом применении и к толду же для своего определения (хотя бы првблвдкепкого) требуют огромпого объезда экспериментальных данных. В большинстве инкденерных приложепвй вместо эакоков распределения (полной, исчерпывающей характеристики системы и с, в.) рассматриваются ее важнейшие числовые характеристики, 1.
п математических ожидаппйдд и,=М[Хд); из М[Х,[; ...; дп„=М[Х„[; 2. и дисперсий: В, 0 [Х,); 0„0 [Х,); ...; 0„0 [Хз[; 3. п(п — 1) ковариацийд Гз з1 К„-М[Х,Х,[ (д~1). (7,8 15) системы вычисляется по формуле 1(хд хз "а) Гд„„,а (х„., „Ха [ хз+д, ..., х„) = 1з+д„„а (*з+д ' *и) (7.8.13) Плотность распределения системы и с.в.
может быть представлепа в виде У(хд» ° а х ) 1! (хд) ' )а~а (ха[ха) ' Гао,а(ха[ха, ха) ° ° ° " У.и,з, а„... а-д(х.[хд, хза ° а ха-д), (7.8.14) где все плотпости, кроме первой, являются условпыми ,и вычисляются при условии, что предыдущие с.в. приняли определепяые эпачепия. Злая условные п. р. системы с. в.
(Х„..., Х„), можно найти условные ф. р. этой системы по формулам: 7.2. 3АкОны РАспРеделення случАЙНОГО вектоРА 227 Снова отметим, что дисперсия с. в, Х есть не что иное, как ковариация К«1 0 [Х1) = М (ХЦ = М ~ Х«Х1] = Кп (1 = 1, ..., и). (7.8.16) Ковариации К„(вместе с дисперсиями Р, Ка) обраауют матрицу когариаций (иначе «коварпационную матрицу»; иногда ее называют «корреляционной матрицейз), т.
е. таблицу, состоящую из и строчек п и столбцов: ~11 ~12 '' «1п 21 22 ''' 2п ~Ва1 ~Л п2 Кпп (7.8.17) Ы Ы *" 1п ~~«п (7.8 18) где по главной диагонали стоят и дисперсий. Если случайные величины (Х„Хм ..., Х„) попарно некоррелировапы, т. е. Ко= 0 при «чь 1, то матрица (7.8.18) имеет вид: о о ... о к„о (7.8.19) ~аа Такая матрица называется диагональной. Часто вместо матрицы ковариаций пользуются матрнцой козффициентов корреляции: Г12 Г12 ' ' ' 21п ~ гп1 (7.8.20) где г К4(о,о,)'= К„Г Р,Р1 = Й/ЧК11Кл.
(7,8.21)' Так как Ко= К„, матрица (7.8.17) симметрична относительно главной диагонали. По главной диагонали. матрицы (7.8.17) стоят дисперсии с. вл Р, = Ка (1 1,2,...,п). Ввиду симметричности матрицы (7.8,17) ее часто заполня«от только наполовину и представлягот в виде: 228 гл. х спствмы слтчАвных вклпчкп По главной диагоналя такой матрицы стоят единицы, так кан Х«Р;, ге Р,/а,о ) РЗР, 1. '(7.8.22)' Если с.в. Х„Х„..., Х„попарно некоррелнрованы, т. е.
г» 0 прк ать), матрица коэффициентов корреляцнн прикипает вяд: 1 О О ... О < О ... О < ... О, (7.8.23) Такая матрица называется единичной. Зная валок распределеяия системы величин (Х„ Х„ ... ..., Х„), можно найтн все ее числовые характеристики, например: ) 1 * ( „ ..., „) х ... (7,8,24) Р< 1 «о 1 ( - "' )'У(х< " х.Их " И .< (7.8.28) ХП ~ ое ~ (х< — л«)(х< — т;)7'(х,...,х„)<)х ...
Их„,' (7,8.26) по по уже упомянутым выше ярпчинам в нашем распоряжении сравнительно редко бывает совместная плотность распределения системы нескольких с.в. На практнке обычно числовые характеристики системы определяются помимо ваконов распределения, непосредственно по опытным данным. Каждая кв пкх есть математическое ожиданно той ялн другой с.в. п может быть приближенно найдена как среднее аркфметнческое паба<сданных впаченнй втой с.
в. клк иным способом '(подробнее об оценках числовых характеристик по опытным данным см. гл. И). Помимо упомянутых выше числовых характеристпк случайного вектора (Х„Х<, ..., Х.)- математических ожпданкй т„т„...,' ш„н матрицы коварнацкй ИО2— нередко рассматривается условное математическое ожндаиие айной пв с.в„например Х» прп условии, что всв т.з, ЕАКОны РАспРеделения случАЙнОГО вектОРА 229 остальные величины Х„..., Х„приняли определенные значения; ем ..., е.: 1 (х> ''' хх) Ех> М[Х,>хз( ...,хх) т, >,,„„,„„- ( е> ~к,„,и (хз~ ю хх) ° 0 (7.8.27) Это условное м. о. называется регрессией Х, на ем ..., х„.
Геометрически регрессия яатерпретируется как поверхность в л-мерном пространстве (зо ... ..., Ех) и называется поверхностью рвзрессии Х, на ям ..., х„. Регрессия называется линейной, если поверхность регрессии описывается линейной функцией: х тхйхв...,хх 7(ь + Х У>хем (7.8.28) где 7м, 7к '(( 2, ..., л)'- постоянные козффициенты, В двумерном случае линия регрессии — прямая; в трех- мерном — плоскость, в общем случае (л-мерном) — гипер- плоскость в пространстве л измерений. В и.
7ЛО мы покажем, что для системы случайных величин (Хл Х„..., Х„), имеющей нормальное распре- деление (а этот случай очень важен для практики), регрессия всегда ли пейна. Кроме числовых характеристик, относящихся к одно- му случайному вектору, з теории вероятностей приме- няются также числовые характеристики, относящиеся к двум случайным векторам одинаковой размерности л и Е: Пусть случайные векторы Хсч и Хоо имеют числовые (>> (и характеристики: математические ожидания т(, тз, ° ° ° ...,т„; т,, тз,..., ть , 'и ковариационные матрицы по(». (з> (з> (х>, рядков я и й( 1ХИ, АХИ„ по главным диагоналям которых стоят дисперсии Ц (н (> 1,,, л); Р)" (7 1,..., я). Помимо этих число« вых характеристик, относящихся к каждому случайному вектору в отдельности, рассматривается их взаимная яовариаеионлая матрица> влементами которой являются ко- 230 ГЛ.
7. СИСТГМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ' вариации КЦхю=М[Х1"Х',"] (1-1, ..., и; у 1, ..., Уг). (7.8.29) Вааимвая ковариацяоппая матраца двух случайпых векторов [К))А '[ — прямоугольпая матрица порядка ИХй; по даже в тои случае, когда л й в эта матрица квадратпая, опа совершенно пе облзательпо должка быть симметричной отпосвтельпо главной диагоналя. Два случайных вектора Хоо и Хэч вазываются невависимыии, если все составляющие одного из пих ве зависят вв от одной иэ составляющих другого.
Для пеааввсвмых случайных векторов их совмествая плотность распределепия равна произведению совместных плотностей отдельных векторов: )' ' (,","...) гню у <и <н. Но мн У'" (х,'",... хР) У'ю (х',~~а ° ° .г х ~~~). (7.8 30) Векторы Хио и Хсм иаэываются нвкоррелировангиьяии, если все элементы их вэаимпой коэарпацвовпой матрицы, определяемые по формуле (7.8.29), равпы пулю: К))к~ М [Х)НХ)в'1 О (У 1...,, л; у 1, ...,Уг). (7.8.31) Можпо показать, что если случайные векторы иваависимы, то ови в пекоррелвровавы.
7.9. Двумерное иормальвов распределепив В ппжеперпых приложевиях теории вероятностей иэ систем случайпых величии чаще всего встречаются пепрерывяые системы, имегощве яормальпое распределепве. О причипах широкой распрострапеппости нормального распределеввя в случайных явлеиивх природы мы увге говорили в п. 6.3. Нормальпое распределение случайного вектора имеет ряд преимуществ перед другимп.
Немаловажное вз пвх состоит в том, что эадапие числовых харавтеристяк си- 7.9. ДВУМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 231 стемы: т„т„..., т.; бь бм ..., 17„а матрицы ковариации [[К„!! равносильно задапиго закона распределения системы. Естественно начать рассмотрение нормального распределения случайного вектора с самого простого случая— системы двух случайных величин. Говорят, что непрерывная система с.в. (Х, У) распределена по нормальному аа кону, если ее совнестпаи плотность 1(х, у) ехр — —,= 2г (з — м„)(ч — и ) (л — гл„) 1] о о„ о'„' М [Х] = ] ) х~(х, у) Ых ду. ОО (7,9.2) Сделаем замеггу переменных е — т„ ГР— ог х "гк ] г х =*; у ~ —" — г„т ~ ]I 2(1 — г„'„), (7,9,3) где ехр(г) = е* — показательная функция.
Распределение (7.9.1) называется двумерным нормальным распределением (пли нормалыьым законом на плоскости). Двумерное нормальное распределение часто встречается на практяке. Например, совокупность ошибок (Х, У) в двух измерениях какой-то величины (или выполпепвя какпх-то команд), как правило, имеет двумерное нормальное распределение. Координаты точки приземлении (или приводнения) космического летательного аппарата такте распределены по двумерному нормальному закону. Выясним смысл параметров т т„, о., а„, г, входящих в формулу (7.9.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
